第三章 图形的平移与旋转 单元测试 培优卷（含解析）

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第三章
图形的平移与旋转
单元测试培优卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题.（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积(
)
A．不变
B．先增大再减小
C．先减小再增大
D．不断增大
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B，C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠ABB′的度数是(　　)
A．35°
B．40°
C．45°
D．55°
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则其旋转中心的坐标是(　　)
A．(1.5，1.5)
B．(1，0)
C．(1，－1)
D．(1.5，－0.5)
4．如图，将边长为4的等边三角形OAB先向下平移3个单位长度，再将平移后的图形沿y轴翻折，经过两次变换后，点A的对应点A′的坐标为(　　)
A．(2，3－2
)
B．(2，1)
C．(－2，2
－3)
D．(－1，2
)
5．已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是(4,3),那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（）
A．(-3,-4)
B．(-4,3)
C．(-4,-3)
D．(4,-3)
6．在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（
）
A．向右平移了3个单位
B．向左平移了3个单位
C．向上平移了3个单位
D．向下平移了3个单位
7．如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（　
　?
）
A．16cm
B．18cm
C．20cm
D．21cm
8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）．
A．60
°
B．75°
C．85°
D．90°
9．如图所示,如果把△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A'点,连接A'B,则线段A'B与线段AC的关系是
(　　)
A．垂直
B．相等
C．平分
D．平分且垂直
10．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移的距离是边BC长的2倍，则图中四边形ACED的面积为（　　）
A．24cm2
B．36cm2
C．48cm2
D．无法确定
二、填空题.（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______．
12．如图,把等边三角形绕点O旋转，至少要旋转___________度后与原来的图形重合．
13．如图，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A=15°，∠C=10°，E，B，C在同一直线上，则∠ABC=________，旋转角度是__________．
14．如图,E为正方形ABCD内一点,∠AEB=135?,BE=3cm,△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB,图中________是旋转中心,旋转_______度．
15．如图,△ABC、△ADE均为是顶角为42?的等腰三角形,BC和DE分别是底边,图中△_________与△___________,可以通过以点________为旋转中心,旋转角度为______．
16．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝5，现将△ABC沿着CB的方向平移到△A′B′C′的位置．若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为________．
17．如图，已知正三角形ABC与正三角形CDE，若∠DBE=66°，则∠ADB度数为__________.
18．如图，将线段AB沿箭头方向平移2
cm得到线段CD，若AB＝3
cm，则四边形ABDC的周长为___cm．
三、解答题.（共5小题，其中19-22题每题9分，23题10分，满分46分）
19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．
20．已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF按如图所示放置，让三角尺在BC所在的直线上向右平移．如图①，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角尺的斜边DF上．
(1)利用图①证明：EF＝2BC．
(2)在三角尺的平移过程中，在图②中线段AH＝BE是否始终成立(假定AB，AC与三角尺的斜边的交点分别为G，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
21．(1)如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD，DE，CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD，DE，CE之间的等量关系式是
；(无须证明)
(2)如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝60°，∠ADE＝45°，试仿照(1)的方法，利用图形的旋转变换，探究BD，DE，CE之间的等量关系，并证明你的结论．
　　　　　　
22．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.
（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是
；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2．则S1与S2的数量关系是
．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDC,请直接写出相应的BF的长
23．如图点O是等边内一点，，∠ACD=∠BCO，OC=CD，
（1）试说明：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）当为多少度时，是等腰三角形
参考答案
1．A
【详解】
∵四边形ABCD、四边形OEFG是两个边长相等正方形，
∴∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，
∴∠BOC-∠COM=∠EOG-∠COM，
即∠BOM=∠CON，
∵在△BOM和△CON中
，
∴△BOM≌△CON，
∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积是
S△COM+S△CNO=S△COM+S△BOM=S△BOC=S正方形ABCD，
即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于S正方形ABCD，
故选A．
2．D
【详解】
由旋转可得，AB=AB'，∠BAB'=70°，
∴∠ABB'=∠AB'B=（180°-∠BAB′）=55°．
故选：D．
3．C
【详解】
∵△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A?B?C?，∴A、B的对应点分别是A?、B?．
又∵线段BB?的垂直平分线为x=1，线段AA?是一个边长为3的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，由图形可知，线段BB?与AA?的垂直平分线的交点为（1，﹣1）．
故选C．
4．C
【详解】
解：∵等边三角形OAB边长为4，
∴A(2，2)，
∵先向下平移3个单位，
∴A点对应点坐标为(2，2?3)，
∵再将平移后的图形沿y轴翻折，
∴这时A的对应点坐标为(?2，2?3)，
故选C.
5．B
【详解】
∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是(4,3)，
∴P点坐标为（4，-3），
∴点P（4，-3）关于原点的对称点P2的坐标是（-4，3）．
故选B．
6．D
【详解】
∵将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，
∴所得图形与原图形相比向下平移了3个单位．
故选D.
7．C
【解析】
试题分析：已知，△ABE向右平移2cm得到△DCF，根据平移的性质得到EF=AD=2cm，AE=DF，又因△ABE的周长为16cm，所以AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．故答案选C．
8．C
【解析】
试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．
如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，
∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，
∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，
即∠BAC的度数为85°．故选C．
9．D
【详解】
解：如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，与线段AC交于点O．
∵A′O=OB=，AO=OC=2，
∴线段A′B与线段AC互相平分，
又∵∠AOA′=45°+45°=90°，
∴A′B⊥AC，
∴线段A′B与线段AC互相垂直平分．
故选D．
10．B
【解析】
试题分析：由题意可知根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积，依此计算即可．
∵平移的距离是边BC长的两倍，
∴BC=CE=EF，
∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积；
∴四边形ACED的面积=12×3=36cm2．
11．80°或120°
【详解】
解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″，
∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°，
②在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，
∴∠CDB″=60°，
旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．
故答案为80°或120°．
12．120
【详解】
旋转中心为点O，
根据等边三角形的性质可知，
OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
所以，至少旋转120度后能与原来图形重合，
故答案为：120.
