北师大版七年级上册教学案（基础）

【巩固练习】
一、选择题
1．下面四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是(
)
．
2．（2014秋?上杭县校级月考）下列说法中，错误的是
(
)
．
A．借助三角尺，我们可以画135°的角．
B．把一个角的两边都延长后，所得到的角比原来的角要大．
C．有公共顶点的两条边组成的图形叫做角．
D．两个锐角之和是锐角、直角或钝角．
3．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是(
)
．
4．如图，点A位于点O的（
）方向上．
A．南偏东35°
B.
北偏西65°
C．南偏东65°
D.
南偏西65°
5．钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是
(
)
.
A
．
77.5
°
B．
77
°5′
C
．
75°
D
．以上答案都不对
6．如图，∠AOB是直角，∠COD也是直角，若∠AOC＝，则∠BOD等于
（
　）．
A．90°＋　　　B．90°－　　
C．180°＋
　D．180°－
7.
如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46′，OD平分
∠COE，则∠COB的度数为（
）．
A.
68°46′
B.82°32′
C.
82°28′
D.82°46′
二、填空题
8．
如图3，∠AOD=80°,∠AOB=30°,OB是∠AOC的平分线，则∠AOC的度数为_________，∠COD的度数为___________．
9．钟表8时30分时，时针与分针所成的角为
度．
10．南偏东80°的射线与西南方向的射线组成的角(小于平角)的度数是
．
11．（2015春?万州区期末）如图，∠AOC=∠BOD=110°，若∠AOB=150°，∠COD=m°，则m=　　．
12．（2016春?潍坊校级月考）（1）131°28′﹣51°32′15″=　
　；
（2）58°38′27″+47°42′40″=　
　．
13．如图所示，将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B1，C1在同一条直线上，则∠AEF＝________．
三、解答题
14.（2015春?黄冈校级期中）如图，A点在B处的北偏东40°方向，C点在B处的北偏东85°方向，A点在C处的西北方向，求∠ABC及∠BCA的度数．
15.
如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC．OF为OE的反向延长线．求∠2和∠3的度数，并说明OF是否为∠AOD的平分线．
16．如图所示，五条射线OA、OB、OC、OD、OE组成的图形中共有几个角?如果从O点引出n条射线，能有多少个角?你能找出规律吗?
17.（2016春?启东市月考）如图，∠AOB=90°，∠AOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B；
【解析】A选项不能用∠O表示，C选项不能用∠O表示，D选项不能用∠AOB表示．
2．【答案】B；
【解析】借助三角尺能画出15n(n为正整数)的角，角的大小与边的长短无关，两个锐角的和可能是锐角、直角、钝角．
3．【答案】D；
【解析】A中∠1＝∠2，B中∠1＜∠2，C中∠1＜∠2．
4.
【答案】B；
5.
【答案】A；
【解析】所求夹角为：
6°×25－×25－30°×2=77.5°．
6.
【答案】D；
【解析】如图，∠BOD=90°+90°－α=180°－α．
7.
【答案】C；
【解析】如图，∠BOC=180°－40°－2×28?46′=82?28′．
二、填空题
8.【答案】60°，20°；
【解析】∠AOC=2×∠AOB=60°，∠DOC=∠AOD－∠AOC=20°．
9.【答案】75°；
【解析】×30+30°×2=75°．
10.【答案】125°；
【解析】45°+80°=125°．
11.【答案】70．
【解析】∵∠AOC=∠BOD=110°，∠AOB=150°，∴∠BOC=150°﹣110°=40°，
∴∠COD=∠BOD﹣∠BOC=110°﹣40°=70°，∴m=70．
12.【答案】79°55′45″，106°21′7″；
【解析】解：（1）131°28′﹣51°32′15″=79°55′45″．
（2）58°38′27″+47°42′40″=106°21′7″；
故答案为：79°55′45″，106°21′7″．
13.【答案】90°；
【解析】由折叠知∠A′BC＝∠ABC，∠EBD＝∠DBE′．
三、解答题
14.【解析】
解：∵∠DBA=40°，∠DBC=85°，DB∥CE，
∴∠ECB=180°﹣85°=95°，∠ABC=85°﹣40°=45°，
∵∠ECA=45°，
∴∠BCA=95°﹣45°=50°．
15.【解析】
解：因为∠BOC＝80°，OE平分∠BOC
所以∠1＝∠BOC＝×80°＝40°
又因为CD是直线，
所以∠2+∠BOC＝180°，
所以∠2＝180°-80°＝100°
同理∠2+∠AOD＝180°，∠1+∠2+∠3＝180°
所以∠AOD＝80°，∠3＝40°
所以∠3＝∠AOD，所以OF是∠AOD的平分线
16.【解析】
解：如图，图中5条射线共有角的个数：4+3+2+1=10；
如果从O点共引出n条射线，共有角的个数：．
17.【解析】解：如图，∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∠AOB=90°，
∴∠COD=∠BOC=（∠AOB+∠AOC）=45°+∠AOC，∠COE=∠AOE=∠AOC，
∴∠DOE=∠COD﹣∠AOE=45°+∠AOC﹣∠AOC=45°
即：∠DOE=45°．
A
650
O
O
A
D
B
E
C
PAGE角（基础）知识讲解
责编:张强
【学习目标】
1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2.
借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；
3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；
4.
掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.
【要点梳理】
要点一、角的概念
1．
角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
要点诠释：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
要点诠释：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
要点二、角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
要点诠释：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
要点三、角的比较与运算
1.角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：
如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
2.角的和、差运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
要点诠释：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2)
利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
3.角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC
=∠AOB．
要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
要点四、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
要点诠释：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”
．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
要点五、钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【典型例题】
类型一、角的概念及表示
1.下列语句正确的是
(
)
A．两条直线相交，组成的图形叫做角．
B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．
C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．
D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．
【答案】C
【解析】根据角的定义判断
【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别．
举一反三：
【变式】（2015春?泰山区期中）下图中，能用∠ABC，∠B，∠1三种方法表示同一个角的图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D．
解：A、顶点B处有四个角，不能用∠B表示，错误；
B、顶点B处有二个角，不能用∠B表示，错误；
C、顶点B处有三个角，不能用∠B表示，错误；
D、顶点B处有一个角，能同时用∠ABC，∠B，∠1表示，正确．
2.
写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角；
(3)图中共有几个角(小于180°).
【答案与解析】
解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C．
(2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．
(3)图中共有7个角．
【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示；
(2)一般数角时不包括平角和大于平角的角．
类型二、角度制的换算
3.
(1)把25.72°用度、分、秒表示；
(2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．
【思路点拨】第(1)题中25.72°中含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)题中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．
【答案与解析】
解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，
所以25.72°＝25°43′12″．
(2)，
所以45°12′30″≈45.21°．
【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．
举一反三：
【变式】
(1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；
(2)把33°24′36″转化成度表示的形式．
【答案】
(1)26.29°＝26°+0.29°＝26°+0.29×60′＝26°+17.4′
＝26°+17′+0.4×60″＝26°17′+24″＝26°17′24″
(2)33°24′36″＝33°+24′+36×＝33°+24′+0.6′
＝33°+24.6′＝33°+24.6×＝33.41°
类型三、角的比较与运算
4.不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)
【思路点拨】图1中两角∠α、∠β均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的∠α向∠β平移，让∠α与∠β始边重合，观察终边的位置来比较角的大小．图2中的三个角按角的分类，∠1为锐角，∠2为直角，∠3为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来．
【答案与解析】
解：(1)如图所示，将∠α平移使∠α的始边与∠β的始边重合，发现∠α落在∠β内部，因此∠β＞∠α．
(2)由图可知∠1是锐角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是钝角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．
【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．
举一反三：
【变式】已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．
【答案】
作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧l，交O′A′于点C′；
(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D′；
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
5.（2016春?阳谷县期中）如图，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°．求∠COD的度数．
【思路点拨】根据OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°，可以求得∠AOC、∠AOD的度数，从而可以求得∠COD的度数．
【答案与解析】
解：∵OD平分∠AOB，∠AOB=114°，
∴∠AOD=∠BOD==57°．
∵∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°，
∴∠AOC=．
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=57°﹣38°=19°．
【总结升华】本题考查角的计算，解题的关键是找出所求问题需要的条件．
【高清课堂：角
397364
角的有关计算例3】
举一反三：
【变式】已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80，求：∠MON.
【答案】∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，
∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOC.(角平分线的定义)
∴∠MON=∠MOB+∠BON
=∠AOB+∠BOC=(∠AOB+∠BOC)
=∠AOC=×80=40
.
即∠MON=40.
类型四、方位角
6.（2016?邯山区一模）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（　　）
A．南偏西30°方向
B．南偏西60°方向
C．南偏东30°方向
D．南偏东60°方向
【思路点拨】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向．
【答案】A
【解析】解：如图所示：可得∠1=30°，
∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，
∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．
故选：A．
【总结升华】从本例的分析与结果来看，从A看B与从B看A正好是一对对立的观察过程，其方向是一种“相反”的对应关系．方位角的确定首先以什么点为基点（即人站在此处观察）要弄清楚，再由正南或正北到视线夹角测量出来．
举一反三：
【变式】小王从家出发向南偏东30°的方向走了1000米到达小军家，此时小王家在小军家的________方向．
【答案】北偏西30°
类型五、钟表上有关夹角问题
7.计算：
4时15分时针与分针的夹角.
