(共26张PPT)
第五章 数 列
再练一课(范围:§5.2~§5.3)
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于
基础巩固
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2.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=
,Sn=10,则n等于
A.90
B.119
C.120
D.121
√
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∴n+1=121,故n=120.
3.(多选)在等比数列{an}中,已知a1=3,a3=27,则数列的通项公式是
A.an=3n,n∈N+
B.an=3n-1,n∈N+
C.an=(-1)n-13n,n∈N+
D.an=2n-1,n∈N+
√
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解析 由a3=a1q2,得q2=9,即q=±3.
∴an=a1qn-1=3×3n-1=3n或an=a1qn-1=3×(-3)n-1=(-1)n-13n.
故数列的通项公式是an=3n,n∈N+或an=(-1)n-13n,n∈N+.
√
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S16>0,且S17<0,则当Sn最大时n的值为
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∴a8+a9>0,即a8>-a9.
∴a9<0,a8>-a9>0,则当n=8时,Sn最大.
5.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则数列{bn}的前10项和为
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所以数列{bn}的前10项和为
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6.在数列{an}中,已知Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),n∈N+,则S15+S22-S31的值是________.
解析 S15=-4×7+a15=-28+57=29,
S22=-4×11=-44,
S31=-4×15+a31=-60+121=61,
则S15+S22-S31=29-44-61=-76.
-76
解析 由题意得,a1+a2+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100)=100.
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7.已知函数f(n)=
且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100=_____.
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9.求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n项和Sn.
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解 当a=0时,Sn=1.
当a=1时,Sn=1+3+5+7+…+(2n-1)
当a≠0且a≠1时,
Sn=1+3a+5a2+…+(2n-3)an-2+(2n-1)an-1,
aSn=a+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1+(2n-1)an,
两式相减,有
(1-a)Sn=1+2a+2a2+…+2an-1-(2n-1)an
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当a=0时,也满足此式.
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10.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=2+Sn(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
解 因为an+1=2+Sn(n∈N+),
所以an=2+Sn-1(n≥2),
所以an+1-an=Sn-Sn-1=an,
所以an+1=2an(n≥2),
又因为a2=2+a1=4,a1=2,所以a2=2a1,
所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,
则an=2·2n-1=2n(n∈N+).
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解 因为bn=1+log2(an)2,
则bn=2n+1,
综合运用
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11.已知数列{an}满足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,Sn为数列{an}的前n项和,则S2
020的值为
A.0
B.1
C.6
D.4
√
解析 由题意可得a1=2,a2=3,a3=1,a4=-2,a5=-3,a6=-1,a7=2,a8=3,a9=1,…,
则数列{an}是以6为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,
所以S2
020=336×(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2+a3+a4=4.
12.若在等差数列{an}中,d=-2,a1+a4+a7+…+a31=50,那么a2+a6+a10+…+a42的值为
A.60
B.-82
C.182
D.-96
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解析 a2+a6+a10+…+a42=a1+d+a4+2d+a7+3d+…+a31+11d
=(a1+a4+…+a31)+(d+2d+3d+…+11d)
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解析 设数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,
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14.已知在各项均为正数的数列{an}中,a1=1,a2=2,log2an+1+log2an=n(n∈N+),则a1+a2+…+a2
021-21
012=________.
解析 log2an+1+log2an=n?log2(an+1an)=n?an+1an=2n?anan-1=2n-1
(n≥2)?
=2(n≥2),
所以数列{an}的奇数项构成首项为1,公比为2的等比数列,偶数项构成首项为2,公比为2的等比数列,
拓广探究
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所以log2an=7-2n,
所以|log2an|=|2n-7|,
所以数列{|log2an|}的前10项和为
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16.已知数列{an}是首项a1=
,公比q=
的等比数列,设bn+2=3
(n∈N+),数列{cn}满足cn=anbn.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
所以bn+2=3
=3n,
所以bn=3n-2,
所以bn+1-bn=3,b1=3×1-2=1,
所以{bn}是首项为1,公差为3的等差数列.
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(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
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①-②,得
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本课结束再练一课(范围:§5.2~§5.3)
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )
A.
B.-
C.
D.-
答案 C
解析 由题意知q≠1,则S3==a1q+10a1,得q2=9,又a5=a1q4=9,则a1=.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=,Sn=10,则n等于( )
A.90
B.119
C.120
D.121
答案 C
解析 ∵an==-,
∴Sn=(-1)+(-)+…+(-)=
-1=10,∴n+1=121,故n=120.
3.(多选)在等比数列{an}中,已知a1=3,a3=27,则数列的通项公式是( )
A.an=3n,n∈N+
B.an=3n-1,n∈N+
C.an=(-1)n-13n,n∈N+
D.an=2n-1,n∈N+
答案 AC
解析 由a3=a1q2,得q2=9,即q=±3.
