丰富的图形世界（基础）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么从上面看得到的图形是(
)．
2．用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是
(
)．
A．圆柱
B．圆锥
C．三棱柱
D．正方体
3．（2016?达州）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是（ ）
A．遇
B．见
C．未
D．来
4．按如图所示的图形中的虚线折叠可以围成一个棱柱的是(
)．
5．如图所示，下列图形绕着虚线旋转一周得到圆锥体的是
(
)
6．（2014?杭州模拟）如图所示的正方体，用一个平面截去它的一个角，则截面不可能是（
A.
锐角三角形
B.
等腰三角形
C.
等腰直角三角形
D.
等边三角形
二、填空题
7．五棱柱有________个顶点，________条棱，________个面．
8．柱体包括________和________，锥体包括________和________．
9．（2016?市南区一模）如图，5个边长相等的小正方形拼成一个平面图形，小丽手中还有一个同样的小正方形，她想将它与图中的平面图形拼接在一起，从而可以构成一个正方体的平面展开图，则小丽总共能有
种拼接方法．
10．如图所示是一个几何体从正面、左面、上面观察所得到的图形，则这个几何体是________．
11．用一个平面去截一个三棱锥，截面可能是
形或
形．
12.（2015?杭州模拟）如图，由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体俯视图和左视图的面积之和是 ．
三、解答题
13．
如图所示是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题：
(1)如果面A在多面体的上面，那么哪一面会在下面?
(2)如果面F在多面体的后面，从左面看是面B，那么哪一面会在上面?
(3)从右面看是面A，从上面看是面E，那么哪一面会在前面?
14．（2014秋?围场县校级期末）连线：将图中四个物体与（下面一排中）其相应的俯视图连接起来．
15．如图所示是一个机器零件从正面看和从上面看所得到的图形，求该零件的体积(取3.14，单位：mm)(提示：底面积×高)．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】D
【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“遇”与“的”是相对面，
“见”与“未”是相对面，
“你”与“来”是相对面．
故选D．
4．【答案】C
【解析】A、D中两个底面不能放在同一侧，B中侧面个数与底面边数不等，故选C．
5．【答案】D
【解析】选项A、B、C、D中的图形旋转一周分别形成圆台、球、圆柱和圆锥，故选D．
6．【答案】C
【解析】截面经过正方体的3个面时，得到三角形，但任意两条线段不可能垂直，所以截面不可能是等腰直角三角形，故选C．
二、填空题
7．【答案】10，
15，
7
【解析】五棱柱上底面有5个顶点，下底面有5个顶点，共10个顶点；上、下底面各有5条棱，竖直有5条棱，共15条棱；7个面，其中5个侧面，2个底面．
8．【答案】圆柱，棱柱；
圆锥，棱锥
9．【答案】4.
【解析】解：如图所示：
故小丽总共能有4种拼接方法．
故答案为：4．
10．【答案】三棱柱(或填正三棱柱)
【解析】考查空间想象能力．
11．【答案】三角，四边.
【解析】动手操作或空间想象，便得答案．
12．【答案】5
【解析】从左面看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，从上面看第一层三个小正方形，该几何体俯视图和左视图的面积之和是2+3=5．
三、解答题
13．【解析】
解：(1)如果面A在多面体的上面，那么面C会在下面．
(2)如果面，在多面体的后面，从左面看是面C，那么向外折时面C会在上面，向里折时面A会在上面．
(3)从右面看是面A，从上面看是面E，那么向外折时从前面看是面B，向里折时从前面看是面D．
14．【解析】
解：如图所示：
15．
【解析】
解：(mm3)，
即该零件的体积为40048
mm3．
提示：由该零件从正面看和从上面看所得到的图形可以确定该零件是由上、下两部分组成的，上面是一个高为32
mm，底面直径为20
mm的圆柱；下面是一个长为30
mm，宽为25
mm，高为40
mm的长方体，零件的体积是圆柱与长方体体积之和．
PAGE丰富的图形世界（基础）知识讲解
责编：张强
【学习目标】
1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类，并能从组合图形中分离出基本几何体；
2．认识点、线、面、体的基本含义，了解点、线、面、体之间的关系；
3．能辨认和画出从不同方向观察立方体及其简单组合体得到的形状图；
4．了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型．
【要点梳理】
要点一、立体图形
1．
定义：
图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．
【高清课堂：多姿多彩的图形397362
空间图形的分类】
要点诠释：
常见的立体图形有两种分类方法：
2．
棱柱的相关概念：
在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱．
通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图）
要点诠释：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．
（2）长方体、正方体都是四棱柱．
（3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形．
3．点、线、面、体：
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系．
此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体．
要点二、展开与折叠
有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．
(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．
要点三、截一个几何体
用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等．
要点四、从三个方向看物体的形状
一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．（如下图）
【典型例题】
类型一、立体图形
1．（2014秋?天津期末）下列图形不是立体图形的是（ ）
A.
球
B.
圆柱
C.
圆锥
D.
圆
【答案】D
【总结升华】图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形.
类型二、点、线、面、体
2．分别指出下列几何体各有多少个面?面与面相交形成的线各有多少条?线与线相交形成的点各有多少个?
如图所示．
【答案与解析】
解：（1）4个面，6条线，4个顶点；（2）6个面，12条线，8个顶点；（3）
9个面，16条线，9个顶点．
【总结升华】(1)数几何体中的点、线、面数时，要按一定顺序数，做到不重不漏．(2)一般地，n棱柱有(n+2)个面(其中2为两个底面)，n棱锥有(n+1)个面(其中1为一个底面)．
【高清课堂：多姿多彩的图形397362旋转体】
3．如图所示的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面相对应的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．
【答案与解析】
【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．
举一反三：
【变式】（2014?长沙一模）如图，直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
解：将如图所示的直角三角形绕直线l旋转一周，可得到圆锥，
类型三、展开与折叠
4．（2016?徐州）下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可．
【答案】C
【解析】正方体沿着不同棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况：
故选：C．
【总结升华】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．
举一反三：
【变式】说出下列四个图形(如图所示)分别是由哪个立体图形展开得到的?
【答案】
(1)正方体；(2)圆柱；(3)三棱柱；(4)四棱锥．
类型四、截一个几何体
5．如图所示，用四个不同的平面去截一个正方体，请根据截面的形状填空：
（1）截面是
正方形；（2）截面是
正方形；
（3）截面是
长方形；（4）截面是
长方形．
【思路点拨】根据正方体的形状及截面的角度和方向判断即可．
【答案与解析】
解：（1）竖截正方体，截面平行于侧面，那么截面应该是个正方形；
（2）横截正方体，截面平行于两底，那么截面应该是个正方形；
（3）（4）沿对边截正方体，截面应该都是个长方形．
故答案为：正方形；正方形；长方形；长方形．
【总结升华】本题考查正方体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
举一反三：
【变式】用一个平面去截一个正方体，则截面的形状不可能为（
）
A．四边形
B．七边形
C．六边形
D．三角形
【答案】B
类型五、从三个方向看物体的形状
6．如图所示的是一个三棱柱，试着把从正面、左面、上面观察所得到的图形画出来．
【思路点拨】注意观察的角度和方向．
【答案与解析】
解：从正面观察这个三棱柱，看到的图形是长方形；从左面观察它，看到的图形是长方形；从上面观察，看到的图形是三角形．因此，从三个方向看，得到的图形如图所示．
【总结升华】若要画出从不同方向观察物体所得的图形，方向、角度一定要选准．因为从不同方向观察得到的图形往往不同．
举一反三：
【高清课堂：多姿多彩的图形397362三视图例3】
【变式】画出下列几何体从正面、左面、上面观察所得到的图形．
【答案】
从正面看
从左面看
从上面看
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1.
（2014?甘肃模拟）下列语句正确的（ ）个
（1）带“﹣”号的数是负数；
（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数；
（3）不存在既不是正数又不是负数的数；
（4）0℃表示没有温度．
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
2.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是
(
)
A．0是整数
B．0是偶数
C．0是正整数
D．0既不是正数也不是负数
3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是
(
)
A．前进-18米的意义是后退18米
B．收入-4万元的意义是减少4万元
C．盈利的相反意义是亏损
D．公元-300年的意义是公元后300年
4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是
(
)
A．甲站的东边70千米处
B．甲站的西边20千米处
C．甲站的东边30千米处
D．甲站的西边30千米处
5．在有理数中，下面说法正确的是（
）
A．身高增长和体重减轻是一对具有相反意义的量
B．有最大的数
C．没有最小的数，也没有最大的数
D．以上答案都不对
6.下列各数是正整数的是
（
）
A．－1
B．2
C．0．5
D．
二、填空题
1．（2014秋?朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作 ．
2．在数中，非负数是______________；非正数是
__________.
3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示
.
4．既不是正数，也不是负数的有理数是
.
5．（2016春?温州校级期中）如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作 _________米．
6．是整数而不是正数的有理数是
.
7．既不是整数，也不是正数的有理数是
.
8．一种零件的长度在图纸上是（）毫米，表示这种零件的标准尺寸是
毫米，加工要求最大不超过
毫米，最小不小于
毫米.
三、解答题
1．说出下列语句的实际意义.
（1）输出-12t
（2）运进-5t
（3）浪费-14元
（4）上升-2m
(5)向南走-7m
2．（2014秋?晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．
﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.
3．（2015秋?赣州校级期末）随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”，记录数据如下表：
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程（km）
﹣8
﹣11
﹣14
0
﹣16
+41
+8
（1）请你估计小明家的小轿车一月（按30天计）要行驶多少千米？
（2）若每行驶100km需用汽油8L，汽油每升7.14元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？
4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?
(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，
，
，...
，...
(2)-1,,-,,,,,
,
,...
,...
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B
【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误；
（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数，正确；
（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误；
（4）0℃表示没有温度，错误．
综上，正确的有（2），共一个．
2.【答案】C
【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.
3.
【答案】D
【解析】D错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.
4.
【答案】
C
【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处.
5.【答案】C
【解析】A错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B错误，没有最大的数也没有最小数；C对.
6.
【答案】B
二、填空题
1.【答案】﹣5米
2.【答案】0.5，100，0，
；，0，-45
【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.
3.【答案】公元前2008年
【解析】正负数表示具有相反意义的量.
4.【答案】0
【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.
5.【答案】-20.