【答案与解析】
解法一：如图（1），设4时15分时针与分针的夹角为∠α
(注：夹角指小于180°的角)，
时针转过的角度为：30°×4+0.5°×15，
分针转过的角度为：6°×15，
所以∠α＝30°×4+0.5°×15-6°×15＝37.5°．
解法二：如图（1），∠AOC＝30°×1＝30°，
∠BOC＝0.5°×15＝7.5°．
所以∠AOB＝37.5°．
即4时15分时针与分针的夹角为37.5°
【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二．
举一反三：
【变式】2时48分时针与分针的夹角．
【答案】解法1：如图(2)，
设2时48分时针与分针的夹角为∠α，
所以∠α＝360°-(48×6°-2×30°-48×0.5°)
＝360°-204°＝156°
解法2：如图(2)
∠BOD＝30°×4＝120°，
∠COD＝2×6°＝12°，
∠AOB＝48×0.5°＝24°，
所以∠AOC＝∠BOD+∠COD+∠AOB＝156°．
即2时48分时针与分针的夹角为156°．
图2
图1
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1.（2015秋?成都期末）下列说法正确的个数为（　　）
（1）过两点有且只有一条直线
（2）连接两点的线段叫做两点间的距离
（3）两点之间的所有连线中，线段最短
（4）直线AB和直线BA表示同一条直线．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积是（
）．
A．3
B．12
C．24
D．6
3．如图所示，关于线段、射线和直线的条数，下列说法正确的是（　　）．
A．五条线段，三条射线
B．一条直线，三条线段
C．三条线段，三条射线
D．三条线段，两条射线，一条直线
4．如图所示，点O在直线AB上，∠COB＝∠DOE＝90°，那么图中相等的角的对数是(
)．
A．3
B．4
C．5
D．7
5．（2016春?大兴区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD=70°，则∠AOF等于（　　）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
6．已知一弧的半径为3，弧长为2，则此弧所对的圆心角为（
）．
A．（）°
B．240°
C．120°
D．60°
7．十点一刻时，时针与分针所成的角是(
)．
A．112°30′
B．127°30′
C．127°50′
D．142°30′
8．在海面上有A和B两个小岛，若从A岛看B岛是北偏西42°，则从B岛看A岛应是(
)．
A．南偏东42°
B．南偏东48°
C．北偏西48°
D．北偏西42°
二、填空题
9.（2015春?烟台期末）在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB=3cm，BC=5cm，若点D是线段AC的中点，则线段DB的长度等于　　cm．
10．已知∠α＝30°18′，∠β＝30.18°，∠γ＝30.3°，则相等的两角是________．
11．如下图所示，OA＝30B，则的长是的长的_____倍．
12．弧长等于半径的圆弧对应的圆心角是
．
13．若∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，则∠2
∠3．
14．若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍，那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角是________度．
15．如下图所示，三个圆是同心圆，图中阴影部分的面积为______．
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三、解答题
16.（2015春?咸宁校级月考）如图，A、B、C、D是直线l上顺次四点，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=6cm，BC=1cm，求AD的长．
17．（2016春?启东市月考）如图，∠AOB=90°，∠AOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．
18．在一张城市地图上，如图所示，有学校、医院、图书馆三地，图书馆被墨水染黑，具体位置看不清，但知道图书馆在学校的北偏东45°方向，在医院的南偏东60°方向，你能确定图书馆的位置吗?
19.如图所示，线段AB＝4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，小明据此很轻松地求得CD＝2．在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上，原来的结论“CD＝2”是否仍然成立?请帮小明画出图形并说明理由．
20.如图，若⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C.
【解析】（1）过两点有且只有一条直线，正确；
（2）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故本小题错误；
（3）两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
（4）直线AB和直线BA表示同一条直线，正确．
综上所述，正确的有（1）（3）（4）共3个．
2．【答案】B；
【解析】扇形的面积公式．
3．【答案】D；
【解析】由直线、射线及线段的定义、图形知：线段AB、BC、CA；射线AD、AE；直线DE．即有三条线段，两条射线，一条直线．
4．【答案】C；
【解析】因为∠COB＝90°，所以∠BOD+∠COD＝90°，即∠BOD＝90°-∠COD．因为∠DOE＝90°，所以∠EOC+∠COD＝90°，即∠EOC＝90°-∠COD，所以∠BOD＝∠EOC．同理∠AOE＝∠COD．又因为∠AOC＝∠COB＝∠DOE＝90°(∠AOC＝∠COB，∠AOC＝∠DOE，∠COB＝∠DOE)，所以图中相等的角有5对，故选C．
5．【答案】C；
【解析】解：∵∠B0C=∠AOD=70°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=35°．
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°．
∴∠AOF=180°﹣∠EOF﹣∠BOE=55°．故选C．
6.
【答案】C；
【解析】弧长公式的逆用．
7．【答案】D；
【解析】一刻是15分钟，十点一刻，即10点15分时，时针与分针所成的角为：
＝142.5°＝142°30′，故选D．
8．【答案】A；
【解析】方位角存在这样的规律：甲、乙两地之间的方位角，方向相反，角度相等．由此可知从B岛看A岛的方向为南偏东42°，故选A．
二、填空题
9.【答案】1.
【解析】如图，由题意得，AC=AB+BC=8cm，又∵D是线段AC的中点，
∴CD=（AB+BC）=4cm，∴BD=BC﹣CD=1cm．故答案为：1．
10.【答案】∠α和∠γ；
【解析】，于是∠α＝∠γ．
11.【答案】3；
【解析】设扇形的圆心角为n°，则．
12.【答案】；
【解析】，得．
13.【答案】＝；
14.【答案】60度或180；
【解析】先求出∠α=60°，∠β=120°；再分∠α在∠β内部和外部两种情况来讨论．
15.【答案】；
【解析】将阴影部分拼接在一起，正好凑成四分之一的圆．
三、解答题
16.【解析】
解：由线段的和差，得
MB+CN=MN﹣BC=6﹣1=5cm，
由M、N分别是AB、CD的中点，得
AB=2MB，CD=2CN．
AB+CD=2（MB+CN）=2×5=10cm，
由线段的和差，得
AD=AB+BC+CD=10+1=11cm．
17.【解析】
解：如图，∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∠AOB=90°，
∴∠COD=∠BOC=（∠AOB+∠AOC）=45°+∠AOC，∠COE=∠AOE=∠AOC，
∴∠DOE=∠COD﹣∠AOE=45°+∠AOC﹣∠AOC=45°
即：∠DOE=45°．
18．【解析】
解：
如图所示．在医院A处，以正南方向为始边，逆时针转60°角，得角的终边射线AC．在学校B处，以正北方向为始边，顺时针旋转45°角，得角的终边射线BD．AC与BD的交点为点O，则点O就是图书馆的位置．
19.【解析】
解：原有的结论仍然成立，理由如下：
当点O在AB的延长线上时，如图所示，CD＝OC－OD＝(OA－OB)＝AB＝．
20.
【解析】
解：⊙O、⊙A、⊙B的周长分别为20cm，4cm，4cm，
可求出它们的半径分别为10cm、2cm、2cm，
所以OA=8cm，OB=12cm，
因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，
所以⊙A滚动回原位置经过距离为2×8＝16＝4×4，
而⊙B滚动回原位置经过距离为2×12＝24＝4×6．
因此，与原题意相符．
PAGE《基本平面图形》全章复习与巩固（基础）知识讲解
责编:张强
【学习目标】
1．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；
2.
掌握圆、扇形及多边形的概念及相关计算；
3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；
4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、线段、射线、直线
1.直线，射线与线段的区别与联系
2.基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线．
(2)线段的性质:两点之间，线段最短．
要点诠释：
①本知识点可用来解释很多生活中的现象.
如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4.线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
要点诠释：
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段AB上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
要点二、角
1.角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
要点诠释：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
要点诠释：
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（4）角的分类：
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β<180°
∠β=180°
∠β=360°
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2.角的比较与运算
（1）角的比较方法:
①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
3.方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
要点三、多边形和圆的初步认识
1.多边形及正多边形：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
要点诠释：
（1）n边形有n个顶点、n条边，对角线的条数为．
（2）多边形按边数的不同可分为三角形、四边形、五边形、六边形等．
2.
圆及扇形：
（1）圆：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
（2）扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.如下图：
要点诠释：　扇形OAB的面积公式：；扇形OAB的弧长公式：.【典型例题】
类型一、直线、射线、线段
1.
（2015秋?新泰市期中）下列结论：①两点确定一条直线；②直线AB与直线BA是同一条直线；③线段AB与线段BA是同一条线段；④射线OA与射线AO是同一条射线．其中正确的结论共有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C．
【解析】解：①两点确定一条直线，正确；
②直线AB与直线BA是同一条直线，正确；
③线段AB与线段BA是同一条线段，正确；
④射线OA与射线AO不是同一条射线，错误；
故选C．
【总结升华】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段定义解题是解题关键．
举一反三：
【变式】如图，用“＞”、“＜”或“＝”连接下列各式，并说明理由．
AB＋BC_____AC，AC＋BC_____AB，BC_____AB＋AC，理由是______
__．
【答案】＞，＞，＜，两点之间线段最短．
类型二、角
2.
如图，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠BOE=20°，∠AOD=40°，求∠DOE的度数.
【思路点拨】根据角平分线的定义及角的和差运算进行求解．
【答案与解析】
解：∵
OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，
∴
∠EOC＝∠BOE＝20°，∠COD＝∠AOD=40°.
又∵∠DOE＝∠EOC＋∠COD＝20°＋40°＝60°.
答：∠DOE的度数为60°.
