(共12张PPT)
第一课时
华东师大版八年级（下册）
一个角是直角
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形
平行四边形
矩形的
两条对角线相等且互相平分
矩形的对边平行且相等
矩形的四个角都是直角
边
对角线
角
矩形的定义
矩形的性质
复
习
思考与探究
一天,小丽和吴娟到一个商店准备给今天要过生日的肖华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个好朋友的相片,为了保证相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法可以知道她们拿的就是矩形相框呢?
小丽通过测量四个角来判断.
她的做法对吗?
探索
有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴∠A+∠B=180°
∠B+∠C=180°
∴
AD∥BC，AB∥CD.
∴
四边形ABCD是平行四边形.
D
B
C
A
∴
四边形ABCD是矩形
(
?
)
想想：为何不说四个角是直角的四边形是矩形?
矩形判定定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形.
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
几何语言:
思考与探究
一天,小丽和吴娟到一个商店准备给今天要过生日的肖华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个好朋友的相片,为了保证相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法可以知道她们拿的就是矩形相框呢?
吴娟采用测量对角线来判断.
你能证明她做法的正确性吗?
证明:
∴AB=DC,BD=CA,AD=DA
∴△BAD≌△CDA(SSS)
∴∠BAD=∠CDA
∵AB∥CD，
∴∠BAD
+∠CDA=180°
∴∠BAD＝90°
∴四边形ABCD是矩形(
?
)
对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:四边形ABCD是平行四边形,AC=BD
求证:四边形ABCD是矩形
∵四边形ABCD是平行四边形
探索
矩形判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
∵
四边形ABCD是平行四边形,
AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形
几何语言:
思考:对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗?
对角线相等且平分的四边形是矩形
∠A=∠B=∠C=90°
□ABCD
AC=BD
□ABCD
∠A=90°
ABCD
是矩形
四边形ABCD
是矩形
ABCD
是矩形
O
A
B
C
D
(1)
(2)
(3)
归纳
∵AB∥CD
∴∠ABC＋∠BCD=180°
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD
∴∠GBC＝1/2∠ABC，
∠GCB＝1/2∠DCB
∴∠GBC
+
∠GCB
=1/2×180°=90
°
即:∠BGC=90°
同理:∠AFB=∠AED=90°
∴四边形EFGH是矩形
(
？
)
例1.已知,如图,平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于
E、F、G、H。求证：四边形
EFGH为矩形．
证明：
练习:已知,如图，MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D．求证:AC=BD
例2.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且E、F、G、H分别
是AO、BO、CO、DO的中点。求证：四边形EFGH是矩形．
证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴AO=BO=CO=DO
(
?
)
∵E、F、G、H分别是AO、BO、
CO、DO的中点
∴OE=OF=OG=OH
∴EO+OG=FO+OH
即:EG=FH
∴四边形EFGH是矩形（
？）
P104练习
第1题
一.判断题
1.对角线相等的四边形是矩形。
2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
3.有一个角是直角的四边形是矩形。
4.四个角都是直角的四边形是矩形。
5.四个角都相等的四边形是矩形。
6.对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。
7.对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
二.选择:
1.具备条件____的四边形是矩形．
A．两条对角线相等
B．对角线互相垂直
C．一组对角是直角
D．有三个角是直角
2.
能够判断一个四边形是矩形的条件是
.
A.对角线相等
B.对角线垂直
C.对角线互相平分且相等
D.对角线垂直且相等
练习
C
D
√
√
√
×
×
×
×
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形
.
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
有三个角是直角的四边形是矩形
.
方法1：
方法2：
方法3：
作
业
P104练习
第2
、3题
P106习题
第1、2题(共12张PPT)
第二课时
华东师大版八年级（下册）
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
矩形的性质:
矩形的判定:
具有平行四边形的一切特征
四个角都是直角
对角线相等的平行四边形
对角线相等且平分
有一个角是直角的平行四边形
有三个角是直角的四边形
对角线相等且平分的四边形
什么叫矩形?
矩形有哪些性质与判定?
既是轴对称图形,又是中心对称图形
两个“等于斜边一半”定理
注意：
矩形因特殊在角上，判定只与角和对角线有相关。
1.能够判断一个四边形是矩形的条件是（
）
A.对角线相等
B.对角线垂直
C.对角线互相平分且相等
D.对角线垂直且相等
2.矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是
cm.
3.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的角平分线，四边形ABCD是(
)
A.菱形
B.平行四边形
C.矩形
D.不能确定
C
5
C
例1：直角三角形斜边上的高和斜边上的中线分别是5cm和6cm，
求三角形的面积。
A
B
C
D
E
∵∠ACB=90ο,中线CD=6cm
∴AB=CD=2×6=12cm
∵CE⊥AB，CE=5cm
∴S△ABC=1/2.AB.CE
=12×5÷2
=30(cm2)
解:
想一想:
若将条件高线为5改为∠B=60°,其他条件不变,如何求三角形周长?