【解析】解：∵向东行驶10米，记作+10米，
∴向西行驶20米，记作﹣20米，
故答案为：﹣20．
6.【答案】负整数和0
【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.
7.【答案】负分数
【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.
8.【答案】10，，
【解析】表示的数的范围为：大于，而小于，即大于而小于.
三、解答题
1.
【解析】（1）输出-12t表示输入12t
；
（2）运进-5t表示运出5t；
（3）浪费-14元表示节约14元；
（4）上升-2m表示下降2m；
(5)向南走-7m表示向北走7m.
提示：“-”表示相反意义的量.
2．【解析】
3.【解析】
解：（1）=50，
50×30=1500（km）．
答：小明家的小轿车一月要行驶1500千米；
（2）×8×7.14×12=10281.6（元），
答：小明家一年的汽油费用是10281.6元．
4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…
（2）
PAGE有理数的意义
责编：张强
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3.
掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数；
像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，
“+”常省略，但
“-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：
（2）按正数、负数与0的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、正数与负数
1．（2016?广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）
A．支出20元
B．收入20元
C．支出80元
D．收入80元
【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【答案】C
【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，
则﹣80表示支出80元．
故选：C．
【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
举一反三：
【高清课堂：有理数的意义
356786
概念的应用例3（1）】
【变式1】（2015?太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）
A．50.0千克
B．50.3千克
C．49.7千克
D．49.1千克
【答案】D．
解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________
表示，0元表示__________
.
(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出.
(2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.
【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（
）．
A．－20m
B．－40m
C．20m
D．40m
【答案】B
2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
（1）
这8名男生有百分之几达到标准？
（2）
他们共做了多少引体向上？
【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56个.
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
类型二、有理数的分类
【高清课堂：有理数的意义
356786
概念的应用例2】
3．下面说法中正确的是(
)．
A．
非负数一定是正数．
B．
有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．一定是负数．
D
．正整数和正分数统称正有理数．
【答案】D
【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B)
最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当为负数或0时，则为正数或0，而不是负数；(D)对
【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.
举一反三：
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（
）
（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（
）
（3）整数又叫自然数.（
）
（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（
）
【答案】√，
，，
【变式2】下列四种说法，正确的是(
).
(A)所有的正数都是整数
(B)不是正数的数一定是负数
(C)正有理数包括整数和分数
(D)0不是最小的有理数
【答案】D
4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.
1,
0.0708,
-700,
-3.88,
0,
3.14159265,
，
.
正整数集合:{
…}，
负整数集合:{
…}，
整数集合:{
…}，
正分数集合:{
…}，
负分数集合:{
…}，分数集合:{
…}，
非负数集合：{
…}，非正数集合：{
…}.
【答案】正整数：
1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；
负分数：
-3.88，；
分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，；
非负数：
1,0.0708，
3.14159265，0，；
非正数：-700,
-3.88,
0,
【解析】
【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.
举一反三：
【变式】（2014秋?惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有 个．
【答案】2.
类型三、探索规律
5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是
粒.
【答案】()
【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：，，，，，按此规律，第n组应该有种子数（）粒.
【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.
举一反三：
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是：
【答案】-3
【变式2】观察下列有规律的数：根据其规律可知第9个数是：
【答案】
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．（2015?铜仁市）2015的相反数是（ ）
A.2015
B.-2015
C.-
D.
2．如果，那么两个数一定是（
）．
A．都等于0
B．一正一负
C．互为相反数
D．互为倒数
3．下列判断中，正确的是(
)．
A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
B．如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；
C．任何数的绝对值都是正数；
D．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数．
4．（2016?娄底）已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（ ）
A．M
B．N
C．P
D．Q
5．下列各式中正确的是(
)．
A．
B．
C．-3.7＜-5.2
D．0＞-2
6．若两个有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是(
)．
A．a＞b
B．|a|＞|b|
C．-a＜-b
D．-a＜|b|
二、填空题
7．（2015?五通桥区一模）如果a与1互为相反数，则|a+2|等于________．
8．
化简下列各数：
(1)_
；(2)
；(3)________．
9．已知|x|＝2，|y|＝5，且x＞y，则x＝________，y＝________．
10．数a在数轴上的位置如图所示．则|a-2|＝
．
11．在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是
．
12．已知，则x的取值范围是________．
三、解答题
13．（2016春?新泰市期中）绝对值大于2而小于6的所有整数的和是多少？（列式计算）
14．化简下列各数，再用“<”连接．
(1)-(-54)
(2)-(+3.6)
(3)
(4)
15．（2014秋?孟津县期中）已知：a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数．计算：3a+3b+c的值是多少？
【答案与解析】
一、选择题
1．
【答案】B
2．
【答案】C
【解析】若，则一定互为相反数；反之，若互为相反数，则
3．【答案】B
【解析】A错误，因为两个数的绝对值相等，这两个数可能互为相反数；B正确；C错误，因为0的绝对值是0，而0不是正数；D错误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0．
4．【答案】D
【解析】解：∵点Q到原点的距离最远，
∴点Q的绝对值最大．
故选：D．
5．【答案】D
【解析】0大于负数．
6．【答案】B
【解析】离原点越远的数的绝对值越大．
二、填空题
7.【答案】1
【解析】∵a与1互为相反数，∴a=﹣1，把a=﹣1代入|a+2|得，|a+2|=|﹣1+2|=1．
8．【答案】
【解析】多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”个数为偶数个时，化简结果为正；若“-”个数为奇数个时，化简结果为负．
9．【答案】
±2，-5
【解析】|
x
|＝2，则x=±2；
|
y
|＝5，
y=±5．但由于x＞y，所以x=±2，y=-5
10．【答案】a-2
【解析】由图可知：a≥2，所以|a-2|=a-2．
11．【答案】-3，1
12．【答案】
【解析】将看成整体，即，则，故，．
三、解答题
13.【解析】
解：根据题意画出数轴，如图所示：
根据图形得：绝对值大于2而小于6的所有整数有：﹣3，﹣4，﹣5，3，4，5，
这几个整数的和为：
（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）+3+4+5
=[（﹣3）+3]+[（﹣4）+4]+[（﹣5）+5]
=0．
答：绝对值大于2而小于6的所有整数的和是0．
14．【解析】
(1)-(-54)＝54
(2)-(+3.6)＝-3.6
(3)
（4），
按从小到大排列可得：
15.
【解析】
解：∵a是﹣（﹣5）的相反数，
∴a=﹣5，
∵b比最小的正整数大4，
∴b=1+4=5，
∵c是最大的负整数，
∴c=﹣1，
∴3a+3b+c=3×（﹣5）+3×5﹣1，
=﹣15+15﹣1，
=﹣1．
PAGE绝对值与相反数（基础）
责编：张强
【学习目标】
1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；
2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；
3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
【要点梳理】
要点一、相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．
2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．
（2）互为相反数的两数和为0．
要点二、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4
；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4
．
要点诠释：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．
要点三、绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点四、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小．
如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
3．
作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4．
求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5．
倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
【典型例题】
类型一、相反数的概念
1．（2016?益阳）的相反数是（ ）
A．2016
B．﹣2016
C．
D．
【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数．
【答案】C
【解析】解：∵﹣与只有符号不同，
∴﹣的相反数是．
故选：C．
【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变．
举一反三：
【变式】（2015?天水）若a与1互为相反数，则|a+1|等于（ ）
A.-1
B.0
C.1
D.2
【答案】B
类型二、多重符号的化简
2．（2014秋?本溪校级月考）化简：
（1）﹣{+[﹣（+3）]}；
（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）]}．
【答案与解析】
解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3；
（2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．
【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
类型三、绝对值的概念
3．求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
【思路点拨】，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．
【答案与解析】
方法1：因为到原点距离是个单位长度，所以．
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．
因为到原点的距离是个单位长度，所以．
方法2：因为，所以．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0
因为，所以
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．
类型四、比较大小
4．比较下列有理数大小：
(1)-1和0；
(2)-2和|-3|
；
(3)和
；
（4）______
【答案】
(1)0大于负数，即-1＜0；
(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；
(3)先化简，，，即．
(4)先化简，，这是两个负数比较大小：因为，，而，所以，即＜
【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．
【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．
举一反三：
【高清课堂：绝对值比大小
356845
典型例题2】
【变式】比大小：
______
；
-|-3.2|______-(+3.2)；
0.0001______－1000；
______－1.384；
－π______－3.14．
【答案】＞；=；＞；＞；＜
类型五、绝对值非负性的应用
5.已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．
【答案】
解：因为|2-m|+|n-3|＝0
且|2-m|≥0，|n-3|≥0
所以|2-m|＝0，|n-3|＝0
即2-m＝0，n-3＝0
所以m＝2，n＝3
故m-2n＝2-2×3＝-4．
【解析】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．
类型六、绝对值的实际应用
6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
【答案】
因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．
【总结升华】绝对值越小，越接近标准．
【变式】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：
+0.0018
-0.0023
+0.0025
-0.0015
+0.0012
+0.0010
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶
(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．（2016?河南模拟）某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）
A．﹣10℃
B．﹣6℃
C．10℃
D．6℃
2.（2015?吉林）若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（ ）
A．
+
B．
﹣
C．
×
D．
÷
3．两个有理数相加，和小于其中一个加数而大于另一个加数，需满足（
）
A．两个数都是正数
B．两个数都是负数
C．一个是正数，另一个是负数
D．至少有一个数是零
4．下列说法中正确的是
A．正数加负数，和为0
B．两个正数相加和为正；两个负数相加和为负
C．两个有理数相加，等于它们的绝对值相加
D．两个数的和为负数，则这两个数一定是负数
5．下列说法正确的是(
)
A．零减去一个数，仍得这个数
B．负数减去负数，结果是负数
C．正数减去负数，结果是正数
D．被减数一定大于差
6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差(
)
A．0.8kg
B．0.6kg
C．0.5kg
D．0.4kg
7.
-3+5的相反数是(
)．
A．2
B．-2
C．-8
D．8
二、填空题
8.有理数
c在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”
（1）｜a｜______｜b｜；（2）a＋b＋c______0：
（3）a－b＋c______0；（4）a＋c______b；
（5）c－b______a．
9.（2015?上海）计算：|﹣2|+2=________．
10．某月股票M开盘价20元，上午10点跌1.6元，下午收盘时又涨了0.4元，则股票这天的收盘价是_______．
11．列出一个满足下列条件的算式：(1)所有的加数都是负数，和为-5，________；(2)一个加数是0，和是-5________；(3)至少有一个加数是正整数，和是-5，________．
12.