【总结升华】结合图形进行求解．
举一反三：
【变式】48.26°=
°
′
″；
56°25′12″=
°
【答案】48、15、36，56.42°.
3.如图，射线OA的方向是:________；
射线OB的方向是:_________；射线OC的方向是:________；
【思路点拨】OA表示的方向是北偏东，再加上其偏转的角度即可，同理OB、OC也是如此．
【答案】北偏东15°；北偏西40°；南偏东45°．
【解析】根据方位角的定义解答．
【总结升华】熟知方位角的定义结合图形便可解答．
4.钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了________度．
【答案】90
【解析】根据钟表的特征；整个钟面是360°，分针每5分钟旋转30°，所以经过15分钟旋转了90°．
【总结升华】在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，时针一分钟转过的度数为0.5°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
类型三、多边形和圆
5.如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长（结果精确到0.1）和扇形AOB的面积（结果精确到0.1）
【思路点拨】要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径即可，本题已满足．
【答案与解析】
解：的长＝×10＝≈10.5
S扇形＝×102＝≈52.3
因此，的长为10.5，扇形AOB的面积为52.3．
【总结升华】理解并牢记扇形的面积和弧长公式是解题关键．
举一反三：
【变式】如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．
【答案】45°，．
类型四、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算
1.方程的思想方法
6.（2016春?曹县校级月考）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．
【思路点拨】这类题目要先设出这个角的度数．设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．
【答案与解析】
解：设这个角为x°，则其余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°，依题意有
180﹣x=2（90﹣x）+40，
解得x=40．
答：这个角的度数是40°．
【总结升华】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键.
举一反三：
【变式】如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB:∠AOD＝2:7，求∠BOC和∠COD的度数．
【答案】
解：设∠AOB的度数为2x，则∠AOD的度数为7x．
由∠AOD＝∠AOB+∠BOD及∠BOD＝100°，
可得7x＝2x+100°．
解得x＝20°，所以∠AOB＝2x＝40°．
所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB＝100°-40°=60°，
∠COD＝∠BOD-∠BOC＝100°-60°＝40°．
2.分类的思想方法
7.以∠AOB的顶点O为端点的射线OC，使∠AOC:∠BOC＝5:4．
(1)若∠AOB＝18°，求∠AOC与∠BOC的度数；
(2)若∠AOB＝m，求∠AOC与∠BOC的度数．
【答案与解析】
解：(1)分两种情况：
①OC在∠AOB的外部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x
得∠AOB＝x，即x＝18°
所以∠AOC＝90°，∠BOC＝72°
②OC在∠AOB的内部，可设∠AOC=5x，则∠BOC＝4x
∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝9x
所以9x＝18°，
则x＝2°
所以∠AOC＝10°，∠BOC＝8°
（2）仿照（1），可得：若∠AOB＝m，则∠AOC＝，∠BOC＝，或∠AOC＝5m，∠BOC＝4m．
【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明OC在∠AOB的内部或外部，所以两个问题都必须分类讨论．
举一反三：
【变式1】（2015?长沙校级三模）已知A、B、C是直线l上三点，线段AB=6cm，且线段AB=AC，则BC=　
　．
【答案】6cm或18cm．
解：点B在线段AC上，AB=6cm，且线段AB=AC，得
AC=2AB=12．
由线段的和差，得
BC=AC﹣AB=12﹣6=6cm；
B在线段AC的反向延长线上，AB=6cm，且线段AB=AC，得
AC=2AB=12．
由线段的和差，得
BC=AC+AB=12+6=18cm．
故答案为：6cm或18cm．
【变式2】下列判断正确的个数有
(
)
①已知A、B、C三点，过其中两点画直线一共可画三条
②过已知任意三点的直线有1条
③三条直线两两相交，有三个交点
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】A
3.类比的思想方法
【高清课堂：图形认识初步章节复习399079
类比思想例5】
8.(1)如图,线段AD上有两点B、C,图中共有______条线段.
(2)如图，在∠AOD的内部有两条射线OB、OC，则图中共有
个角.
【答案】（1）6；
（2）6.
【解析】（1）以A为端点的线段有3条，同样以B,C,D为一个端点的线段也各有3条，又因为所有线段均重复了一次，所以共有线段条数：（条）.
（2）以射线OA为一边的角有3个，同样以OB，OC，OD为一边的角也各有3个，又因为所有角均重复一次，所以共有角的个数：（个）.
【总结升华】用同样的方法解决了不同的问题，用已知的知识类比地学习未知的内容.
PAGE方程的意义（基础）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．（2015春?衡阳校级月考）下列叙述中，正确的是（　　）
A.
方程是含有未知数的式子
B.
方程是等式
C.
只有含有字母x，y的等式才叫方程
D.
带等号和字母的式子叫方程
2．下列方程是一元一次方程的是(
)．
A．x2-2x+3＝0
B．2x-5y＝4
C．x＝0
D．
3．下列方程中，方程的解为x＝2的是(
)．
A．2x＝6
B．(x-3)(x+2)＝0
C．x2＝3
D．3x-6＝0
4．x、y是两个有理数，“x与y的和的等于4”用式子表示为(
)．
A．
B．
C．
D．以上都不对
5．（2016?香坊区模拟）一艘轮船从甲码头到乙码头顺水航行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆水航行，用了2.5小时．已知水流速度为3千米/时．设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列出的方程为（　　）
A．2x+3=2.5x﹣3
B．2（x+3）=2.5（x﹣3）
C．2x﹣3=2.5x=3
D．2（x﹣3）=2.5（x+3）
6．如果x＝2是方程的根，则a的值是(
)．
A．0
B．2
C．-2
D．-6
7．下列等式变形中，不正确的是(
)．
A．若
x＝y，则x+5＝y+5
B．若(a≠0)，则x＝y
C．若-3x＝-3y，则x＝y
D．若mx＝my，则x＝y
8．等式的下列变形属于等式性质2的变形是(
)．
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．下列各式中，是方程的有
，是一元一次方程的是
.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；（7）；（8）；（9）．
10．（2015春?宜阳县期中）若3x2m﹣3+7=1是关于x的一元一次方程，则m的值是_____.
11.
(1)由a＝b，得a+c＝b+c，这是根据等式的性质_______在等式两边________．(2)由a＝b，得ac＝bc，这是根据等式的性质________在等式的两边________．
12．是下列哪个方程的解：①3x+2＝0；②2x-1＝0；③；④_______(只填序号)．
13.
若，则
．
14.（2016春?简阳市校级期中）比a的3倍大5的数是9，列出方程式是
　．
三、解答题
15．（2014秋?恩施市期末）已知x=﹣1是关于x的方程8x3﹣4x2+kx+9=0的一个解，求3k2﹣15k﹣95的值．
16.已知方程，试确定下列各数：，谁是此方程的解？
17．七年级(1)班举行了一次集邮展览，展出的邮票的数量为每人3枚剩余24枚，每人4枚还少26枚，这个班有多少学生？(只列方程)
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B
2．【答案】C
【解析】依据一元一次方程的定义来判断．
3．【答案】D
【解析】把x＝2代入A、B、C、D选项逐一验证．
4．【答案】C
【解析】
“x与y的的和”与“x与y的和的”的区别是：前者是与x求和，即，后者是的，即，两者运算顺序是不同的．
5．【答案】B
【解析】解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，
可列出的方程为：2（x+3）=2.5（x﹣3），
故选：B．
6．【答案】C
【解析】把x＝2代入方程得，解得a＝-2．
7.
【答案】D
【解析】D中由mx＝my左右两边需同时除以m，得到x＝y，但当m＝0时，左右两边不能同时除以m，所以D项中等式变形不正确，利用性质2对等式两边同时进行变形，特别注意等式两边同时除以一个式子时，一定先确定这个式子不是0．
8.
【答案】C
二、填空题
9.
【答案】（1）、(2)
、(3)、
(4)、（5）、（6）、（9）；（1）、（5）、（9）．
【解析】由方程与一元一次方程的定义即得答案．
10．【答案】
2
【解析】根据题意得：2m﹣3=1，解得：m=2．
11．【答案】1，同时加上c；2，同时乘以c．
【解析】等式的性质
12．【答案】②④
【解析】代入计算即得答案．
13.【答案】
【解析】由平方和绝对值的非负性，并由题意得：，，即可求出．
14.【答案】3a+5=9．
【解析】解：由题意得：比a的3倍的数大5的数为：3a+5，
所以列出的方程为：3a+5=9．
故答案为3a+5=9．
三、解答题
15.
【解析】
解：将x=﹣1代入方程得：﹣8﹣4﹣k+9=0，
解得：k=﹣3，
当k=﹣3时，3k2﹣15k﹣95=27+45﹣95=﹣23．
16.
【解析】分别将代入原方程的左右两边得：
当时，则左=，右=
当时，则左=，右=
当时，则左=，右=
当时，则左=，右=
综上可得：是此方程解的是：．
17．【解析】设这个班有学生x人，由题意得3x+24＝4x-26．
PAGE方程的意义（基础）知识讲解
责编：张强
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2.
正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；
3.
理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
【高清课堂：从算式到方程
一、方程的有关概念】
要点一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
【高清课堂：从算式到方程
二、一元一次方程的有关概念】
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释：
“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
【高清课堂：从算式到方程
三、解方程的依据——等式的性质】
要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
　　如果，那么
(c为一个数或一个式子)
.