∴an=a1qn-1=3×3n-1=3n或an=a1qn-1=3×(-3)n-1=(-1)n-13n.故数列的通项公式是an=3n,n∈N+或an=(-1)n-13n,n∈N+.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S16>0,且S17<0,则当Sn最大时n的值为( )
A.8
B.9
C.10
D.16
答案 A
解析 ∵S16==8(a8+a9)>0,
∴a8+a9>0,即a8>-a9.
∵S17==17a9<0,
∴a9<0,a8>-a9>0,
则当n=8时,Sn最大.
5.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则数列{bn}的前10项和为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 依题意bn==
==-,
所以数列{bn}的前10项和为S10=+++…+=-=.
6.在数列{an}中,已知Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),n∈N+,则S15+S22-S31的值是________.
答案 -76
解析 S15=-4×7+a15=-28+57=29,
S22=-4×11=-44,
S31=-4×15+a31=-60+121=61,
则S15+S22-S31=29-44-61=-76.
7.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100=_____.
答案 100
解析 由题意得,a1+a2+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100)=100.
8.在数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2,n∈N+),则数列的前n项和Tn=________.
答案
解析 令bn=,
由数列的递推公式,可得=(n≥2,n∈N+),
且b1==1,
则bn=b1××××…×=1××××…×=,
所以Tn=1+++…+
=1+2
=1+2=.
9.求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n项和Sn.
解 当a=0时,Sn=1.
当a=1时,Sn=1+3+5+7+…+(2n-1)
==n2.
当a≠0且a≠1时,
Sn=1+3a+5a2+…+(2n-3)an-2+(2n-1)an-1,
aSn=a+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1+(2n-1)an,
两式相减,有
(1-a)Sn=1+2a+2a2+…+2an-1-(2n-1)an
=1+2×-(2n-1)an,
此时Sn=+.
当a=0时,也满足此式.
综上,Sn=
10.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=2+Sn(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=1+log2(an)2,若数列的前n项和为Tn,求Tn.
解 (1)因为an+1=2+Sn(n∈N+),
所以an=2+Sn-1(n≥2),
所以an+1-an=Sn-Sn-1=an,
所以an+1=2an(n≥2),
又因为a2=2+a1=4,a1=2,
所以a2=2a1,
所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,
则an=2·2n-1=2n(n∈N+).
(2)因为bn=1+log2(an)2,
则bn=2n+1,
所以==,
所以Tn=
==.
11.已知数列{an}满足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,Sn为数列{an}的前n项和,则S2
020的值为( )
A.0
B.1
C.6
D.4
答案 D
解析 由题意可得a1=2,a2=3,a3=1,a4=-2,a5=-3,a6=-1,a7=2,a8=3,a9=1,…,则数列{an}是以6为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,
所以S2
020=336×(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2+a3+a4=4.
12.若在等差数列{an}中,d=-2,a1+a4+a7+…+a31=50,那么a2+a6+a10+…+a42的值为( )
A.60
B.-82
C.182
D.-96
答案 B
解析 a2+a6+a10+…+a42
=a1+d+a4+2d+a7+3d+…+a31+11d
=(a1+a4+…+a31)+(d+2d+3d+…+11d)
=50+d=50+66d=-82.
13.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和的比值为(n∈N+),则=________.
答案
解析 设数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,则======.
14.已知在各项均为正数的数列{an}中,a1=1,a2=2,log2an+1+log2an=n(n∈N+),则a1+a2+…+a2
021-21
012=________.
答案 -3
解析 log2an+1+log2an=n?log2(an+1an)=n?an+1an=2n?anan-1=2n-1(n≥2)?=2(n≥2),所以数列{an}的奇数项构成首项为1,公比为2的等比数列,偶数项构成首项为2,公比为2的等比数列,所以a1+a2+…+a2
021-21
012=+-21
012=-3.
15.已知{an}是首项为32的等比数列,Sn是其前n项和,且=,则数列{|log2an|}的前10项和为________.
答案 58
解析 根据题意==q3,
所以q=,
从而有an=32·n-1=27-2n,
所以log2an=7-2n,
所以|log2an|=|2n-7|,
所以数列{|log2an|}的前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=+=58.
16.已知数列{an}是首项a1=,公比q=的等比数列,设bn+2=3(n∈N+),数列{cn}满足cn=anbn.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
(1)证明 由已知可得an=a1qn-1=n,
所以bn+2=3=3n,
所以bn=3n-2,
所以bn+1-bn=3,b1=3×1-2=1,
所以{bn}是首项为1,公差为3的等差数列.
(2)解 cn=anbn=(3n-2)×n,
所以Sn=1×+4×2+7×3+…+(3n-2)×n,①
Sn=1×2+4×3+…+(3n-5)×n+(3n-2)×n+1,②
①-②,得
Sn=+3-(3n-2)×n+1
=+3×-(3n-2)×n+1
=-(3n+2)×n+1,
所以Sn=-.