数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是
.
13.（2016?汉阳区模拟）计算（﹣3）+（﹣9）的结果为
．
三、解答题
14.计算题
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
15.
已知：|a|=2,|b|=3，求a+b的值．
16.（2014?永嘉县校级模拟）某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2．（单位：元）
（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？
（2）盈利（或亏损）了多少钱？
【答案与解析】
一、选择题
1.
【答案】C
【解析】解：2﹣（﹣8）
=2+8
=10℃．
故选C．
2．【答案】B
3.
【答案】C
【解析】举例验证．
4．【答案】B
【解析】举反例：如5+(-2)＝＋3≠0，故A错；如：(-2)+(-3)≠|-2|+|-3|，故C错；如(+2)+(－8)＝-6，故D错误．
5．【答案】C
【解析】举反例逐一排除．
6．【答案】B
【解析】因为最低重量为24.7kg，最大重量为25.3kg，故质量最多相差25.3-24.7＝0.6kg．
7．【答案】B
二、填空题
8.
【答案】＜，＜，＞，＞，＞
【解析】由图可知：，且，再根据有理数的加法法则可得答案.
9.【答案】4.
10．【答案】18.8元
【解析】跌1.6元记为-1.6元，涨0.4元记为+0.4元，故有收盘价为20+(-1.6)+0.4-18.8．
11．【答案】(1)(-2)+(-3)＝-5
(2)(-5)+0＝-5
(3)2+(-7)＝-5
【解析】答案不唯一．
12.
【答案】－1
【解析】(2☆3)☆2＝(2☆3)-2+1＝2-3+1-2+1＝-1
13.
【答案】-12．
【解析】同号两数相加的法则是取相同的符号，并把绝对值相加.
原式=﹣（3+9）=﹣12.
三、解答题
14.
【解析】（1）原式；
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式=
15.
【解析】由题意知：a=±2,
b=±3，所以要分四种情况代入求值.
∵|a|=2,
∴
a=±2,
∵|b|=3,
∴b=±3.
当a=+2,
b=+3时,
a+b=(+2)+(+3)=+5;
当a=+2,
b=-3时,
a+b=(+2)+(-3)=-1;
当a=-2,b=+3时,
a+b=(-2)+(+3)=+1;
当a=-2,
b=-3时,
a+b=(-2)+(-3)=-5.
16.
【解析】
解：根据题意得
（1）2﹣3+2+1﹣2﹣1+0﹣2=﹣3，
55×8+（﹣3）=437元，
∵437＞400，
∴卖完后是盈利；
（2）437﹣400=37元，
故盈利37元．
PAGE有理数的加减法（基础）
责编：张强
【学习目标】
1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；
2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；
3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
3.运算律：
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言
a+b＝b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言
(a+b)+c＝a+(b+c)
要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．
【高清课堂：有理数的加减
382681
有理数的减法】
要点二、有理数的减法
1.定义：
已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．
要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2）
几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
要点诠释：
将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
要点三、有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【典型例题】
类型一、有理数的加法运算
1．计算：
(1)(+20)+(+12)；
(2)；
(3)(+2)+(-11)；
(4)(-3.4)+(+4.3)；
(5)(-2.9)+(+2.9)；
(6)(-5)+0．
【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．
(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；
(2)
(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9
(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9
(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；
(6)(-5)+0＝-5．
【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．
举一反三：
【变式1】计算：
【答案】
【变式2】计算：（1）
(+10)+(-11)；
（2）
【答案】（1）
(+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；
（2）
类型二、有理数的减法运算
2．
计算：(1)(-32)-(+5)；
(2)(+2)-(-25)．
【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【答案与解析】法一：
法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27
【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
举一反三：
【变式】（2015?泰安）若（ ）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（ ）
A．
﹣1
B．
1
C．
5
D．
﹣5
【答案】B．
根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3.
类型三、有理数的加减混合运算
3．（2016春?浦东新区期中）计算：3.8+4﹣（+6）+（﹣8）
【思路点拨】根据有理数的加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，求解即可．
【答案与解析】
解：原式=（3.8﹣6.8）+（4﹣8）
=﹣3﹣4
=﹣7，
【总结升华】本题考查了有理数的加减混合运算的知识，如果在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
举一反三：
【高清课堂：有理数的加减
382681
简便方法计算】
【变式】用简便方法计算：
(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7)
(2)
2
【答案】
(1)
原式=[(-3.8)+
(-4.2)]+[
(-2.4)+
(-0.7)
+(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2
(2)原式=（2-1-4）+（--+-）=-3+[-++(--)]=-3-1=-4
类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用
4.（2014秋?香洲区期末）邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km到达A村，继续向南骑行3km到达B村，然后向北骑行9km到C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；
（2）C村离A村有多远？
（3）邮递员一共骑了多少千米？
【思路点拨】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm表示1km，按此画出数轴即可；
（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；
（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和．
【答案与解析】
解：（1）依题意得，数轴为：
；
（2）依题意得：C点与A点的距离为：2+4=6（千米）；
（3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．
【总结升华】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．
举一反三：
【变式1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表：
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
100
150
350
-400
-100
(1)第一名超过第二名多少分?
(2)第一名超过第五名多少分?
【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．
(1)
350-150＝200(分)
(2)
350-(-400)＝350+400＝750(分)
答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．
【变式2】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：
197，202，197，203，200，196，201，198．
计算出售的粮食总共多少千克?
【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6
200×8+(-6)＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．
法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．（2015?佛山）﹣3的倒数为（ ）
A．﹣
B．
C．
3
D．
﹣3
2.下列计算①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）=6；②（﹣36）÷（﹣9）=﹣4；③×（﹣）÷（﹣1）=；④（﹣4）÷×（﹣2）=16．其中正确的个数（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
3.
下列说法错误的是（
）
A.一个数与1相乘仍得这个数.
B.互为相反数（除0外）的两个数的商为-1.
C．一个数与-1相乘得这个数的相反数.
D.互为倒数的两个数的商为1.
4.两个数之和为负，商为负，则这两个数应是
(
)
A．同为负数
B．同为正数
C．一正一负且正数的绝对值较大
D．一正一负且负数的绝对值较大
5.计算：的结果是（
）
A．-8
B．8
C．-2
D．2
6.
在算式中的所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小（
）．
A．+
B．-
C．×
D．÷
7.
下列计算：①0-(-5)＝-5；②；③；④；⑤若，则x的倒数是6．其中正确的个数是（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
8．（2015?镇江二模）（﹣6）×（﹣）= ．
9.若，则
0，
0，
0.
10.
若|a|＝5，b＝-2，且a÷b＞0，则a+b＝________．
11.在-2，3，4，-5这四个数中，任取两个数相乘所得积最大的是
，所得的商最小是
12.如果6个不等于0的数相乘得积为负数，则在这6个乘数中，正的乘数有
个.
13.如果，那么
0.
14.
是一个简单的数值运算程序，当输入-1时，则输出的数值____．
三、解答题
15.计算：
(1)(-0.125)×(-18)×(-8)×0×(-1)
(2)
(3)
(-6)×45+(-6)×55
（4）
16．（2016?杭州）计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式=6+6=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
17．已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，则
的结果是多少？
18．受金融危机的影响，华盛公司去年1～3月平均每月亏损15万元，4～6月平均每月盈利20万元，7～10月平均每月盈利17万元，11～12月平均每月亏损23万元这个公司决定：若平均每月盈利在3万元以上，则继续做原来的生产项目，否则要改做其他项目．请你帮助该公司进行决策是否要改做其他项目，并说明你的理由．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A．
2.【答案】C
【解析】解：①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）=﹣6，故原题计算错误；
②（﹣36）÷（﹣9）=4，故原题计算错误；
③×（﹣）÷（﹣1）=，故原题计算正确；
④（﹣4）÷×（﹣2）=16，故原题计算正确，
正确的计算有2个，
故选：C．
3.【答案】D
【解析】D错误，因为互为倒数的两个数的积是1，而不是商.
4.【答案】D
【解析】商为负，说明两数异号；和为负，说明负数的绝对值较大.
5.【答案】A
【解析】
6.【答案】C
【解析】填入“+”时，算式4-|-3+5|＝4-2＝2；填入“-”时，算式4-|-3-5|＝4-8＝-4；填入“×”时，算式4-|-3×5|＝4-15＝-11；填入“÷”时，4-|-3÷5|＝．因此，填入“×”时，计算出来的值最小．
7.【答案】B
【解析】②③正确．0-(-5)＝5；(-36)÷(-9)＝4．
二、填空题
8.【答案】2.
【解析】（﹣6）×（﹣）=2.
9.【答案】＜，＜，＞
【解析】由可得：同号，又，所以同负，进而可得：这两个数的商应为正数.
10.【答案】-7
【解析】由|a|＝5，知a＝±5．而ab＞0，说明a、b是同号，而b＝-2<0，所以a＝-5，所以a+b＝(-5)+(-2)＝-7．
11.【答案】12；-2
【解析】选择3和4相乘所得的积最大，选择4和-2，并且4除以-2所得的商最小.
12.【答案】1,3,5
【解析】积为负数，说明其中负因子的个数为奇数个，因为共有偶数个因子，所以正因子的个数也为奇数个，所以为：1,3,5
13.【答案】＜
【解析】由可得：异号，又与同号，所以而所以
14.【答案】4
【解析】(-1)×(-1)+3＝4
三、解答题
15.【解析】
(1)(-0.125)×(-18)×(-8)×0×(-1)＝0
(2)
(3)(-6)×45+(-6)×55＝(-6)×(45+55)＝-600
（4）原式=
16.【解析】解：方方的计算过程不正确，
正确的计算过程是：
原式=6÷（﹣+）
=6÷（﹣）
=6×（﹣6）
=﹣36．
17.【解析】由题意得a+b＝0，cd＝1，m＝1或m＝-1．
当m＝1时，原式；
当m＝-1时，原式．
综合可知：的结果是0或-2．
18.【解析】不需要改做其他项目．
理由：(-15)×3+20×3+17×4+(-23)×2＝-45+60+68-46＝37(万元)．因为
，所以不需要改做其他项目．
PAGE有理数的乘除（基础）
责编：张强
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2.