　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果，那么；如果，那么.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2)
等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;
(3)
等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【典型例题】
类型一、方程的概念
1．下列各式哪些是方程？
①3x-2＝7；
②4+8＝12；
③3x-6；
④2m-3n＝0；
⑤3x2-2x-1＝0；
⑥x+2≠3；
⑦；
⑧．
【答案与解析】
解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．
【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．
举一反三：
【变式】（2014春?宜宾县期中）下列四个式子中，是方程的是（　　）
A.
3+2=5
B.
x=1
C.
2x﹣3＜0
D.
a2+2ab+b2
【答案】B．
2．（2015春?孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（　　）
A.
4x﹣1=3x+2
B.
4x+8=3（x+1）+1
C.
5（x+1）=4（x+2）﹣1
D.
x+4=3（2x﹣1）
【答案】C．
【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．
举一反三：
【变式】下列方程中，解是x=3的是(
)
A．x+1＝4
B．2x+1＝3
C．2x-1＝2
D．
类型二、一元一次方程的相关概念
3．（2016春?南江县期末）在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（
　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断.
【答案】B.
【解析】解：①x2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．
举一反三：
【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．
①2x-1＝4；②x＝0；③ax＝b；④．
【答案】①②.
类型三、等式的性质
4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．
(1)如果，那么________；
(2)如果ax+by＝-c，那么ax＝-c+________；
(3)如果，那么＝________．
【答案与解析】
解：
(1).
11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；
(2).（-by）；
根据等式的性质1，等式两边都加上-by；
(3).；
根据等式的性质2，等式两边都乘以．
【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．
举一反三：
【变式】下列说法正确的是(
)．
A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c.
B．在等式a＝b两边除以c2+1，可得.
C．在等式两边都除以a，可得b＝c.
D．在等式2x＝2a-b两边都除以2，可得x＝a-b.
【答案】B.
类型四、设未知数列方程
5．根据问题设未知数并列出方程：
一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？
【答案与解析】
解：设小明要做对x道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．
可以采用列表法探究其解
显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80．
所以小明要做对21道题．
【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．
举一反三：
【变式】根据下列条件列出方程．
(l)x的5倍比x的相反数大10；
(2)某数的比它的倒数小4；
(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？
【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．（2014春?唐河县期末）方程|2x﹣1|=2的解是（　　）
A.
x=
B.
x=﹣
C.
x=或x=﹣
D.
x=﹣
2．下列解方程的过程中，移项错误的是(
)．
A．方程2x+6＝-3变形为2x＝-3+6
B．方程2x-6＝-3变形为2x＝-3+6
C．方程3x＝4-x变形为3x+x＝4
D．方程4-x＝3x变形为x+3x＝4
3.
方程的解是
（
）．
A．
B．
C．
D．
4．对方程2(2x-1)-(x-3)＝1，去括号正确的是(
)．
A．4x-1-x-3＝1
B．4x-1-x+3＝1
C．4x-2-x-3＝1
D．4x-2-x+3＝1
5．方程可变形为(
)．
A．3-x-1＝0
B．6-x-1＝0
C．6-x+1＝0
D．6-x+1＝2
6．3x-12的值与互为倒数，则x的值为(
)．
A．3
B．-3
C．5
D．-5
7．（2016?株洲）在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（　　）
A．2x﹣1+6x=3（3x+1）
B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）
C．2（x﹣1）+x=3（3x+1）
D．（x﹣1）+x=3（x+1）
8.某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（
）．
A．54盏
B．55盏
C．56盏
D．57盏
二、填空题
9．(1)方程2x+3＝3x-2，利用________可变形为2x-3x＝-2-3，这种变形叫________．
(2)方程-3x＝5，利用________，把方程两边都_______，把x的系数化为1，得x＝________．
10．方程2x-kx+1＝5x-2的解是x＝-1，k的值是_______．
11．（2014秋?铜陵期末）如果|a+3|=1，那么a=　
　．
12．（2016春?南江县校级月考）在解方程﹣=2时，去分母得　
　．
13．在有理数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b＝a-b．根据这个规则，求方程(x-2)※1＝0的解为________．
14．一列长为150m的火车，以15m/s的速度通过600m的隧道，则这列火车完全通过此隧道所需时间是________s．
三、解答题
15．解下列方程：
(1)4(2x-1)-3(5x+2)＝3(2-x)；
(2)；
(3)
．
16.（2015春?宜阳县期中）当k取何值时，关于x的方程2（2x﹣3）=1﹣2x和8﹣k=2（x+）的解相同？
17．小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C.
【解析】由题意，2x﹣1=2，或2x﹣1=﹣2，解这两个方程得：x=，或x=﹣
2.
【答案】A
【解析】A中移项未改变符号．
3.
【答案】C
【解析】系数化为1，两边同乘以4即可．
4.
【答案】D
【解析】A中，去掉第1个括号时第二项漏乘，去掉第2个括号时，-3没变号；B中，去掉第1个括号时第二项漏乘；C中，去掉第2个括号时，-3没变号．
5．【答案】C
【解析】A中，去分母时3没有乘以2，-1没变号；B中，去分母时-1没变号；D中，等号右边0乘以2应是0，而不应是2．
6．【答案】A
【解析】-3x-12与互为倒数，所以3x-12＝-3，x＝3．
7.
【答案】B
【解析】解：方程两边同时乘以6得：2（x﹣1）+6x=3（3x+1），
故选B．
8.
【答案】B
【解析】设有盏，则有个灯距，由题意可得：，解得：．
二、填空题
9．【答案】(1)等式性质1，移项；
(2)等式性质2，除以-3，
10．【答案】k＝-6
【解析】将代入得：，解得：．
11.【答案】﹣2或﹣4．
【解析】∵|a+3|=1，∴a+3=1或a+3=﹣1，∴a=﹣2或﹣4．
12．【答案】3（x+1）﹣2（2x﹣3）=24．
【解析】解：方程两边都乘以12，去分母得，3（x+1）﹣2（2x﹣3）=24．
故答案为：3（x+1）﹣2（2x﹣3）=24．
13．【答案】x＝3
【解析】根据规则得：x-2-1＝0，x＝3．
14．【答案】50
【解析】(秒)
．
三、解答题
15．【解析】
解：(1)8x-4-15x-6＝6-3x
8x-15x+3x＝6+4+6
-4x＝16
x＝-4
(2)
6x-3(1-x)＝18-2(x-2)
11x＝25
(3)原方程可化为：，约分得：5x-10-(2x+2)＝3，去括号得5x-10-2x-2＝3，移项及合并，得3x＝15，系数化为1，得x＝5．
16.【解析】
解2（2x﹣3）=1﹣2x，得
x=，
把x=代入8﹣k=2（x+），得
8﹣k=2（+），
解得k=4，
当k=4时，关于x的方程2（2x﹣3）=1﹣2x和8﹣k=2（x+）的解相同．
17．【解析】
解：将代入，得：
．
解得：．
所以被污染的数字为3．
PAGE一元一次方程的解法（基础）知识讲解
责编：
张强
【学习目标】
1.
熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
2.
掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
3.
进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.
【要点梳理】
要点一、解一元一次方程的一般步骤
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
(1)移项要变号(2)不要丢项
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
字母及其指数不变
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解．
不要把分子、分母写颠倒
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2)
去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：
(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
【典型例题】
类型一、解较简单的一元一次方程
1．（2015?广州）解方程：5x=3（x﹣4）
【答案与解析】
解：方程去括号得：5x=3x﹣12，
移项合并得：2x=﹣12，
解得：x=﹣6．
【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：
(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．
(2)合并：即通过合并将方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解．
举一反三：
【变式】下列方程变形正确的是(
)．
A．由2x-3＝-x-4，得2x+x＝-4-3
B．由x+3＝2-4x，得5x＝5
C．由，得x＝-1
D．由3＝x-2，得-x＝-2-3
【答案】D
类型二、去括号解一元一次方程
【高清课堂：一元一次方程的解法388407去括号解一元一次方程】
2．解方程：
【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程．
【答案与解析】（1）去括号得：
移项合并得：
解得：
（2）去括号得：
移项合并得：
解得：
【总结升华】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号．
举一反三：
【变式】解方程：
5(x-5)+2x＝-4．
【答案】解：
去括号得：5x-25+2x＝-4．
移项合并得：
7x＝21．
解得：
x＝3．
类型三、解含分母的一元一次方程
3．（2016春?新乡期末）解方程﹣2=．
【思路点拨】方程按照去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1的步骤，即可求出解．
【答案与解析】
解：去分母得：2（2x﹣1）﹣12=3（3x+2），
去括号得：4x﹣2﹣12=9x+6，
移项合并得：5x=﹣20，
解得：x=﹣4．
【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
举一反三：
【变式】（2015?岳池县模拟）解方程：x+=﹣．
【答案】解：去分母得：12x+30=24x﹣8﹣3x+24，
移项合并得：﹣9x=﹣14，
解得：x=．
类型四、解较复杂的一元一次方程
4．解方程：
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．
【答案与解析】原方程可以化成：．
去分母，得：30x-7(17-20x)＝21．
去括号、移项、合并同类项，得：170x＝140．
系数化成1，得：．
【总结升华】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数要区分开．
5.