BE呢？
练习:在矩形ABCD中,AB=AE=10cm,E是CD上的一点,且∠AED=300,求BC和∠CBE.
A
B
C
D
E
∵AB=4cm，AC=8cm
∴BC=
例2.已知:平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三
角形，AB=4cm，求平行四边形的面积与周长.
∵四边形ABCD是□
∴AC=2AO，BD=2BO
∵△AOB是等边三角形且AB=4cm
∴OA=OB=4cm
∴AC=BD=8cm
∴□ABCD是矩形
在Rt△ABC中，
∴S□ABCD=
A
B
C
D
O
解:
C□ABCD=
练习:如图,矩形纸片ABCD中,AB=3厘米，BC=4厘米,现将A、C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF.求重叠部分△AEF的面积。
A
B
E
C
D
F
G
1
2
3
x
x
x
4-x
3
例3：如图,在□ABCD中,以AC为斜边作Rt△ACE,又∠BED=90°。
求证：四边形ABCD是矩形.
连接EO
∵ABCD是平行四边形
∴点O为AC和BD中点(
?
)
∵∠AEC=∠BED=90°
∴AC=2EO
BD=2EO
(
?
)
即:AC=BD
∴□ABCD是矩形(
?
)
证明:
练习:△ABC中,点O是AC边上中点,过点O作直线MN//BC,设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
求证：四边形AECF是矩形。
M
N
B
C
D
E
O
F
A
∥
∥
3
2
1
∕
∕
∕
P106练习
第1
、2题
例4.如图,矩形ABCD的两对角线交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交AD、BC于点E、F,连接CE,已知△CDE的周长为24
cm,求矩形ABCD的周长.
∵四边形ABCD矩形
∴点O为AC中点
(
?
)
∵EF垂直AC
∴EF是AC的中垂线
∴EA=EC
(
?
)
∵△CDE的周长为24cm,
∴DC+DE+EC=24cm
即:DC+AD=24cm
∴C矩形ABCD=2×24=48cm.
解:
练习:如图,在矩形ABCD中,AE=BF=3,EF⊥ED交BC于点F,矩形的周长为22,求EF的长.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
x
x
例5:如图,E为矩形ABCD边CB延长线上一点,CE=CA,F为AE的中点.
求证：BF⊥FD
A
B
C
D
F
E
连接FC
∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB=∠ABC=∠ABE=90°
AD=BC
∵点F为Rt△斜边AE中点
∴AF=BF(
?
)
∴∠FAB
=∠FBA
即:∠FAD
=∠FBC
∴△FAD≌△FBC(
?
)
∴∠1
=∠3
∵CE=CA，点F为AE中点
中点
1
2
3
∴∠AFC=90°（
?
）
即:∠1
+∠2
=
90°
∴∠3
+∠2
=
90°
即:∠DFB=90°
∴
BF⊥FD
证明:
练习:如图四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=900，E是AC中点,EF平分∠BED交BD于点F.
求证：EF=BD
A
B
C
D
E
F
∟
∟
●
例6:已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C'处,BC'交AD于E,
AD=16，AB=8，求DE的长．
⌒
⌒
⌒
1
2
3
解:
由题意得:
∴
∠2=∠3
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠DAB=90°
∴
∠1=∠3
∴
BE=DE
设DE=x,则有:AE=16-x
在Rt△ABE中，AB=8
即：DE=10
△BCD≌△BCˊD
即:
∠1=∠2
解得：x=10
练习:将一个边长分别为4、8的矩纸片
ABCD折叠,使C与A重合,求折痕EF的长.
⌒
1
⌒
2
⌒
3
N
4
x
8-x
x
巩固练习
B
C
D
A
O
1.如图,矩形ABCD两条对角线相交于点O:
若AB=3,BC=4，则△AOB的周长为
；
若矩形的对角线长10㎝,一条边长6cm,则矩形的面积=
.
若∠AOB=60°,AB=4，则△AOB是
三角形,对角线BD=
.
2.矩形ABCD中，两条对角线的夹角为60°，并且较短边AB与对角线
AC的和为6cm，则较长边BC的长为_____
3.一个矩形的对角线长为8，对角线与一边的夹角是45°，则矩形
的两邻边长为_____
_.
10cm
8
正
8
4.在矩形ABCD中,AB=3,BD=5交于O,则△AOB的周长为
,△AOB的
面积为
．
5.一条直线把矩形的周长平分，这样的直线有
条.
无数
8
3
1.弄清矩形的性质与判定的区别与联系.并能熟练应用.
2.会应用矩形的性质与判定来证明和计算一些几何问题.
3.进一步理解矩形与平行四边形之间的关系.
4.矩形(平行四边形)与勾股定理、等腰三角形、中垂线及全等的综合应用，学会看图与读题，理顺已知与未知关系，并在头脑中构思好解答步骤，然后写出解答过程.
作
业
P107习题
第3、4、5、6题
P106练习
第3题