理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3.
巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4.
培养观察、分析、归纳及运算能力.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点诠释：
(1)
不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2.
有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3.
有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点诠释：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
要点二、有理数的除法
1.倒数的意义：
乘积是1的两个数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2.
有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】
类型一、有理数的乘法运算
1．（2015?台湾）算式（﹣1）×（﹣3）×之值为何？（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】根据有理数的乘法法则，先确定符号，然后把绝对值相乘即可
【答案】D．
【解析】
解：原式=××=
.
【总结升华】本题考查的是有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键，计算时，先确定符号，然后把绝对值相乘．
2．
(1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．
(1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．
3.运用简便方法计算：
(1)
(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4
(3)
【思路点拨】
(1)根据题目特点，可以把折成，再运用乘法分配律进行计算．(2)运用乘法结合律，把第1、4个因式结合在一起．(3)逆用乘法分配律：ab+ac＝a(b+c)．
【答案与解析】
解：(1)
（分配律）
(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4
＝（-4×0.25）×[0.5×(-100)]
（交换律）
＝-1×(-50)＝50（结合律）
(3)
（逆用乘法的分配律）
【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．
举一反三：
【变式1】（2014?玄武区一模）计算16.8×+7.6×的结果是 ．
【答案】7．
解：原式=8.4×
=（8.4+7.6）×
=16×
=7．
【高清课堂：有理数乘除
381226
多个有理数相乘例2】
【变式2】；
【答案】（
类型二、有理数的除法运算
4．计算：(1)(-32)÷(-8)
（2）
【答案与解析】
(1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)=
4
……用法则二进行计算．
(2)
……用法则一进行计算．
【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择．
举一反三：
【高清课堂：有理数乘除
381226
有理数除法（法则）】
【变式】
计算：（1）
【答案】原式
类型三：有理数的乘除混合运算
5.（2015秋?德惠市校级期中）计算：（﹣2）×．
【思路点拨】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【答案与解析】解：原式=2××3×3
=9．
【总结升华】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】计算：(-9)÷(-4)÷(-2)
【答案】
(-9)÷(-4)÷(-2)＝-9÷4÷2＝
【变式2】计算：(1)
(2)
【答案】
(1)
(2)
类型四、有理数的加减乘除混合运算
6.
计算（1）；
（2）
【答案与解析】（1）
=6-2+9-5=8
（2）法1：原式=
法2：由（1）知：，所以
【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决．
举一反三：
【变式】
【答案】
原式
类型五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题
7.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少?
【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米，气温就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此气温降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的气温．
【答案与解析】
解：(℃)
因此8000米的高空的气温大约是-21℃．
【总结升华】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．（2015?南昌）2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300000公里正线运营考核”标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将300000用科学记数法表示为（ ）
A．3×106
B．
3×105
C．
0.3×106
D．
30×104
2．下列说法中，正确的是（
）．
A．一个数的平方一定大于这个数
B．一个数的平方一定是正数
C．一个数的平方一定小于这个数
D．一个数的平方不可能是负数
3．式子的意义是（
）．
A．
4与5商的立方的相反数
B．4的立方与5的商的相反数
C．4的立方的相反数除5
D．的立方
4．（2016?宝应县一模）（﹣1）2016的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C．2016
D．﹣2016
5．计算(-1)2+(-1)3＝(
)
A．-2
B．-
1
C．0
D．2
6．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是(
)
．
A．7
B．9
C．3
D．1
7．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为(
)
．
A．米
B．米
C．米
D．米
二、填空题
8．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在中底数是________，指数是________．
9.（2014?郸城县校级模拟）计算：﹣（﹣3）2=
．
10．
；
；=
；
．
11．
,
12．6008000=
（用科学记数法表示），=
（把用科学记数法表示的数还原）.
13．
，
，
，……，从而猜想：……．
三、解答题
14．（2016春?浦东新区期中）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷|﹣|3．
15.（2014秋?蓬溪县校级月考）某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（由1个分裂成2个）．若经过4小时，100个这样的细菌可分裂成多少个？
16．探索规律：观察下面三行数，
2，
-4，
8，
-16，
32，
-64，…
①
-2，
-8，
4，
-20，
28，
-68，…
②
-1，
2，
-4，
8，
-16，
32，…
③
(1)
第①行第10个数是多少？
(2)
第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)
取每行第10个数，计算这三个数的和．
【答案与解析】
一、选择题
1.
【答案】B．
2．【答案】D
【解析】一个数的平方与这个数的大小不定，例如：；而；，从而A，C均错；一个数的平方是正数或0，即非负数，所以B错，只有D对．
3．【答案】B
【解析】表示4的立方与5的商的相反数
4．【答案】A
【解析】解：∵（﹣1）2016=1，
∴（﹣1）2016的值是1，
故选A．
5．【答案】C
【解析】
(-1)2＝1，(-1)3＝-1
6．【答案】D
【解析】个位上的数字每4个一循环，100是4的倍数，所以的个位数字应为1．
7．【答案】C
二、填空题
8．【答案】4
，
-2
，
3
，
2，
2，
2
【解析】依据乘方的定义解答
9.
【答案】﹣9．
10．【答案】3，
-32，
11．【答案】-27，72
12．【答案】6.008×106
；
300
800；
13．【答案】
【解析】
，
，，
……
从而猜想：每组数中，右边的幂的底数与左边的最后一个数的关系是：．
所以……．
三、解答题
14．【解析】
解：原式=9﹣×﹣6÷
=9﹣﹣6×
=9﹣﹣
=9﹣21
=﹣12．
15.【解析】
解：根据题意得：100×28=25600（个），
则经过4小时，100个这样的细菌可分裂成25600个．
16．【解析】
（1）2,
-4，
8，
-16，
32，
-64，…
①
第①行可以改写为：2，
，，……,,……
由-2的指数规律，可以知道n=10时，即
=-1024为第
①行第10个数．
（2）第②行数是第①行相应的数减4；第③行数是第①行相应的数的-0.5倍；
（3）第②行第10个数为-1024-4=-1028
第③行第10个数为（-0.5）（-1024）=512
所以第①行、第②行、第③行第10个数字之和为-1024+（-1028）+512=-1540．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．（2016?益阳）的相反数是（ ）
A．2016
B．﹣2016
C．
D．
2.（2015?菏泽）如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A．点M
B．
点N
C．
点P
D．
点Q
3．
在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-中，负数的个数是
(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
４．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（
）
A．2.02×人
B．202×人
C．2.02×人
D．2.02×人
5．若-1
）
A．a2B．a
<<
a2
C．a2
D．a
<
a2
<
6．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是(
)
A．6
B．-6
C．-1
D．-1或6
7．a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（
）
A．
a+b>0
B．
ab>0
C．>0
D．a-b>0
8．已知有理数，在数轴上对应的两点分别是A，B．请你将具体数值代入，，充分实验验证：对于任意有理数，，计算A，
B两点之间的距离正确的公式一定是（
）
A．
B．
C．
D．
二、
填空题
9.（2015?湖州）计算：23×（）2=
．
10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是___________.
11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102
000
000
000
000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___
_____千米．
12．，则；
，则.
13．已知实数a
,
在数轴上如下图所示，则=
.
14．若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b=
．
15．＝
．
16．（2016春?江苏校级期末）观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32016的个位数字是
．
三、
解答题
17．计算：
（1）
（2）
（3）21-49.5+10.2-2-3.5+19
（4）
18．已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，且x的绝对值为3，求2x2-(ab-c-d)+|ab+3|的值．
19.（2015?顺义区一模）居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2014年用电量为3000度，则2014年小敏家电费为多少元？
20．先观察下列各式：
；；；…；，根据以上观察，计算：…的值．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵﹣与只有符号不同，
∴﹣的相反数是．
故选：C．
2.【答案】C.
【解析】∵点M，N表示的有理数互为相反数.
∴原点的位置大约在O点，
∴绝对值最小的数的点是P点，故选C．
3．【答案】
C
【解析】负数有三个，分别是：-|-7|，-|+1|，
4．【答案】D
5．【答案】C
【解析】由-1a
|＜，所以a＞，所以a2．
6．【答案】D
【解析】2.5+3.5=6,
2.5-3.5=-1
7．【答案】D
【解析】由图可知，a、b异号，且b的绝对值较大．
8.【答案】D
【解析】按正负对，分类讨论．
二、填空题
9.【答案】2.
【解析】23×（）2=8×=2.
10．【答案】水位无变化
11．【答案】1.02×1014
12．【答案】
13．【答案】1-a
【解析】由图可知：a-1＜0，所以
│a-1│=-（a-1）=1-
a
14．【答案】0
【解析】∵|a-2|+|b+3|=0，∴a-2=0，b+3=0，即a=2，b=-3．∴3a+2b=6-6=0；
15．【答案】-5
【解析】
16．【答案】1
【解析】解：31=3，32=9，33=27，34=81，
35=243，36=729，37=2187，……，
∵2016÷4=504，
∴32016的个位数字与第4个数的个数数相同，是1．
故答案为：1．
三、解答题
17．【解析】
解：
(1)
原式
(2)
原式
（3）原式＝[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]＝50.2-55＝-4.8
(4)
原式＝
18．【解析】解：将ab＝1，c+d＝0，|x|＝3代入所给式子中得：
2×32-1+|1+3|＝21．
所以2x2-(ab-c-d)+|ab+3|=21
19.【解析】
解：根据题意得：2880×0.48+（3000﹣2880）×0.53=1446（元），
则2014年小敏家电费为1446元．
20．【解析】
解：原式
PAGE《有理数及其运算》全章复习与巩固（基础）
责编：张强
【学习目标】
1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．
2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．
3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．
4．会用科学记数法表示数．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类：
（2）按性质分类：
要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
数a的绝对值记作．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
要点二、有理数的运算
1
．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)
．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)
．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：
，
．
2．运算律：
（1）交换律:
①
加法交换律:a+b=b+a；
②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律:
①加法结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)；
②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)
作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
要点四、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200
000=．
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．
【答案】（1）0；
(2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1
【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全．
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．
举一反三：
【高清课堂：有理数专题复习
357133
概念的理解与应用】
【变式】(1)的倒数是
；的相反数是
；的绝对值是
．
-（-8）的相反数是
；的相反数的倒数是_____.