解方程：
【答案与解析】
解法1：先去小括号得：
再去中括号得：
移项，合并得：
系数化为1，得：
解法2：两边均乘以2，去中括号得：
去小括号，并移项合并得：，解得：
解法3：原方程可化为：
去中括号，得
移项、合并，得
解得
【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．
举一反三：
【变式】
【答案】
解：去中括号得：
去小括号，移项合并得：，解得x＝-8
类型五、解含绝对值的方程
6．解方程|x|-2＝0
【答案与解析】
解：原方程可化为：
当x≥0时，得x=2，
当x＜0时，得-x=2，即，x＝-2．
所以原方程的解是x＝2或x＝-2．
【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据的正负分类讨论，注意不要漏解．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（　　）
　
A．
6cm
B．
8cm
C．
10cm
D．
12cm
2．请根据图中给出的信息，可得正确的方程是（
）
A．　　　　B．
C．?　
　　　　　D．
3．
图（①）为一正面白色，反面灰色的长方形纸片．今沿虚线剪下分成甲、乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上黏贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图（②）所示．若图（②）中白色与灰色区域的面积比为8：3，图（②）纸片的面积为33，则图（①）纸片的面积为（　　）
　
A．
B．
C．
42
D．
44
4．（2016?阜新）商场将某种商品按原价的8折出售，仍可获利20元．已知这种商品的进价为140元，那么这种商品的原价是（　　）
A．160元
B．180元
C．200元
D．220元
5．
某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣,
每件售价均为135元,
若按成本计算,
其中一件盈利25%,
一件亏本25%,
则在这次买卖中他
(
)
A．不赚不赔
B．
赚9元
C．
赔18元
D．赚18元
6．（2015?大庆）某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同．2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（　　）
A．880元
B．800元
C．720元
D．1080元
二、填空题
7．用长为1米，直径是40毫米的圆钢能锻拉成直径为4毫米的圆钢丝　
　
　米．
8．一只直径为90毫米的圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面积为131×131平方毫米、高为81毫米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了多少设大约下降了x毫米，则可列方程　
．
9．如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条（阴影部分）后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，若两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为　　cm2．
10．（2016?孝义市三模）五一期间，某商厦为了促销，将一款每台标价为1635元的空调按标价的八折销售，结果仍能盈利9%，则是这款空调机每台的进价为　
　元．
11．五?一期间，某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了　　折优惠．
12．商场打折促销时，张老师买了一件衣服和一条裤子，共用了284元．其中衣服按标价打六折，裤子按标价打八折，衣服的标价为300元，则裤子的标价应为
元.
三、解答题
13．（2015?泰州）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
14．若进货价降低8%，而售出价不变，那么利润可由目前的p%增加到（p+10）%，求p．
15．在一次春游中，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山游玩．如图所示是购买门票时，小明与他爸爸的对话：
问题：(1)小明他们一共去了几个成人?几个学生?
(2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱?并说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C
【解析】设小杯的高为x，根据题意得：π×102×30=π×12×（10÷2）2x解得：x=10
2．【答案】A
【解析】等级变形问题，形变体积不变．
3．【答案】C
【解析】设每一份为x，则图②中白色的面积为8x，灰色部分的面积为3x，由题意，得
8x+3x=33，解得：x=3，∴灰色部分的面积为：3×3=9，∴图（①）纸片的面积为：33+9=42．
4．【答案】C；
【解析】解：设原价为x元，根据题意可得：
80%x=140+20，
解得：x=200．
所以该商品的原价为200元；
故选：C．
5．【答案】C
【解析】成本分别为：，；
盈亏：
6.【答案】A．
【解析】设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x﹣80）元，
依题意得
100x=（x﹣80）×100×（1+10%），
解得x=880．
即1月份每辆车售价为880元．
二、填空题
7．【答案】100
【解析】设能锻拉成直径为4毫米的圆钢丝x米，则，解得：＝100．
8．【答案】
【解析】等级变形问题，形变体积不变．
9．【答案】80
【解析】解：设正方形的边长是xcm，则根据题意得：4x=5（x﹣4），解得：x=20．故长方条的面积为4x=80cm2．
10.【答案】1200；
【解析】解：设这款空调机每台的进价为x元，根据题意，
得：1635×0.8﹣x=9%x，
解得：x=1200，
∴这款空调机每台的进价为1200元，
故答案为：1200．
11．【答案】九
　
【解析】设用贵宾卡又享受了x折优惠，依题意得：10000﹣10000×80%×=2800，解之得：x=9．
12．【答案】130
【解析】设裤子标价为x元．由题意得：300×60%+80%x=284，解得：x=130．
三、解答题
13.【解析】
解：设每件衬衫降价x元，依题意有
120×400+（120﹣x）×100=80×500×（1+45%），
解得x=20．
答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
14．【解析】
解：设进货价为x，则下降后的进货价为0.92x．
则
（1+p%）x=
[1+（10+p）%]0.92x，
即（1+0.01p）x=
[1+0.01（p+10）]
0.92x，
解得：
p=15．
答：p为15．
15．【解析】
解：(1)设小明他们一共去了x个成人，则去了(11-x)个学生，根据题意得：
40x+0.5×40×(11-x)＝360．
解得x＝7．所以11-x＝4．
答：小明他们一共去了7个成人，4个学生．
(2)若按14人购买团体票，则需要花费：
14×40×60%＝336(元)，
360-336＝24(元)．
答：买团体票更省钱，可节省24元．
PAGE一元一次方程应用（一）--
水箱变高了与打折销售（基础）知识讲解
责编:张强
【学习目标】
1.能分析简单问题中的数量关系，并建立方程解决问题；体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系．
2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值.
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
要点二、水箱变高了（等积变形问题）
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.
常用的面积、体积公式：
长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽
长方体的体积公式：长×宽×高
正方形的周长公式：边长×4；
面积公式：边长×边长
正方体体积公式：边长×边长×边长
圆的周长公式：C=；面积公式：；
圆柱的体积公式：V柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V锥=×底面积×高
要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变.
要点三、打折销售（利润问题）
(1)
(2)
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3)
实际售价＝标价×打折率
(4)
利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑．
【典型例题】
类型一、水箱变高了（等积变形问题）
1．一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．
【思路点拨】先求得两个圆柱的体积，进而求得体积差，等量关系为：体积小的底面积×高度=体积差，把相关数值代入即可求解．
【答案与解析】
解：底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内体积为：V1=π×（）2×18=（立方厘米），
底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃体积为：V2=π×（6÷2）2×10=
（立方厘米），
因为V2＜V1，所以装不下.
设瓶内水面还有xcm．
π×（）2×x=
，
解得：x=3.6．
答：装不下，瓶内水面还有3.6厘米．
【总结升华】解决本题的难点是判断出哪个容器的体积大；关键是得到倒满较小的容器后的体积的等量关系．
2．一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其它三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际按照他的设计，鸡场的面积是多少？
【答案与解析】
解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为（x+5）米，
根据题意得：2x+（x+5）=35
解得：
x=10．
因此小王设计的长为x+5=10+5=15（米），而墙的长度只有14米，小王的设计不符合实际的．
根据小赵的设计可以设宽为y米，长为（y+2）米，
根据题意得2y+（y+2）=35
解得：
y=11．
因此小赵设计的长为y+2=11+2=13（米），而墙的长度只有14米，显然小赵的设计符合要求，此时鸡场的面积为11×13=143（平方米）．
答：小赵的设计符合实际按照他的设计，鸡场的面积是143平方米.
【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，但要注意所得的结果应满足实际情况的需要.
类型二、打折销售（利润问题）
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二)388413利润问题例2】
3．（2016?潮南区模拟）某商场销售的一款空调机每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．
（1）求这款空调每台的进价？（利润率==）．
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？
【思路点拨】（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；
（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．
【答案与解析】
解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：
3270×0.8﹣x=9%x，
解得：x=2400，
答：这款空调每台的进价为2400元；
（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×2400×9%=21600（元），
答：商场销售了这款空调机100台，盈利21600元．
【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意．分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要．
举一反三：
【变式】（2015?滦平县二模）一家商店将某种商品按进货价提高100%后，又以6折优惠售出，售价为60元，则这种商品的进货价是（　　）
A．120元
B．100元
C．72元
D．50元
【答案】D．
解：设进货价为x元，由题意得：
（1+100%）x?60%=60，
解得：x=50.
4．（2015?怀柔区二模）列方程或方程组解应用题：
周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每把定价5元，且两家都有优惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量．
【思路点拨】由题意可知，在甲店买一把茶壶赠送茶杯一只，故需付5只茶壶的钱和x﹣5只茶杯的钱，已知茶壶和茶杯的钱，可列出付款关于x的式子；在乙店购买全场9折优惠，同理也可列出付款关于x的式子；若两种优惠办法付款一样，则两式子的值相等，计算出x的值即需购买茶杯的数目．
【答案与解析】
解：设购买茶杯x只，依题意得
5x+125=4.5x+135，
解得：x=20．
所以购买茶杯20只时，两种优惠办法付款一样．
【总结升华】本题考查了一元一次方程在经济问题中的运用以及买东西的优惠问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
举一反三：
【变式】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价．
【答案】
解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：
0.8x+20＝x-12，
解得：x＝160．
答：李明上次所买书籍的原价是160元．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．一份数学试卷有20道选择题，规定答对一道得5分，不做或做错一题扣1分，结果某学生得分为76分，则他做对题数为（　　）道．
A.
16
B.
17
C.
18　
D.
19
2．学校文艺部组织部分文艺积极分子看演出，共购得8张甲票，4张乙票，总计用了112元．已知每张甲票比乙票贵2元，则甲票、乙票的票价分别是(
)．
A．甲票10
元／张，乙票8
元／张
B．甲票8元∕张，乙票10元∕张
C．甲票12元／张，乙票lO元∕张
D．甲票lO
元／张，乙票12元∕张
3．足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了(
)．
A．3场
B．4场
C．5场．
D．6场
4.
