(共26张PPT)
第五章 数 列
再练一课(范围：§5.2～§5.3)
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝
，Sn＝10，则n等于
A.90
B.119
C.120
D.121
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴n＋1＝121，故n＝120.
3.(多选)在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列的通项公式是
A.an＝3n，n∈N＋
B.an＝3n－1，n∈N＋
C.an＝(－1)n－13n，n∈N＋
D.an＝2n－1，n∈N＋
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由a3＝a1q2，得q2＝9，即q＝±3.
∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n或an＝a1qn－1＝3×(－3)n－1＝(－1)n－13n.
故数列的通项公式是an＝3n，n∈N＋或an＝(－1)n－13n，n∈N＋.
√
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S16>0，且S17<0，则当Sn最大时n的值为
A.8
B.9
C.10
D.16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴a8＋a9>0，即a8>－a9.
∴a9<0，a8>－a9>0，则当n＝8时，Sn最大.
5.数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则数列{bn}的前10项和为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
所以数列{bn}的前10项和为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，n∈N＋，则S15＋S22－S31的值是________.
解析 S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，
S22＝－4×11＝－44，
S31＝－4×15＋a31＝－60＋121＝61，
则S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
－76
解析 由题意得，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知函数f(n)＝
且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_____.
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.求数列1，3a，5a2，7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和Sn.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 当a＝0时，Sn＝1.
当a＝1时，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)
当a≠0且a≠1时，
Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－3)an－2＋(2n－1)an－1，
aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＋(2n－1)an，
两式相减，有
(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋…＋2an－1－(2n－1)an
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当a＝0时，也满足此式.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N＋).
(1)求数列{an}的通项公式；
解 因为an＋1＝2＋Sn(n∈N＋)，
所以an＝2＋Sn－1(n≥2)，
所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，
所以an＋1＝2an(n≥2)，
又因为a2＝2＋a1＝4，a1＝2，所以a2＝2a1，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
则an＝2·2n－1＝2n(n∈N＋).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 因为bn＝1＋log2(an)2，
则bn＝2n＋1，
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，Sn为数列{an}的前n项和，则S2
020的值为
A.0
B.1
C.6
D.4
√
解析 由题意可得a1＝2，a2＝3，a3＝1，a4＝－2，a5＝－3，a6＝－1，a7＝2，a8＝3，a9＝1，…，
则数列{an}是以6为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，
所以S2
020＝336×(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋a1＋a2＋a3＋a4＝4.
12.若在等差数列{an}中，d＝－2，a1＋a4＋a7＋…＋a31＝50，那么a2＋a6＋a10＋…＋a42的值为
A.60
B.－82
C.182
D.－96
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析 a2＋a6＋a10＋…＋a42＝a1＋d＋a4＋2d＋a7＋3d＋…＋a31＋11d
＝(a1＋a4＋…＋a31)＋(d＋2d＋3d＋…＋11d)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
－3
14.已知在各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，a2＝2，log2an＋1＋log2an＝n(n∈N＋)，则a1＋a2＋…＋a2
021－21
012＝________.
解析 log2an＋1＋log2an＝n?log2(an＋1an)＝n?an＋1an＝2n?anan－1＝2n－1
(n≥2)?
＝2(n≥2)，
所以数列{an}的奇数项构成首项为1，公比为2的等比数列，偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
58
所以log2an＝7－2n，
所以|log2an|＝|2n－7|，
所以数列{|log2an|}的前10项和为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知数列{an}是首项a1＝
，公比q＝
的等比数列，设bn＋2＝3
(n∈N＋)，数列{cn}满足cn＝anbn.
(1)求证：数列{bn}为等差数列；
所以bn＋2＝3
＝3n，
所以bn＝3n－2，
所以bn＋1－bn＝3，b1＝3×1－2＝1，
所以{bn}是首项为1，公差为3的等差数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
①－②，得
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
本课结束再练一课(范围：§5.2～§5.3)
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( )
A.
B．－
C.
D．－
答案 C
解析 由题意知q≠1，则S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，Sn＝10，则n等于( )
A．90
B．119
C．120
D．121
答案 C
解析 ∵an＝＝－，
∴Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝
－1＝10，∴n＋1＝121，故n＝120.
3．(多选)在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列的通项公式是( )
A．an＝3n，n∈N＋
B．an＝3n－1，n∈N＋
C．an＝(－1)n－13n，n∈N＋
D．an＝2n－1，n∈N＋
答案 AC
解析 由a3＝a1q2，得q2＝9，即q＝±3.
∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n或an＝a1qn－1＝3×(－3)n－1＝(－1)n－13n.故数列的通项公式是an＝3n，n∈N＋或an＝(－1)n－13n，n∈N＋.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S16>0，且S17<0，则当Sn最大时n的值为( )
A．8
B．9
C．10
D．16
答案 A
解析 ∵S16＝＝8(a8＋a9)>0，
∴a8＋a9>0，即a8>－a9.