(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是
_
；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是
．
(3)
上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为
m／min．
(4)
若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则____
．
【答案】（1）；
；
；-8；2
（2）降价5．8元，70．2
元；（3）；（4）3；
2．（2015?杭州模拟）已知|x|=|﹣3|，则x的值为
．
【思路点拨】根据题意可知|x|=3，由绝对值的性质，即可推出x=±3．
【答案】±3．
【解析】
解：∵|﹣3|=3，
∴|x|=3，
∵|±3|=3，
∴x=±3．
【总结升华】本题主要考查绝对值的性质，关键在于求出3和﹣3的绝对值都为3．
3．在下列两数之间填上适当的不等号：
________．
【思路点拨】根据“a-b＞0，a-b＝0，a-b＜0分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．
【答案】
＜
【解析】
解法一：作差法
由于，所以
解法二：倒数比较法：因为
所以
【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．
举一反三：
【变式】（2015?宁德）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A．a+b＜0
B．
a﹣b＜0
C．
a?b＞0
D．
＞0
【答案】B．
类型二、有理数的运算
4．（2016?厦门）计算：．
【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【答案与解析】
解：原式=10+8×﹣2×5
=10+2﹣10
=2．
【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．
举一反三：
【变式】计算：（1）
（2）
【答案】解：（1）
（2）
=-16+4-3×1
=-15
类型三、数学思想在本章中的应用
5．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系．
A．-a＜a＜1
B．1＜-a＜a
C．1＜-a＜a
D．a＜1＜-a
（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．
（3）转化思想：计算：
【答案与解析】
解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a．
所以正确选项为：D．
（2）因为|
x|＝5，所以x为-5或5
因为|y|＝3，所以y为3或-3．
当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2
当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8
当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8
当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2
故（x-y）的值为±2或±8
（3）原式=
【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．
举一反三：
【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?
【答案】解：
当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；
当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；
当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．
所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．
类型四、规律探索
6．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：
请你写出第20行从左至右第10个数是________．
【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．
【答案】
【解析】
认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是．
【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．
x减去y的平方的差，用代数式表示正确的是（
）．
A、
B、
C、
D、
2.（2014秋?临潼区期末）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．
B．
a×3
C．
2m﹣1个
D．
1m
3.（2016?港南区二模）已知：a﹣3b=2，则6﹣2a+6b的值为（ ）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
4．已知单项式，下列说法正确的是(
)．
A．系数是-4，次数是3
B．系数是，次数是3
C．系数是，次数是3
D．系数是，次数是2
5．如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数(
)．
A．都小于3
B．都等于3
C．都不小于3
D．都不大于3
6．下列代数式：a+2b，，，，0中，整式的个数是(
)．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二、填空题
7.校园里刚栽下1.8m高的小树苗，以后每年长0.3m，则n年后是
m．
8.某种电脑原来是a元钱，“五一”搞促销活动，每台下降10%，则“五一”期间这种电脑的售价为
元．
9.（2015?长沙二模）单项式的系数与次数之积为
．
10．三个连续偶数中，最小的偶数为2n+4（n为整数），则最大的一个偶数为
．
11.有一大捆同种型号的电线，现要确定其长度，
从中先取一段电线，称出它的质量为千克，量出它的长度为米，再称得其余电线的总质量为千克，则这捆电线的总长度为
米．
12.（2016春?吴中区期末）观察下列关于x的单项式，探究其规律x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2016个单项式是
．
三、解答题
13.（2015秋?灌南县期中）请你结合生活实际，设计具体情境，解释下列代数式的意义：
（1）；
（2）（1+20%）x．
14．已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值．
15.某电影院有20排座位，已知第一排有18个座位，后面一排都比前一排多2个座位，试用代数式表示出第n排的座位数，并求第19排的座位数．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D；
2.【答案】A．
【解析】A、符合代数式的书写，故A选项正确；
B、a×3中乘号应省略，数字放前面，故B选项错误；
C、2m﹣1个中后面有单位的应加括号，故C选项错误；
D、1m中的带分数应写成假分数，故D选项错误．
3.
【答案】A；
【解析】解：∵a﹣3b=2，
∴6﹣2a+6b
=6﹣2（a﹣3b）
=6﹣2×2
=6﹣4
=2．
故选：A．
4．【答案】B；
5．【答案】D；
【解析】多项式的次数是该多项式中各项次数最高项的次数.
6.
【答案】D；
【解析】单项式与多项式统称为整式.
二、填空题
7.
【答案】（0.3n+1.8）；
8．【答案】90%a；
【解析】a（1-10%）＝90%.
9.
【答案】-2
【解析】根据单项式定义得：单项式的系数是﹣，次数是3；其系数与次数之积为﹣×3=﹣2．
10.【答案】2n+8；
【解析】三个连续偶数中，最小的偶数为2n+4，则其他偶数分别为：2n+6，2n+,8．
11.【答案】（或）；
【解析】1千克电线长米，则这捆电线的总长度为．
12.【答案】4031x2016．
【解析】解：根据分析的规律，系数满足的规律是2n-1，字母的指数等于n，得第2016个单项式是4031x2016．
故答案为：4031x2016．
三、解答题
13.【解析】
解：（1）汽车每小时行驶a千米，行驶30千米所用时间为小时．
（2）小明家去年产粮食x千克，今年增产20%，则今年的产量为（1+20%）x千克．
14．【解析】
15.
【解析】
解：
第一排有18个座位；第二排有(18+2)个；第三排有(18+2+2)个；
第四排有(18+2+2+2个，…，第n排有[18+2(n-1)]个座位．
当n＝19时，18+2(n-1)＝18+2×(19-1)＝54（个）．
答：第n排有[18+2(n-1)]个座位，第19排有54个座位．
PAGE用字母表示数及整式（基础）知识讲解
责编:张强
【学习目标】
1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；
2.
能按要求列出代数式，会求代数式的值；
3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；
4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系．
【要点梳理】
要点一、字母表示数
用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba．
要点二、代数式
1.代数式的定义：诸如：16n
，2a+3b
，34
，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
要点诠释：
带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式．
2.列代数式：
在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．
要点诠释：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“·
”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值．
要点三、整式
1.单项式
（1）单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点诠释：
①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数．
②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数．
③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．
④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．
2．多项式
(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．
要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．
(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点诠释：
①多项式的每一项包括它前面的符号．
②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点诠释：
①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为
-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4．
要点诠释：
①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；
②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．
3.整式：单项式与多项式统称为整式．
要点诠释：
（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．
【典型例题】
类型一、字母表示数
1．填空：
（1）如果a表示一个有理数，那么它的相反数是
；
（2）一个正方形的边长是a
cm，把这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的周长是
；
（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达________元．
【思路点拨】（1）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可；
（2）正方形的周长等于边长的4倍；（3）注意“多”、“少”、“倍”等词语对应的数学语言．
【答案】（1）-a；
（2）（4a+4)cm（或4（a+1）cm）；
（3）(2n+500).
【解析】
解：（1）如果a表示一个有理数，那么它的相反数是﹣a；
（2）这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的边长为(a+1)
cm，所以周长为4（a+1）cm，也即（4a+4)cm；
（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达(2n+500)元．
【总结升华】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
类型二、代数式
2．（2016春?定州市校级月考）下列式子中，不属于代数式的是（ ）
A．a+3
B．mn2
C．
D．x＞y
【思路点拨】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”、“＞（≥）”、“=”、“≠”等符号的不是代数式，分别进行各选项的判断即可．
【答案】D．
【解析】
解：A、是代数式，故本选项错误；
B、是代数式，故本选项错误；
C、是代数式，故本选项错误；
D、不是代数式，故本选项正确；
故选D．
【总结升华】本题考查了代数式的知识，注意将代数式与等式及不等式区分开来．
举一反三：
【变式1】
（1）x的平方的3倍与5的差，用代数式表示为
.
（2）
操作电脑时，甲4小时打x个字，乙3小时打y个字，甲乙两人每小时共打
个字．
【答案】（1）
（2）（）
【变式2】
（2015?吉林）购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（ ）
A．（a+b）元
B．
3（a+b）元
C．
（3a+b）元
D．
（a+3b）元
【答案】D．
类型三、整式
3．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
，，，，，a-3，，，
【答案与解析】
解：，，，，，，是单项式，其中
的系数是，次数是3；
的系数是-1，次数是1；
的系数是，次数是4；
的系数是，次数是4；
为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；
的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3；
只含有字母因数，系数是l，次数为字母指数之和为3．
【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如中，的指数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）是常数，不能看作字母．
举一反三：
【变式1】单项式3x2y3的系数是 ．
【答案】3．
【变式2】（泰州）下列结论正确的是(
)．
A．没有加减运算的代数式叫做单项式．
B．单项式的系数是3，次数是2．
C．单项式m既没有系数，也没有次数．
D．单项式的系数是-1，次数是4．
【答案】D
4.
（2015秋?三亚期末）说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？
（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1
（2）10x+y3﹣0.5．
【答案与解析】
解：（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1
是四次六项式，最高次项是﹣3x3y，
最高次项的系数是﹣3，
常数项是1；
（2）10x+y3﹣0.5，
是三次三项式，最高次项是y3，
最高次项的系数是1，
常数项是﹣0.5．
【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些次数中的最大的数即为多项式的次数．
举一反三：
【变式】下列代数式中，哪些是多项式，并说出相应多项式是几次几项式？
,
,，abc，
，
，a+1，
，
，
．
【答案】
解：多项式有：，，a+1，，．其中，
是一次二项式；是二次二项式；a+1是一次二项式；是一次二项式；是二次三项式．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．判断下列各组是同类项的有
(
)
．
(1)0.2x2y和0.2xy2；(2)4abc和4ac；(3)-130和15；(4)-5m3n2和4n2m3
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
2．下列运算正确的是(
)．
A．2x2+3x
2＝5x4
B．2x2-3x2＝-x2
C．6a3+4a4＝10a7
D．8ab2-8ba2＝0
3．（2015?柳州）在下列单项式中，与2xy是同类项的是（ ）
A．2x2y2
B．3y
C．xy
D．4x
4．在下列各组单项式中，不是同类项的是(
)．
A．和
B．-3和100
C．和
D．和
5．如果xy≠0，，那么a的值为(
)．
A．0
B．3
C．-3
D．
6.