飞机逆风时速度为x千米/小时，风速为y千米/小时，则飞机顺风时速度为
(
).
A．千米／小时
B．千米／小时
C．千米／小时
D．千米／小时
5.（2015秋?宜兴市校级期中）某学生从家到学校时，每小时行5千米；按原路返回家时，每小时行4千米，结果返回的时间比去学校的时间多花10分钟．设去学校所用时间为x小时，则可列方程得（　　）
A．
B．
C．5（x﹣）=4x
D．
6.
甲列车从A地以50千米/时的速度开往B地，1小时后，乙列车从B地以70千米/时的速度开往A地，如果A，B两地相距200千米，则两车相遇点距A地(　)千米．
A.
100
B.
112
C.
112.5　
D.
114.5
二、填空题
7.
学校买回2元的圆珠笔和6元的钢笔作为奖品，共用了290元，已知圆珠笔数量比钢笔数量多5支，那么圆珠笔买了
支，钢笔买了
支.
8．（2015?新宾县模拟）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为________.　
9．若干本书分给某班同学，如果每人6本，则余18本；如果每人7本，则缺24本，则这个班的同学有
人，书有
本.
10.甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑9米，乙每秒钟跑7米．
（1）当两人同时同地背向而行时，经过________秒钟两人首次相遇；
（2）当两人同时同地同向而行时，经过________秒钟两人首次相遇．
11．（2016春?原阳县校级月考）某水池有甲进水管和乙出水管，已知单开甲注满水池需6h，单开乙管放完全池水需要9h，当同时开放甲、乙两管时需要　
　h水池水量达全池的．
12．一架飞机飞行于两城市之间，顺风需要5小时30分，逆风需要6小时，已知风速为每小时20千米，则无风时飞机的速度为
千米/时．
三、解答题
13.
甲乙两车间共120人，其中甲车间人数比乙车间人数的4倍少5人.
（1）求甲、乙两车间各有多少人？
（2）若从甲、乙两车间分别抽调工人，组成丙车间研制新产品，并使甲、乙、丙三个车间的人数比为13∶4∶7，那么甲、乙两车间要分别抽调多少工人？
14.（2016春?蓬溪县期中）某人原计划用26天生产一批零件，工作两天后因改变了操作方法，每天比原来多生产5个零件结果提前4天完成任务，问原来每天生产多少个零件？这批零件有多少个？
15.
A、B两地相距216千米，甲、乙分别在A、B两地，若甲骑车的速度为15千米/时，乙骑车的速度为12千米/时.
（1）甲、乙同时出发，背向而行，问几小时后他们相距351千米？
（2）甲、乙相向而行，甲出发三小时后乙才出发，问乙出发几小时后两人相遇？
（3）甲、乙相向而行，要使他们相遇于AB的中点，乙要比甲先出发几小时？
（4）甲、乙同时出发，相向而行，甲到达B处，乙到达A处都分别立即返回，几小时后相遇？相遇地点距离A有多远？
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】A
【解析】设他做对题数为x道，则不做或做错了（20-x）道，根据题意得：5x-（20-x）=76.
2．【答案】A
【解析】设乙票价为x元，则甲票价为（2+x）元，依题意得4x+8（2+x）=112.
3．【答案】C
【解析】设该队共平x场，则该队胜了14-x-5=9-x场，依题意得3（9-x）+x=19，x=4∴该队胜了14-x-5=9-4=5场.
4．【答案】C
【解析】逆风速度+2风速=顺风速度.
5.【答案】B．
【解析】根据从家到学校的路程相等可得方程为：5x=4×（x+）.
6.【答案】C
【解析】
二、填空题
7．【答案】40，35
【解析】设钢笔数量是x支，圆珠笔数量是（x+5）支，则6x+2×（x+5）=290，x=35．35+5=40.
8.【答案】20x=15（x+4）﹣10　．
9．【答案】42,270
【解析】设这个班的同学有x人，则：6x+18=7x-24，解得：x=42，则6x+18=270.也可设有数y本，，解得y=270，42.
10.【答案】25；200
【解析】（1）相遇问题：（秒）；（2）追及问题：
（秒）.
11.【答案】6；
【解析】解：设水池容积为1，同时开放甲、乙两管时需要xh水池水量达全池的，
依题意得：（﹣）x=，解得x=6，
∴同时开放甲、乙两管时需要6h水池水量达全池的．
12.【答案】460
【解析】设飞机无风时飞行速度为x千米/时，题意得：×（x+20）=6×（x-20），解，得x=460.
三、解答题
13．【解析】
解：（1）设乙车间有x人，那么甲车间有(4x-5)人，根据题意得：
x+(4x-5)=120，
x=25.
4x-5=4×25-5=95（人）.
（2）设甲、乙、丙三个车间人数比的一份为x人，则这三个车间的人数依次为13x人4x人、7x人，依题意得：
13x+4x+7x=120.
x=5.
当x=5时，95-13x=95-13×5=30（人）,
25-4x=25-4×5=5（人）.
答：原甲、乙车间各有95人和25人.需分别从甲、乙两车间分别抽调30人和5人组成丙车间.
14.【解析】
解：设原来每天生产x个零件，根据题意可得：
26x=2x+（x+5）×20，
解得：x=25，
故26×25=650（个）．
答：原来每天生产25个零件，这批零件有650个．
15.
【解析】（1）解：设x小时后，甲、乙相距351千米，
依题意，得15x+12x=351-216，
解这个方程，得x=5.
答：5小时后，甲、乙相距351千米.
（2）解：设乙出发x小时后两人相遇.
依题意，得15(3+x)+12x=216,
解这个方程，得x=.
答：乙出发小时后，甲、乙两人相遇.
（3）解：设当乙比甲早出发x小时，使甲、乙二人相遇于AB的中点.
依题意，得，解这个方程，得x=.
答：只要乙比甲先出发小时，两人就能相遇于AB的中点.
（4）解：设x小时后甲乙相遇，
依题意，得15x+12x=216×3
解这个方程，得x=24.
当x=24时，12x-216=72（千米）.
答：24小时后两人相遇，相遇地点距离A地72千米.
PAGE一元一次方程应用（二）----
“希望工程”义演与追赶小明（基础）知识讲解
责编：张强
【学习目标】
1.能够分析复杂问题中的数量关系，建立方程解决实际问题；体会对同一问题设不同未知数的算法多样化；
2.能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转换能力；
3.归纳利用方程解决实际问题的一般步骤，进一步体会模型思想.
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
要点二、“希望工程”义演（分配问题）
分配（调配或比例）问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等.
这类问题与生活密切相关，考察大家分析问题能力的同时，也考察了同学们的日常生活知识.
要点诠释：
分配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系，在分配问题中主要考虑“总量不变”；而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系.
要点三、追赶小明（行程问题）
（1）三个基本量间的关系：
路程=速度×时间
　（2）基本类型有：
　
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
第1，
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第2，
同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
【典型例题】
类型一、“希望工程”义演（分配问题）
1．（2015春?南关区校级期中）抗洪救灾小组在甲地段有28人，乙地段有15人，现在又调来29人，分配在甲乙两个地段，要求调配后甲地段人数是乙地段人数的2倍，求应调至甲地段和乙地段各多少人？
【思路点拨】首先设应调至甲地段x人，则调至乙地段（29﹣x）人，则调配后甲地段有（28+x）人，乙地段有（15+29﹣x）人，根据关键语句“调配后甲地段人数是乙地段人数的2倍”可得方程28+x=2（15+29﹣x），再解方程即可．
【答案与解析】
解：设应调至甲地段x人，则调至乙地段（29﹣x）人，
根据题意得：28+x=2（15+29﹣x），
解得：x=20，
所以：29﹣x=9，
答：应调至甲地段20人，则调至乙地段9人．
【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄懂题意，表示出调配后甲、乙两地段各有多少人．
举一反三：
【变式1】
某天，一蔬菜经营户用70元钱从蔬菜市场批发了辣椒和蒜苗共40kg到市场去卖，辣椒和蒜苗这天的批发价与零售价如右表所示：
品名
辣椒
蒜苗
批发价（单位：元/kg）
1.6
1.8
零售价（单位：元/kg）
2.6
3.3
问：（1）辣椒和蒜苗各批发了多少kg？
　　（2）他当天卖完这些辣椒和蒜苗能赚多少钱？
【答案】
（1）设该经营户从蔬菜市场批发了辣椒kg，则蒜苗kg，得
　　　　　　　　　　??
　　　　　　　　　　
解得：??
（2）利润：
（元）
答：该经营户批发了10kg辣椒和30kg蒜苗；当天能赚55元．
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)
388410
配制问题】
【变式2】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？
【答案】
解：设要用A种糖果x千克，则B种糖果用(100-x)千克.依题意，得：
28x+20(100-x)=25×100
解得：x=62.5.
当x=62.5时，100-x=37.5.
答：要用A、B两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.
类型二、追赶小明（行程问题）
1.一般问题
2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?