∵S17＝＝17a9<0，
∴a9<0，a8>－a9>0，
则当n＝8时，Sn最大．
5．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则数列{bn}的前10项和为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 依题意bn＝＝
＝＝－，
所以数列{bn}的前10项和为S10＝＋＋＋…＋＝－＝.
6．在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，n∈N＋，则S15＋S22－S31的值是________．
答案 －76
解析 S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，
S22＝－4×11＝－44，
S31＝－4×15＋a31＝－60＋121＝61，
则S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
7．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_____.
答案 100
解析 由题意得，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.
8．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N＋)，则数列的前n项和Tn＝________.
答案
解析 令bn＝，
由数列的递推公式，可得＝(n≥2，n∈N＋)，
且b1＝＝1，
则bn＝b1××××…×＝1××××…×＝，
所以Tn＝1＋＋＋…＋
＝1＋2
＝1＋2＝.
9．求数列1，3a，5a2，7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和Sn.
解 当a＝0时，Sn＝1.
当a＝1时，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)
＝＝n2.
当a≠0且a≠1时，
Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－3)an－2＋(2n－1)an－1，
aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＋(2n－1)an，
两式相减，有
(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋…＋2an－1－(2n－1)an
＝1＋2×－(2n－1)an，
此时Sn＝＋.
当a＝0时，也满足此式．
综上，Sn＝
10．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝1＋log2(an)2，若数列的前n项和为Tn，求Tn.
解 (1)因为an＋1＝2＋Sn(n∈N＋)，
所以an＝2＋Sn－1(n≥2)，
所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，
所以an＋1＝2an(n≥2)，
又因为a2＝2＋a1＝4，a1＝2，
所以a2＝2a1，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
则an＝2·2n－1＝2n(n∈N＋)．
(2)因为bn＝1＋log2(an)2，
则bn＝2n＋1，
所以＝＝，
所以Tn＝
＝＝.
11．已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，Sn为数列{an}的前n项和，则S2
020的值为( )
A．0
B．1
C．6
D．4
答案 D
解析 由题意可得a1＝2，a2＝3，a3＝1，a4＝－2，a5＝－3，a6＝－1，a7＝2，a8＝3，a9＝1，…，则数列{an}是以6为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，
所以S2
020＝336×(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋a1＋a2＋a3＋a4＝4.
12．若在等差数列{an}中，d＝－2，a1＋a4＋a7＋…＋a31＝50，那么a2＋a6＋a10＋…＋a42的值为( )
A．60
B．－82
C．182
D．－96
答案 B
解析 a2＋a6＋a10＋…＋a42
＝a1＋d＋a4＋2d＋a7＋3d＋…＋a31＋11d
＝(a1＋a4＋…＋a31)＋(d＋2d＋3d＋…＋11d)
＝50＋d＝50＋66d＝－82.
13．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和的比值为(n∈N＋)，则＝________.
答案
解析 设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，则＝＝＝＝＝＝.
14．已知在各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，a2＝2，log2an＋1＋log2an＝n(n∈N＋)，则a1＋a2＋…＋a2
021－21
012＝________.
答案 －3
解析 log2an＋1＋log2an＝n?log2(an＋1an)＝n?an＋1an＝2n?anan－1＝2n－1(n≥2)?＝2(n≥2)，所以数列{an}的奇数项构成首项为1，公比为2的等比数列，偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，所以a1＋a2＋…＋a2
021－21
012＝＋－21
012＝－3.
15．已知{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且＝，则数列{|log2an|}的前10项和为________．
答案 58
解析 根据题意＝＝q3，
所以q＝，
从而有an＝32·n－1＝27－2n，
所以log2an＝7－2n，
所以|log2an|＝|2n－7|，
所以数列{|log2an|}的前10项和为5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝＋＝58.
16．已知数列{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列，设bn＋2＝3(n∈N＋)，数列{cn}满足cn＝anbn.
(1)求证：数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
(1)证明 由已知可得an＝a1qn－1＝n，
所以bn＋2＝3＝3n，
所以bn＝3n－2，
所以bn＋1－bn＝3，b1＝3×1－2＝1，
所以{bn}是首项为1，公差为3的等差数列．
(2)解 cn＝anbn＝(3n－2)×n，
所以Sn＝1×＋4×2＋7×3＋…＋(3n－2)×n，①
Sn＝1×2＋4×3＋…＋(3n－5)×n＋(3n－2)×n＋1，②
①－②，得
Sn＝＋3－(3n－2)×n＋1
＝＋3×－(3n－2)×n＋1
＝－(3n＋2)×n＋1，
所以Sn＝－.