买一个足球需要元，买一个篮球需要元，则买4个足球、7个篮球共需要（
）元．
A．
B．
C．
D．
7.
（2016春?迁安市校级月考）多项式x2﹣3kxy﹣3y2+xy﹣8化简后不含xy项，则k为（ ）
A．0
B．﹣
C．
D．3
二、填空题
8．写出的一个同类项
．
9.
已知多项式合并后的结果为零，则的关系为：
．
10．若与是同类项，则．
11.
合并同类项，得
．
12.在中没有同类项的项是
．
13.；．
14（2015?遵义）如果单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2015= ．
三、解答题
15.
（2014秋?嘉禾县校级期末）若单项式a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，求3m+n的值．
16.（2016春?东城区校级期中）化简：a2﹣2ab+b2﹣2a2+2ab﹣4b2．
17.
已知关于x，y的代数式中不含xy项，求k的值.
【答案与解析】
一、选择题
1.
【答案】B
【解析】
(1)0.2x2y和0.2xy2，所含字母虽然相同，但相同字母的指数不同，因此不是同类项．(2)4abc和4ac所含字母不同．(3)-130和15都是常数，是同类项．(4)-5m3n2和4n2m3所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项．
2．【答案】B
【解析】．
3.【答案】C
4．【答案】C
【解析】和中相同的字母的次数不相同．
5．【答案】D
【解析】与互为相反数，故．
6.
【答案】A
7.【答案】C
【解析】解：原式=x2+（1﹣3k）xy﹣3y2﹣8，
因为不含xy项，
故1﹣3k=0，
解得：k=．
故选C．
二、填空题：
8.
【答案】（答案不唯一）
【解析】只要字母部分为“”，系数可以是除0以外的任意有理数．
9．【答案】
【解析】均为的系数，要使合并后为0，则同类项的系数和应为0
．
10．【答案】1，3
11．【答案】
【解析】原式=．
12．【答案】
【解析】此多项式共有五项，分别是：，显然没有同类项的项为．
13．【答案】
14.【答案】1.
【解析】由同类项的定义可知，
a﹣2=1，解得a=3，
b+1=3，解得b=2，
所以（a﹣b）2015=1．
三、解答题
15.【解析】解：由a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，得，
解得．
当m=2，n=2时，3m+n=3×2+2=6+2=8．
16．【解析】
解：a2﹣2ab+b2﹣2a2+2ab﹣4b2
=（a2﹣2a2）+（﹣2ab+2ab）+（b2﹣4b2）
=﹣a2﹣3b2．
17.
【解析】
解：
因为不含项，所以此项的系数应为0，即有：，解得：.
∴.
PAGE整式的加减（一）——合并同类项（基础）
责编：张强
【学习目标】
1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；
2.
掌握同类项的有关应用；
3.
体会整体思想即换元的思想的应用．
【要点梳理】
【高清课堂：整式加减（一）合并同类项
同类项】
要点一、同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
要点诠释：
(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
要点二、合并同类项
1.
概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
要点诠释：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．
(2)
合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.
【典型例题】
类型一、同类项的概念
1．指出下列各题中的两项是不是同类项，不是同类项的说明理由．
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与
【答案与解析】本题应用同类项的概念与识别进行判断：
解：（1）（4）是同类项；（2）不是同类项，因为与所含字母的指数不相等；
（3）不是同类项，因为与所含字母不相同．
【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同.
“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．
举一反三：
【变式】下列每组数中，是同类项的是(
)
．
①2x2y3与x3y2
②-x2yz与-x2y
③10mn与
④(-a)5与(-3)5
⑤-3x2y与0.5yx2
⑥-125与
A．①②③
B．①③④⑥
C．③⑤⑥
D．只有⑥
【答案】C
2．（2016?乐亭县二模）若﹣2amb4与3a2bn+2是同类项，则m+n=
．
【思路点拨】直接利用同类项的概念得出n，m的值，即可求出答案．
【答案】4.
【解析】
解：∵﹣2amb4与3a2bn+2是同类项，
∴，
解得：
则m+n=4．
故答案为：4．
【总结升华】考查了同类项定义．同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同.
举一反三：
【高清课堂：整式加减（一）合并同类项
例1】
【变式】已知
和
是同类项，试求
的值．
【答案】
类型二、合并同类项
3．合并下列各式中的同类项：
(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy
(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
【答案与解析】
解：
(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy
＝(-2-5)x2+(-8+4)y2+(-5+5)x-6xy＝-7x2-4y2-6xy
(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
＝(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)＝8x2y-2xy2+2
【总结升华】(1)所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；(2)在进行合并同类项时，可按照如下步骤进行：第一步：准确地找出多项式中的同类项(开始阶段可以用不同的符号标注),没有同类项的项每一步保留该项；第二步：利用乘法分配律的逆运用，把同类项的系数相加，结果用括号括起来，字母和字母的指数保持不变；第三步：写出合并后的结果．
举一反三：
【变式】（2015?玉林）下列运算中，正确的是（ ）
A.
3a+2b=5ab
B.
2a3+3a2=5a5
C.
3a2b﹣3ba2=0
D.
5a2﹣4a2=1
【答案】C
解：3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；
2a3+和3a2不是同类项，不能合并，B错误；
3a2b﹣3ba2=0，C正确；
5a2﹣4a2=a2，D错误，
故选：C．
4．已知，求m+n-p的值．
【思路点拨】两个单项式的和一般情形下为多项式．而条件给出的结果中仍是单项式，这就意味着与是同类项．因此，可以利用同类项的定义解题．
【答案与解析】
解：依题意，得3+m＝4，n+1＝5，2-p＝-7
解这三个方程得：m＝1，n＝4，p＝9，
∴
m+n-p＝1+4-9＝-4．
【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．
举一反三：
【变式】若与的和是单项式，则
，
．
【答案】4，2
．
类型三、化简求值
5.
当时，分别求出下列各式的值．
（1）；
（2）
【答案与解析】（1）把当作一个整体，先化简再求值：
解：
又
所以，原式=
（2）先合并同类项，再代入求值．
解：
当p＝2，q＝1时，原式=．
【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．
举一反三：
【变式】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【答案】
解:
(1)原式，
当时，原式＝．
(2)原式，
当，时，原式＝．
类型四、“无关”与“不含”型问题
6.李华老师给学生出了一道题：当x＝0.16，y＝-0.2时，求6x3-2x3y-4x3+2x3y-2x3+15的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件x＝0.16，y＝-0.2是多余的”．王光说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理?为什么?
【思路点拨】要判断谁说的有道理，可以先合并同类项，如果最后的结果是个常数，则小明说得有道理，否则，王光说得有道理．
【答案与解析】
解：
＝(6-4-2)x3+(-2+2)x3y+15
＝15
通过合并可知，合并后的结果为常数，与x、y的值无关，所以小明说得有道理．
【总结升华】本题在化简时主要用的是合并同类项的方法，在合并同类项时，要明白：同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项不是同类项的一定不能合并．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1.（2015?江西模拟）计算：a﹣2（1﹣3a）的结果为（ ）
A.7a﹣2
B.﹣2﹣5a
C.4a﹣2
D.2a﹣2
2.（2016?黄陂区模拟）下列式子正确的是（ ）
A．x﹣（y﹣z）=x﹣y﹣z
B．﹣（x﹣y+z）=﹣x﹣y﹣z
C．x+2y﹣2z=x﹣2（z+y）
D．﹣a+c+d+b=﹣（a﹣b）﹣（﹣c﹣d）
3．计算-(a-b)+(2a+b)的最后结果为(
)．
A．a
B．a+b
C．a+2b
D．以上都不对
4.
(2010·山西)已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1，则这个多项式是(
)
A．-5x-1
B．5x+1
C．-13x-1
D．13x+1
5．代数式的值(
)．
A．与x，y都无关
B．只与x有关
C．只与y有关
D．与x、y都有关
6．如图所示，阴影部分的面积是(
)．
A．
B．
C．6xy
D．3xy
二、填空题
7．添括号：
（1）.．
（2）.．
8.（2015?镇江一模）化简：5（x﹣2y）﹣4（x﹣2y）=________.
9．若则的值是________．
10．（2016?河北）若mn=m+3，则2mn+3m﹣5mn+10=
．
11．已知a＝-(-2)2，b＝-(-3)3，c＝-(-42)，则-[a-(b-c)]的值是________．
12．如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n(n是正整数)个图案中由________个基础图形组成．
三、解答题
13.
化简
(1).（2015?宝应县校级模拟）2（3x2﹣2xy）﹣4（2x2﹣xy﹣1）
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
14.化简求值：
（1）.
已知：，求的值.
（2）.
,其中a
=
1,
b
=
3,
c
=
1.
（3）.
已知的值是6，求代数式
的值．
15.
有一道题目：当a=2,b=-2时，求多项式:3a3b3-2a2b+b-(4a3b3-a2b-b2)+(a3b3+a2b)-2b2+3的值.甲同学做题时把a=2错抄成a=-2，乙同学没抄错题，但他们做出的结果恰好一样。你能说明这是为什么吗？
【答案与解析】
一、选择题
1.
【答案】A.
2．【答案】D.
【解析】解：A、x﹣（y﹣z）=x﹣y+z，错误；
B、﹣（x﹣y+z）=﹣x+y﹣z，括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号，错误；
C、x+2y﹣2z=x﹣2（z﹣y），添括号后，括号前是“﹣”，括号里的各项都改变符号，错误；
D、正确．
故选D．
3.
【答案】C．
【解析】原式．
4．【答案】A
【解析】
(3x2+4x-1)-(3x2+9x)＝3x2+4x-1-3x2-9x＝-5x-1．
5．【答案】B
【解析】化简后的结果为，故它的值只与有关．
6．【答案】A
【解析】．
二、填空题
7.【答案】(1),.
(2)
8.【答案】x﹣2y．
【解析】原式=5x﹣10y﹣4x+8y=x﹣2y.
9．【答案】2010
【解析】
10．【答案】1
【解析】解：原式=﹣3mn+3m+10，
把mn=m+3代入得：原式=﹣3m﹣9+3m+10=1，
故答案为：1.