【答案与解析】
解：设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：
4x+0.5＝5(x-0.5)，解得x＝3．
所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．
答：学校到县城的距离是12.5千米．
【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．
举一反三：
【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．
【答案】
解：设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为小时，下坡行驶的时间为小时．依题意，得：，
化简得：
．
显然a≠0，解得
答：汽车的平均速度为千米/时．
2.相遇问题（相向问题）
3．（2016?云南模拟）昆曲高速公路全长128千米，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20千米．求甲、乙两车的速度．
【思路点拨】设出乙车速度，进而表示出甲车速度，再根据相遇问题，两车行驶的路程之和为128千米列出方程，解方程求出x的值即可．
【答案与解析】
解：40分钟=小时，设乙车速度为x千米/时，甲车速度为（x+20）千米/时，根据题意，得（x+x+20）=128，
解得x=86，
则甲车速度为：x+20=86+20=106．
答：甲车速度为106千米/时，乙车速度为86千米/时．
【总结升华】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据路程=速度×时间公式列出一元一次方程，此题难度不大．
举一反三：
【变式】（2015?绥棱县期末）A、B两站相距300千米，一列快车从A站开出，行驶速度是每小时60千米，一列慢车从B站开出，行驶速度是每小时40千米，快车先开15分钟，两车相向而行，快车开出几小时后两车相遇？（只列出方程，不用解）
【答案】
解：设快车开出x小时后两车相遇，
根据题意得：60x+40（x﹣）=300．
3.追及问题（同向问题）
4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?
【答案与解析】
解：设通讯员x小时可以追上学生队伍，则根据题意，
得，
得：，
小时=10分钟．
答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍．
【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．
4.航行问题（顺逆流问题）
5．一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．
【答案与解析】
解法1：设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x-4)，解得：x=16，
（16+4）×3=60（千米）
答：两码头之间的距离为60千米．
解法2：设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为千米/时，逆水航行时速度为千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：，解得：
答：两码头之间的距离为60千米．
【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．（2015春?宜阳县期中）下列方程中，是一元一次方程的为（　　）
A．3x+2y=6
B．x2+2x﹣1=0
C．=x
D．﹣3=
2.
下列变形错误的是(
).
A.由x
+
7=
5得x+7－7
=
5－7
B.由3x－2
=2x
+
1得x=
3
C.由4－3x
=
4x－3得4+3
=
4x+3x
D.由－2x=
3得x=
－
3.
某书中一道方程题：，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是，那么□处应该是数字(
)．
A．-2.5
B．2.5
C．5
D．7
4.
将(3x＋2)－2(2x－1)去括号正确的是(
).
A
3x＋2－2x＋1
B
3x＋2－4x＋1
C
3x＋2－4x－2
D
3x＋2－4x＋2
5.
当x=2时，代数式ax－2x的值为4，当x=－2时，这个代数式的值为（
）.
A.－8
B.－4
C.－2
D.8
6．解方程时，去分母正确的是(
)．
A．3(x+1)＝1-5(2x-1)
B．3x+3＝15-10x-5
C．3(x+1)＝15-5(2x-1)
D．3x+1＝15-10x+5
7．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为(
)．
A．4
B．5
C．6
D．7
8．某超市选用每千克28元的甲种糖3千克，每千克20元的乙种糖2千克，每千克12元的丙种糖5千克混合成杂拌糖后出售，在总销售额不变的情况下，这种杂拌糖平均每千克售价应是(
)．
A．18元
B．18.4元
C．19.6元
D．20元
二、填空题
9．在0，－1，3中，
是方程3x－9=0的解.
10．如果3x＝－6是关于x的一元一次方程，那么a＝
，方程的解
.
11．若x＝－2是关于x的方程的解，则a＝
.
12．由3x＝2x＋1变为3x－2x＝1，是方程两边同时加上
.
13．“代数式9－x的值比代数式－1的值小6”用方程表示为
.
14．当x＝
时，代数式与互为相反数.
15．（2015?哈尔滨模拟）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班的学生有　　人．
16．某商场把彩电按标价的8折出售，仍可获利20%，若该彩电的进价为2000元，则标价是
.
三、解答题
17．（1）；
（2）．
18．已知代数式的值为0，求代数式的值．
19．（2015?南丹县一模）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲种
5
8
乙种
9
13
（1）这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？
20．学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配?
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C．
2.【答案】D
【解析】由，得
3.【答案】C
【解析】把x＝-2.5代入方程，再把□当作未知数解方程即可．
4.【答案】D
【解析】
5．【答案】B
【解析】将代入得：，得；将代入得：
6．【答案】C
【解析】去分母时避免漏乘常数项，当分子是多项式时，去分母后给分子加上括号．
7．【答案】C
【解析】设该队获胜x场，则平的场数为(11-x)，则3x+(11-x)＝23．解得x＝6．故选C．
8．【答案】B
【解析】可设这种杂拌糖平均每千克的售价是x元．依题意，得(3+2+5)x＝28×3+20×2+12×5，解得x＝18.4，故选B．
二、填空题
9.
【答案】3；
【解析】代入验证即可．
10.
【答案】，-2；
【解析】，
11.
【答案】；
【解析】将代入得：
12.
【答案】-2x；
13.
【答案】；
14.
【答案】；
【解析】，解得：
15.【答案】45．
【解析】设有x名学生，根据书的总量相等可得：3x+20=4x﹣25，解得：x=45．答：这个班有45名学生．
16.
【答案】3000.
【解析】设标价为元，则,解得：
三、解答题
17．【解析】
解：(1)去分母，得3x-0.4＝2x+1.4．
移项，得3x-2x＝1.4+0.4．
合并同类项，得x＝1.8．
(2)去分母，得12x-3(x-1)＝4(x+3)．
去括号，得12x-3x+3＝4x+12．
移项，得12x-3x-4x＝12-3．
合并同类项．得5x＝9．
系数化为1，得．
18．【解析】
解：由题意，得．去分母，得．
移项合并同类项，得．系数化为1，得y＝2．
当y＝2时，，
即若代数式的值为0，则代数式的值为．
19.【解析】
解：（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140﹣x）千克，根据题意得：
5x+9（140﹣x）=1000，
解得：x=65，
∴140﹣x=75．
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；
（2）3×65+4×75=495（元）
答：利润为495元．
20．【解析】
解：设两人一起做x天，据题意，得：
，解得x＝2．
师傅应得报酬为×2×450＝225(元)．
徒弟应得报酬为450-225＝225(元)．
答：师傅应得报酬为225元，徒弟应得报酬为225元．
PAGE《一元一次方程》全章复习与巩固（基础）知识讲解
责编：康红梅
【学习目标】
1．经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；
2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；
3．能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的合理性．
【知识网络】
【要点梳理】
知识点一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
要点诠释：
（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．
（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
知识点二、等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式．
2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
知识点三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.
2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
3.行程问题：路程＝速度×时间
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如：.
8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．
【典型例题】
类型一、一元一次方程的概念
1．（2014?郸城县校级模拟）如果方程（k﹣1）x|k|+3=0是关于x的一元一次方程，那么k的值是　　．
【思路点拨】根据一元一次方程的定义知|k|=1且未知数是系数k﹣1≠0，据此可以求得k的值．
【答案】
﹣1．
【解析】
解：∵方程（k﹣1）x|k|+3=0是关于x的一元一次方程，
∴|k|=1，且k﹣1≠0，
解得，k=﹣1；
故答案是：﹣1．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1，且未知数的系数不为零．
举一反三：
【高清课堂：一元一次方程复习
393349
等式和方程
例(1)】
【变式】下列说法中正确的是(
).
A．2a-a=a不是等式
B．x2-2x-3是方程
C．方程是等式
D．等式是方程
【答案】C
2.
若方程3(x-1)+8＝2x+3与方程的解相同，求k的值．
【答案与解析】
解：解方程3(x-1)+8＝2x+3，得x＝-2．
将x＝-2代入方程中，得．
解这个关于k的方程，得．
所以，
．
【总结升华】由于两个方程的解相同，所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中，从而求得问题的答案．
举一反三：
【变式】（2015春?泉州期中）当x=　　时，代数式2x+1与5x﹣8的值相等．
【答案】3．
解：根据题意得：2x+1=5x﹣8，
∴2x﹣5x=﹣8﹣1，
∴﹣3x=﹣9，
∴x=3.
类型二、一元一次方程的解法
3．解方程
【思路点拨】通过方程的同解原理(去分母，去括号，合并同类项，系数化为1)，一步一步将一个复杂的方程转化成与它同解的最简的方程，从而达到求解的目的．
【答案与解析】
解：去分母，得3(y+2)-2(3-5y)＝12
去括号，得3y+6-6+10y＝12
合并同类项，得13y＝12
未知数的系数化为1，得
【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解．
【高清课堂：一元一次方程复习
393349
解方程例1（2）】
举一反三：
【变式】解方程：解方程：
【答案】解：把方程可化为：
再去分母得：
解得：
4．解方程：
【思路点拨】本题按常规方法求解，比较繁锁，如能根据题目的特点，巧用“整体思维”，就能算得又快又对，起到事半功倍的效果．
【答案与解析】
解：
x＝-6
【总结升华】直接去括号太繁琐，若将(x+1)及(x-1)看作一个整体，并移项合并同类项，解答十分巧妙，可免去去分母的步骤及简化去括号的过程．
类型三、一元一次方程的应用
5．甲车从A地出发以60
km／h的速度沿公路匀速行驶，0.5
h后，乙车也从A地出发，以80
km／h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．
【答案与解析】
解：设乙车出发后x小时追上甲车，依题意得
60×0.5+60x＝80x，
解得
x＝1.5．
答：乙车出发后1.5小时追上甲车．
【总结升华】此题的等量关系为：甲前0.5
h的行程+甲后来的行程＝乙的行程．
6.如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10cm，原容器内水的高度为12cm，把一根半径为2cm的玻璃棒垂直插入水中后，问容器内的水将升高多少cm？（圆柱的体积=底面积×高）
【思路点拨】根据题意，得等量关系为：容器的底面积×容器中水的原来高度+玻璃棒的截面积×（容器中水的高度+水增加的高度）=容器的底面积×（容器中水原来的高度+水增加的高度）．
【答案与解析】
解：解：设容器内的水将升高xcm，据题意得：
π?102×12+π?22（12+x）=π?102（12+x），
1200+4（12+x）=100（12+x），
1200+48+4x=1200+100x，
96x=48，
x=0.5．
答：容器内的水将升高0.5cm．
【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题也可以根据水面上升部分的体积等于插入水中玻璃棒的体积来列等量关系进行求解.