13．155°
25°
【详解】
在△ABC中，已知∠A=15°，∠C=10°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=155°；
又∵点B为旋转中心，E的对应点为A，
∴旋转角为∠ABE=180°-∠ABC=25°，
故答案为155°，25°．
14．B
90°
【详解】
∵△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，
BA旋转到了BC，
∴旋转中心为点B，旋转角为∠ABC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
即旋转了90°角，
故答案为：B，90.
15．ABD
ACE
A
42°
【详解】
∵△ABC、△ADE均为是顶角为42?的等腰三角形，BC和DE分别是底边，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=42°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴图中△ABD可以通过旋转得到△ACE，旋转中心为A，旋转角度为42°，
故答案为：ABD，ACE，A，
42°.
16．8
解：∵∠C=90°，AC=BC=5，平移的距离为2，
∴BC′=DC′=3
∴阴影面积=5×5÷2-3×3÷2=8．
故答案为：8．
17．126°
【详解】
∵正三角形ABC与正三角形CDE
∴CD=CE,BC=AC,
∠DEC=∠EDC=∠DCE=60°
∴∠EDC-∠BCD=∠DCE-∠BCD
∴∠BCE=∠DCA
在△BCE和△ADC中;
∴△BCE△ADC
∴∠ADC=∠BEC;
∵∠BEC=∠BED+∠DEC=∠BED+60°;
∴∠ADC=∠BED+60°
在△BDE中，∠BDE=180°-∠DBE-∠BED=180°-66°-∠BED=114°-∠BED
∴∠ADB=360°-∠ADC-∠BDE-∠EDC=360°-（∠BED+60°）-（114°-∠BED）-60°=126°
故答案为：126°
18．10cm
【解析】
根据平移的性质得：AB=CD=3，AC=BD=2，则四边形ABDC的周长3+3+2+2=10.
19．（1）见解析；（2）π．
【详解】
（1）解：如图所示：△AB′C′即为所求
（2）解：∵AB=
=5，
∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：=π
20．（1）详见解析；（2）成立，证明见解析．
【详解】
（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．
∵∠F=30°，∴∠CAF=60°－30°=30°，∴∠CAF=∠F，∴CF=AC，∴CF=AC=BC，∴EF=2BC．
（2）成立．证明如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．
∵∠F=30°，∴∠CHF=60°－30°=30°，∴∠CHF=∠F，∴CH=CF．
∵EF=2BC，∴BE＋CF=BC．
又∵AH＋CH=AC，AC=BC，∴AH=BE．
21．(1)
BD2＋CE2＝DE2；
(2)
BD2＋DE2＝CE2，证明见解析.
【详解】
(1)
BD2＋CE2＝DE2；
(2)CE2＝BD2＋DE2.
证明：将△AEC绕点A顺时针旋转120
°得到△AFB，连接FD.
由旋转的性质可得△AEC≌△AFB，∴AF＝AE，BF＝CE，∠FAB＝∠EAC.
∴∠FAE＝∠FAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE＝∠BAC＝120
°.
又∵∠DAE＝60
°，
∴∠FAD＝∠EAD＝60
°.
在△ADF和△ADE中，
∴△ADF≌△ADE(SAS)．
∴FD＝DE，∠ADF＝∠ADE.
∵∠ADE＝45
°，
∴∠ADF＝45
°，故∠BDF＝90
°.
在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2＝BD2＋DF2.
∴CE2＝BD2＋DE2.
22．解：（1）①DE∥AC．②．（2）仍然成立，证明见解析；（3）3或6．
【详解】
（1）①由旋转可知：AC=DC，
∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=60°．∴△ADC是等边三角形．
∴∠DCA=60°．∴∠DCA=∠CDE=60°．∴DE∥AC．
②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．
由①可知：△ADC是等边三角形,
DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM．
∴CF=EM．
∵∠C=90°，∠B
=30°
∴AB=2AC．
又∵AD=AC
∴BD=AC．
∵
∴．
（2）如图，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N，
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF1=S△BDE；
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，F1D∥BE，
∴∠F2F1D=∠ABC=60°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等边三角形，
∴DF1=DF2，过点D作DG⊥BC于G，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，BG=BC=，
∴BD=3
∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF2=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，
又∵BD=3，
∴BE=×3÷cos30°=3，
∴BF1=3，BF2=BF1+F1F2=3+3=6，
故BF的长为3或6．
23．(1)见解析；(2)△AOD是直角三角形，理由见解析；(3)
110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
【详解】
(1)∵∠ACD=∠BCO
∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°
又∵CO=CD
∴△COD是等边三角形；
(2)∵△COD是等边三角形
∴CO=CD
又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC
∴△ACD≌△BCO（SAS）
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC?∠CDO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
(3)∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=∠COD=60°，
∴∠ADO=α?60°,∠AOD=360°?60°?110°?α=190°?α，
当∠AOD=∠ADO时,△AOD是等腰三角形,即190°?α=α?60°,解得α=125°；
当∠AOD=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即2(190°?α)+α?60°=180°,解得α=140°；
当∠ADO=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即190°?α+2(α?60°)=180°,解得α=110°，
综上所述,∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
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