11．【答案】15
【解析】因为a＝-(-2)2＝-4，b＝-(-3)3＝27，c＝-(-42)＝16，所以-[a-(b-c)]＝-a+b-c＝15．
12．【答案】3n+1
【解析】第1个图形由3×1+1＝4个基础图形组成；第2个图形由3×2+1＝7个基础图形组成；第3个图形由3×3+1＝10个基础图形组成，故第n个图形由(3n+1)个基础图形组成．
三、解答题
13.
【解析】(1)原式=6x2﹣4xy﹣8x2+4xy+4=﹣2x2+4；
（2）原式=；
（3）原式==
（4）原式==
（5）原式==
（6）原式==
14．【解析】（1）原式=
=
原式恒为1，与的值无关。
（2）原式=
=
当a=-1,b=-3,c=1时，原式=9．
（3）解：因为，所以，
原式=
15.【解析】原式=3+b-b2，因为结果中不含a，所以与a无关，进而可得他们做出的结果一样．
PAGE整式的加减（二）—去括号与添括号（基础）
责编：张强
【学习目标】
1．掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；
2.
会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．
【要点梳理】
【高清课堂：整式的加减（二）--去括号与添括号388394
去括号法则】
要点一、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
要点诠释：
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
要点二、添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
要点诠释：
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：
如：，
要点三、整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
要点诠释：
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
【典型例题】
类型一、去括号
1．去括号：(1)d-2(3a-2b+3c)；(2)-(-xy-1)+(-x+y)．
【答案与解析】(1)d-2(3a-2b+3c)＝d-(6a-4b+6c)＝d-6a+4b-6c；
(2)-(-xy-1)+(-x+y)＝xy+1-x+y．
【总结升华】去括号时．若括号前有数字因数，应先把它与括号内各项相乘，再去括号．
举一反三
【变式1】去掉下列各式中的括号：
(1).
8m-(3n+5)；
(2).
n-4(3-2m)；(3).
2(a-2b)-3(2m-n).
【答案】(1).
8m-(3n+5)＝8m-3n-5.
(2).
n-4(3-2m)＝n-(12-8m)＝n-12+8m.
(3).
2(a-2b)-3(2m-n)＝2a-4b-(6m-3n)＝2a-4b-6m+3n.
【变式2】（2015?济宁）化简﹣16（x﹣0.5）的结果是（ ）
A．
﹣16x﹣0.5
B．
﹣16x+0.5
C．
16x﹣8
D．
﹣16x+8
【答案】D
类型二、添括号
2．在各式的括号中填上适当的项，使等式成立．
(1).
；
(2).
．
【答案】（1），，，.
（2），，，.
【解析】(1)
；
(2)
．
【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．
【高清课堂：整式的加减（二）--去括号与添括号
388394添括号练习】
举一反三
【变式】
．
【答案】；；；.
类型三、整式的加减
3．（2016?邢台二模）设A，B，C均为多项式，小方同学在计算“A﹣B”时，误将符号抄错而计算成了“A+B”，得到结果是C，其中A=x2+x﹣1，C=x2+2x，那么A﹣B=（ ）
A．x2﹣2x
B．x2+2x
C．﹣2
D．﹣2x
【思路点拨】根据题意得到B=C﹣A，代入A﹣B中，去括号合并即可得到结果．
【答案】C．
【解析】
解：根据题意得：A﹣B=A﹣（C﹣A）=A﹣C+A=2A﹣C=2（x2+x﹣1）﹣（x2+2x）=x2+2x﹣2﹣x2﹣2x=﹣2，
故选C.
【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
类型四、化简求值
4.
先化简，再求各式的值：
【答案与解析】原式=,
当时，原式=.
【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题的书写格式一般为：当……时，原式=？
举一反三
【变式1】先化简再求值：(-x2+5x+4)+(5x-4+2x2)，其中x＝-2．
【答案】
(-x2+5x+4)+(5x-4+2x2)＝-x2+5x+4+5x-4+2x2＝x2+10x.
当x＝-2，原式=(-2)2+10×(-2)＝-16．
【变式2】先化简，再求值：，其中化为相反数.
【答案】
因为互为相反数，所以
所以
5.
已知，，求整式的值．
【答案与解析】由，很难求出，的值，可以先把整式化简，然后把，分别作为一个整体代入求出整式的值．
原式
．
把，代入得，原式．
【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．
举一反三
【变式】已知代数式的值为8，求的值．
【答案】∵
，∴
．
当时，原式＝．
6.
如果关于x的多项式的值与x无关．你知道a应该取什么值吗？试试看．
【答案与解析】所谓多项式的值与字母x无关，就是合并同类项，结果不含有“x”的项，所以合并同类项后，让含x的项的系数为0即可．注意这里的a是一个确定的数．
(8x2+6ax+14)-(8x2+6x+5)
＝8x2+6ax+14-8x2-6x-5
＝6ax-6x+9
＝(6a-6)x+9
由于多项式(8x2+6ax+14)-(8x2+6x+5)的值与x无关，可知x的系数6a-6＝0．
解得a＝1．
【总结升华】本例解题的题眼是多项式的值与字母x无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x”的项．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1.（2015?黄冈中学自主招生）对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（ ）
A．0
B．1
C．3
D．5
2.（2016?东莞市一模）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是（ ）
A．48
B．56
C．63
D．74
3.小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围成三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）．
A．2010
B．2012
C．2014
D．2016
4．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二．若这种细菌由1个分裂到16个，那么这个过程要经过
(
)
．
A．1.5小时；
B．2小时；
C．3小时；
D．4小时．
5.
观察下列算式：
根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（
）．
A.
B.
C.
D.
6.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）．
A．50
B．64
C．68
D．72
二、填空题
7.
观察下列等式：9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20，49－25=24，…这些等式反映出自然数间的某种规律，设表示自然数，用含字母的等式表示这个规律
.
8.观察下面一列有规律的数：，……，根据规律可知第7个数是________，第n个数应是________（n是正整数）．
9．有一列数：1，2，3，4，5，6，……当按顺序从第二个数数到第n个数时，共数了________个数；当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时,
共数了________个数．
10.
今天是星期一，58天后是星期
．
11.（2016?南宁）观察下列等式：
在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第
层．
12.（2015?绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=
．
三、解答题
13.（2016春?郑州期末）任意一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数字的百位．百位数字乘十位数的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数与十位数相加，若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．
重复这个过程…
例如，以832开始，运算以上规则依次可得到：832，766，669，999，999，…
（1）你选择的三位数是什么？按上述规则进行运算你都得到了哪些数？你得到了什么结论？
（2）换个数试试，你有什么进一步的猜想？
14.如图a是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图b，再分别连接图b中各小三角形三边中点，得到图c，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：
图a
图b
图c
（1）将下表填写完整
图形编号
1
2
3
4
5
……
三角形个数
1
5
9
（2）在第n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示）.
15．从2开始，连续的偶数相加（特别地，把1个2相加也看成和）.和的情况如下：……
（1）推测从2开始，n个连续偶数相加，和是多少？
（2）取n=6，验证（1）的结论是否正确.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C．
【解析】∵1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，
而5!、…、10!的数中都含有2与5的积，∴5!、…、10!的末尾数都是0，
∴1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3．
2．【答案】C；
【解析】解：从方格上方的数的数1、3、5、可以推出m=7，
第一个方格中：3=1×2+1，
第二个方格中：15=3×4+3，
第三个方格中：35=5×6+5，
∴第四个方格中：n=7×8+7=63．
故选：C．
3.
【答案】D；
【解析】既是三角形数又是正方形数，应是12的倍数．
4.
【答案】B；
【解析】16＝24
，所以这个过程要经过了4个半小时，即2小时．
5．【答案】C；
【解析】末位数字以2，4，8，6为一个循环，20÷4＝5，所以的末位数字应与的末位数字相同．
6.
【答案】D；
【解析】第⑥个图形中五角星的个数：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2＝72．
二、填空题
7.
【答案】；
8．【答案】，；
【解析】第n个代数式为.
9．【答案】n－1,n－m＋1；
10.【答案】三；
【解析】58/7=8（星期）……2（天），所以是星期三.
11.【答案】44；
【解析】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，
第二层：第一个数为22=4，最后一个数为32﹣1=8，
第三层：第一个数为32=9，最后一个数为42﹣1=15，
∵442=1936，452=2025，
又∵1936＜2016＜2025，
∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，
故答案为：44．
12.【答案】110
【解析】根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，
可得6+4=a，6+3=c，ac+1=b，
可得：a=10，c=9，b=91，
所以a+b+c=10+9+91=110.
三、解答题
13.【解析】
解：（1）如选择的三位数是123，运用以上规则依次可得到：123，326，963，999，999，…
这组数的后面都是999；
（2）如选择的三位数是788，运用以上规则依次可得到：788，221，242，488，551，575，788，…如选择的三位数是255，运用以上规则依次可得到：255，117，717，477，114，414，744，117，…
猜想：无论给出一个什么样的三位数，总能得到重复出现的一组数：都是999或6个数为一组重复出现．
14．【解析】
解：（1）13，17
；
（2）1＋4（n－1）＝4n－3.
15.
【解析】
解：（1）n（n+1）；
（2）n=6，n（n+1）=6×7=42=2+4+6+8+10+12，（1）的结论正确.
PAGE探索规律（基础）知识讲解
责编：张强
【学习目标】
1.
通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；
2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；
3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.
【要点梳理】
要点一、规律探索型问题常见类型
1、数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.
要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.
2、图形规律
根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.
要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.
3、数表规律
解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.
要点二、规律探索型问题解题技巧
1、抓住条件中的变与不变
找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.
所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.
2、化繁为简，形转化为数
有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.
3、要进行计算尝试
找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.
4、寻找事物的循环节
有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.
【典型例题】
类型一、数式规律
1．按某种规律在横线上填上适当的数：
（1）1，3，5，7，9，11，
，………；
（2）3，6，12，24，48，96，
，………；
（3）1，4，9，16，25，36，
，………；
（4）0，3，8，15，24，35，
，………；
（5）2，-2，2，-2，2，-2，
，……….
【答案】（1）13；（2）192；（3）49；（4）48；（5）2.
【解析】
解：（1）这个数列中，后一项与前一项差为定值2，所以第7个数为：；
（2）这个数列中，后一项总是前一项的2倍，所以第7个数为：；
(3)
这个数列中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方，所以第7个数为：；
(4)
这个数列中，后一项与前一项的差依次多2，所以第7个数为：；
（5）这个数列中，每两个数一个循环，奇数位上的数为2，偶数位的数为-2．所以第7个数为：2．
【总结升华】（1）一列数中，后一项与前一项的差是一个固定的数，则这列数的第n个数为：从左往右数第一个数＋固定数值×（n-1）.
（2）一列数中，相邻两项的后一项与前一项的商为固定值q（q≠0），则这列数的第n个数为：从左往右数第一个数×.
(3)
一列数中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方,则第n个数为：或.
（4）此数列满足：差值呈固定值2增长，第n个数为.
（5）此数列中的第n个数可表示为.
举一反三：
【变式1】按某种规律在横线上填上适当的数：
(1)
－5，－2，1，4，
；
(2)
2，5，10，17，
，37；
(3)
1，8，27，64，
，216
．
【答案】（1）
7
（2），
26
（3）
125
【变式2】（2015?德州）一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（ ）
A．8
B．9
C．13
D．15
【答案】A．
解：∵每个数都等于它前面的两个数之和，
∴x=1+2=3，
∴y=x+5=3+5=8，
即这组数中y表示的数为8．
2.（2016?丹东）观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是
．
【思路点拨】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．
【答案】﹣．
【解析】
解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，
∴第11个数据是：﹣=﹣．
故答案为：﹣．
【总结升华】此题主要考查了数字变化类，正确得出分子与分母的变化规律是解题关键，另外要注意符号的变化.
举一反三：
【变式】根据以下等式：1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32，…
．对于正整数n（n≥4），猜想：1+2+
…
+（n-1）+n+（n-l）+
…
+2+1=
n2
．
【答案】n2
类型二、图表规律
3．用火柴棒按下图的方式搭三角形:
（1）
填写下表：
三角形个数
1
2
3
4
5
火柴棒根数
（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？
【思路点拨】每多搭一个三角形，就多用两根火柴棒.
【答案与解析】
解：（1）
三角形个数
1
2
3
4
5
火柴棒根数
3
5
7
9
11
（2）搭n个这样的三角形需要
2n+1
根火柴棒
【总结升华】将“形”的规律转换为“数”的规律.
举一反三：
【变式】观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有
个★．
【答案】
4．（2015?泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为（ ）
A.
135
B．170
C．209
D．252
【答案】C．
【解析】
解：首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4﹣1=3，6﹣2=4，8﹣3=5，10﹣4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少
∵a+（a+2）=20，
∴a=9，
∵b=a+1，
∴b=a+1=9+1=10，
∴x=20b+a
=20×10+9
=200+9
=209
【总结升华】此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
举一反三：
【变式】观察下列有序整数对：
（1，1）．
（1，2），（2，1）．
（1，3），（2，2），（3，1）
（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．
（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．
…
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10行从左到右第5个整数对是
【答案】（5,6）
5．如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“?”，共
个．
【思路点拨】本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2012被4整除，从而确定是共第503?．
【答案】503
【解析】
解：根据题意可知梅花是1，2，3，4即4个一循环．所以2012÷4＝503．
所以共有503个?．
【总结升华】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
举一反三：
【变式】观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是
?．（填图形的名称）
▲■★■▲★▲■★■▲★▲…
【答案】五角星
提示：6个一循环．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．如图所示的数轴中，画得正确的是(
)
2．下列说法正确的是(
)
A．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数
B．数轴上的两个不同的点表示同一个有理数
C．有的有理数不能在数轴上表示出来
D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
3.（2014?衡阳一模）如图所示，在数轴上点A表示的数可能是（ ）
A．1.5
B.-1.5
C.-2.6
D.2.6
4.（2015?东城区二模）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（ ）
A.
点B与点D
B.
点A与点C
C.
点A与点D
D.
点B与点C
5．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上任意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是(
)
A．2002或2003
B．2003或2004
C．2004或2005
D．2005或2006
6．北京、纽约等5个城市的国际标准时间(单位：小时)可在数轴上表示如图
若将两地国际标准时间的差简称为时差，则（
）
A．首尔与纽约的时差为13小时
B．首尔与多伦多的时差为13小时
C．北京与纽约的时差为14小时
D．北京与多伦多的时差为14小时
二、填空题
7．（2016春?新泰市校级月考）不大于4的正整数的个数为
．
8．数轴上到-3的距离等于2的数是
________．
9．数轴上点A、B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为
．
10.（2014秋?埇桥区校级期中）长为2个单元长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个整数点．
11．如图，点A，B在数轴上对应的实数分别为m，n，则A，B间的距离是
．（用含m，n的式子表示）
12．已知－1＜a＜0＜1＜b，请按从小到大的顺序排列－1，－a，0，1，－b为__________．
三、解答题
13．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”号把它们连接起来．
+2，0，，-2，-1.5，
14．（2015秋?碑林区期中）某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家．
（1）如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置（一格表示50米）．
（2）聪聪家与刚刚家相距多远？
（3）聪聪家向西210米是体育场，体育场所在的点表示的数是多少？
15．在数轴上有三个点A、B、C（如图）．请回答：
（1）写出数轴上距点B三个单位的点所表示的数；
（2）将点C向左移动6个单位到达点D，用“＜”号把A、B、D三点所表示的数连接起来；
（3）怎样移动A、B、C中的两个点才能使三个点所表示的数相同（写出一种移动方法即可）．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B
【解析】A错，没有正方向；B正确，满足数轴的三要素；C错，负数排列错误；D错，单位长度不统一．
2．【答案】D
【解析】A、B、C都错误，因为所有的有理数都能在数轴上表示出来，但数轴上的点不都表示有理
一个有理数在数轴上只有一个表示它的点．数轴上表示有理数的点一个点对应一个有理数．
3.【答案】C
【解析】：∵点A位于﹣3和﹣2之间，∴点A表示的实数大于﹣3，小于﹣2．
4.【答案】C.
5．【答案】C
【解析】若线段AB的端点与整数重合，则线段AB盖住2005个整点；若线段AB的端点不与整点重合，则线段AB盖住2004个整点．可以先从最基础的问题入手．如AB＝2为基础进行分析，找规律，所以答案：C．
6．【答案】B
【解析】本题以“北京等5个城市的国际标准时间”为材料，编拟了一道与数轴有关的实际问题．从选项上分析可得：两个城市之间相距几个单位长度，两个点之间的距离即为时差．所以首尔与纽约的时差为14小时，首尔与多伦多的时差为13小时，北京与纽约的时差为13小时，北京与多伦多的时差为12小时，因此答案：B．
二、填空题
7．【答案】4个.
【解析】解：如图所示：
由数轴上4的位置可知：不大于4的正整数有1、2、3、4共4个．
故答案为：4个．
8．【答案】-5或-1
【解析】若该数在-3的左边，这个数为-3-2=-5；若该数在-3右边，则该数为-3+2=-1；所以答案为：-5或-1．
9．【答案】－5
【解析】首先确定C点应在原点的左边即为负数，又点A与点B之间的距离为4，再由对成性得：点C表示的数为-5．
10．【答案】3
【解析】如图所示：长为2个单元长度的木条放在数轴上，最多能覆盖3个整数点．
11．【答案】n-m
【解析】∵n＞0，m＜0．∴它们之间的距离为：n-m
12．【答案】－
b
＜-1＜0＜-a＜1
三、解答题
13．【解析】解：在数轴上表示出来如图所示．
根据这些点在数轴上的排列顺序，从右至左分别用“＞”连接为：
+2＞＞0＞-1．5＞-2＞
14.【解析】
解：（1）如图所示：
；
（2）150+200=350（米）；
（3）体育场所在点所表示的数是100﹣210=﹣110．
15．【解析】
解：（1）因为点B所表示的数是-2，则距点B三个单位的点所表示的数有-2-3=-5，-2+3=1；
（2）点C向左移动6个单位到达点D，则点D表示的数为-3，所以-4＜-3＜-2．
（3）把A点向右移动2个单位，C点向左移动5个单位．（答案不唯一）
PAGE数轴——知识讲解
责编：张强
【学习目标】
1．理解数轴的概念及三要素，能正确画出数轴；
2．能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法；
3．能利用数轴比较有理数的大小．
【要点梳理】
要点一、数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
要点诠释：
（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向．
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
要点二、数轴的画法
（1）画一条直线（通常画成水平位置）；
（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；
（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；
（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…
要点诠释：
（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取．
（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点．
要点三、数轴与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如．
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示．
（2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
【典型例题】
类型一、数轴的概念及画法
1．（2015秋?沧州期末）下列各图中，能正确表示数轴的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，即可解答．
【答案】D
【解析】解：由数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，可知D正确；
故选：D．
【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．
2．（2015?徐州校级模拟）一只蚂蚁沿数轴从点A向右直爬15个单位到达点B，点B表示的数为﹣2，则点A所表示的数为（ ）
A.
15
B.
13
C.
-13
D.-17
【答案】D
【解析】设点A所表示的数为x，x+15=﹣2，解得：x=﹣17，故选：D．
【总结升华】本题考查的是数轴的知识，掌握数轴的概念和性质是解题的关键，点在数轴上的运动规律是向左减，向右加．
举一反三：
【变式】如图为北京地铁的部分线路．假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长．现以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为________，古城站表示的数为________；如果改以古城站为原点，那么木樨地站表示的数变为________．
【答案】3，-5，8
类型二、利用数轴比较大小
3．在数轴上表示2.5，0，，-1，-2.5，，3有理数，并用“＜”把它连接起来．
【思路点拨】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小．
【答案与解析】
如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，，-1，-2.5，，3．
由上图可得：
【总结升华】注意数轴上整单位的点一般用细短线表示，而表示题目中的数的点，应画成实心的小圆点．
举一反三：
【变式1】（2014秋?埇桥区校级期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（ ）
A．b﹣a＞0
B．﹣b＜0
C．﹣a＞﹣b
D．﹣ab＜0
【答案】D
【变式2】填空：
大于且小于的整数有______个；
比小的非负整数是____________．
【答案】11；0，1，2，3
4．若p，q两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空．
①p______q；
②－p______0；
③－p______－q；
④－p______q；
【答案】＞；＜；＜；＞
【解析】根据相反数的几何意义，将p，q，-p，-q均表示在数轴上，如下图：
然后再根据数轴上右边的数比左边的数大，及原点右边的点表示大于0的正数，而原点左边的点表示小于0的负数，可得上述答案．
【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数．
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