7.某商品的进价为1500元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润为20%，则此商品是按几折销售的？（结果精确到0.1）
【答案与解析】
解：设按x折销售，根据题意得出：
1500×（1+40%）×=1500×（1+20%），
解得x≈8.6，
答：此商品是按8.6折销售的．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解此题的关键是弄清“售价=进价+利润”和打几折即现价就是原价的百分之几十．
举一反三：
【变式】“五一”期间，某商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按原销售价70%销售）和九折，共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元，问两种商品原销售价分别为多少元？
【答案】
解：设甲种商品原价x元，则乙种商品原价为（500-x）元，则：
70%x+90%（500-x）=386，
???
0.7x+450-0.9x=386，
????????????
0.2x=64，
???????????????
x=320；
乙种商品原价为500-320=180（元）；
答：甲种商品原价为320元，乙种商品原价为180元．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．为了绘出一批数据的频率分布直方图，首先计算出这批数据的变动范围是指数据的(
)
A．最大值
B．最小值
C．最大值与最小值的差
D．个数
2．在频数分布直方图中，各小矩形的面积等于(
).
A．相应各组的频数
B．组数
C．相应各组的频率
D．组距
3．已知一组数据有80个，其中最大值为140，最小值为40，取组距为10，则可分成(
).
A．10组
B．9组
C．8组
D．7组
4．（2015?曲靖）某企业为了解员工给灾区“爱心捐款”的情况，随机抽取部分员工的捐款金额整理绘制成如图所示的直方图，根据图中信息，下列结论错误的是（　　）
A．样本中位数是200元
B．样本容量是20
C．该企业员工捐款金额的极差是450元
D．该企业员工最大捐款金额是500元
5．在样本频数分布直方图中，有11个小长方形．若中间的小长方形的面积等于其他10个小长方形面积之和的，且样本容量为160个，则中间的一组的频数为(
).
A．0.2
B．32
C．0.25
D．40
6.
如图所示为某校782名学生小考成绩的次数分配直方图，若下列有一选项为下图成绩的累积次数分配直方图，则此图为(
).
7．有40个数据，其中最大值为35，最小值为15，若取组距为4，则应该分的组数是(
).
A．4
B．5
C．6
D．7
8．学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加绘画兴趣小组的频率是(
).
A．0.1
B．0.15
C．0.25
D．0.3
二、填空题
9．（2015?温州模拟）有50个数据，共分成6组，第1～4组的频数分别为10，8，7，11．第5组的频率是0.16，则第6组的频数是　
　．
10．一个样本有20个数据：35
31
33
35.37
39
35
38
40
39
36
34
35
37
36
32
34
35
36
34．在列频数分布表时，如果组距为2，那么应分成________组，36立在第________组中．
11．某班50名学生参加2013年初中毕业生毕业考试，综合评价等级为A，B，C等的学生情况如扇形图所示，该学校共有500人参加毕业考试，估计该学校得A等的学生有______名．
12.某单位职工的年龄(取正整数)的频数分布直方图如图所示，根据图中提供的信息，进行填空．
(1)该单位职工共有________人；
(2)不小于38岁但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分率是________．
13．某中学举行一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下表(分数均为整数，满分为100分)：请根据表中提供的信息，解答下列各题：
(1)参加这次演讲比赛的同学共有________人；
(2)已知成绩在91～100分的同学为优胜者，那么，优胜率为________．
14．某校为了了解某个年级的学习情况，在这个年级抽取了50名学生，对某学科进行测试，将所得成绩(成绩均为整数)整理后，列出表格：
分组
50～59分
60～69分
70～79分
80～89分
90～99分
频率
0.04
0.04
0.16
0.34
0.42
(1)本次测试90分以上的人数有________人；(包括90分)
(2)本次测试这50名学生成绩的及格率是________；(60分以上为及格，包括60分)
(3)这个年级此学科的学习情况如何？请在下列三个选项中，选一个填在题后的横线上________．
A．好
B．一般
C．不好
三、解答题
15．为了了解中学生的体能状况，某校抽取了50名学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分成5组绘成了频数分布直方图，如图(图中数据含最低值不含最高值)．其中前4个小组的频率依次为0.04，0.12，0.4，0.28．
(1)第4组的频数是多少？
(2)第5组的频率是多少？
(3)哪一组的频数最大？
(4)补全统计图，并绘出频数分布折线图．
16．为检查某工厂所产8万台电扇的质量，抽查了其中40台，这40台电扇的无故障连续使用时限如下：(单位：h)
248
256
232
243
188
278
286
292
308
312
274
296
288
302
295
208
314
290
281
298
228
287
217
329
283
327
272
264
307
257
268
278
266
289
312
198
204
254
244
278
(1)以组距20h列出样本的频数分布表，并画出频数分布直方图；
(2)估计8万台电扇中有多少台无故障连续使用时限会不少于288h？
(3)样本的平均无故障连续使用时限是多少？
(4)如果电扇的无故障正常(非连续)使用时限是无故障连续使用时限的8倍，那么这些电扇的正常使用寿命为多少小时？(精确到1h)
17．（2015?宿迁）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是　
　，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为　
　，在扇形统计图中D组的圆心角是　
　度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
【答案与解析】
一、选择题
1.
【答案】C；
【解析】频率直方图是按照数据从小到大的顺序排列，包括所有的数据，即数据的变化范围是指数据的最大值和最小值的差．
2.
【答案】A；
【解析】频数直方图中纵坐标表示的是频数，则小长方形的高为频数，小长方形的面积＝．
3.
【答案】A；
【解析】据组数=（最大值-最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位．
4.【答案】A．
【解析】A、共2+8+5+4+1=20人，中位数为10和11的平均数，故中位数为175元，错误；
B、共20人，故样本容量为20，正确；
C、极差为500﹣50=450元，正确；
D、该企业员工最大捐款金额是500元，正确．
5.
【答案】B；
【解析】根据在频数直方图中，某一组相应的小长方形的面积与直方图中所有小矩形面积的比值即这小组的频率，求得中间一个长方形对应的频率后，再由频数、频率、总数的关系求解．
6.
【答案】A；
【解析】将一个变量的不同等级的相对频数用矩形块标绘的图表（每一矩形的面积对应于频数）．因为本题求哪个是成绩的累积次数分配直方图，故累计次数作为纵坐标.
7.
【答案】B；
【解析】.
8.
【答案】D；
【解析】根据频率＝
.
二、填空题
9.【答案】6.
【解析】∵有50个数据，共分成6组，第5组的频率是0.16，∴第5组的频数为50×0.16=8；
又∵第1～4组的频数分别为10，8，7，11，∴第6组的频数为50﹣（10+8+7+11+8）=6．
10.【答案】5，
3；
11.【答案】100；
【解析】500×（1-30％-50％）=100.
12.【答案】
(1)50
(2)58％
；
【解析】正确读图是做题的关键．
13.【答案】
(1)20
(2)20％；
【解析】优胜率＝.
14.【答案】
(1)21
；(2)96％
；(3)A
．
【解析】（1）0.42×50＝21．（2）1－0.04－0.96＝96％．（3）理由是优秀率和及格率都很高．
三、解答题
15.【解析】
解：(1)第4组的频数是0.28×50＝14．
(2)第5组频率为1-0.04-0.12-0.4-0.28＝0.16．
(3)170～180这一组频数最大．
(4)补全统计图略．
频数分布折线图如图．
16.【解析】
解：(1)频数分布表如下：
频数分布直方图如图
(2)因为这40台中不少于288h的有9+5+1＝15(台)，
所以8万台电扇中不少于288h的有(万台)．
(3)平均无故障连续使用时限为(h)．
(4)电扇的正常寿命为271.3×8≈2170(h)．
17.【解析】
解：（1）这次抽样调查的样本容量是4÷8%=50，B组的频数=50﹣4﹣16﹣10﹣8=12，
补全频数分布直方图，如图：
（2）C组学生的频率是0.32；D组的圆心角=；
（3）样本中体重超过60kg的学生是10+8=18人，
该校初三年级体重超过60kg的学生=人，
故答案为：（1）50；（2）0.32；72．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1.下列几何图形中，平面图形的个数为（
）个.
①三角形，②圆，③圆柱，④圆锥，⑤正方体，⑥扇形.
A.4
B.5
C.3
D.6
2．从n边形的一个顶点出发共有对角线(
)
.
A．(n-2)条
B．(n-3)条
C．(n-1)条
D．(n-4)条
3．如图，图中四边形有(
)
.
A．3个
B．5个
C．2个
D．6个
4以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（
）.
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个
5（2016?重庆校级一模）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
6
（2015?重庆校级模拟）如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形有（　　）条对角线．
A．27
B．35
C．40
D．44
二、填空题
7．（2015春?龙口市期中）从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为　
　边形．
8.
已知圆的半径，可以画____个圆；已知圆心，可以画____个圆；已知圆心和半径可以画_____个圆.
9.一个圆的圆心决定这个圆的_________，圆的半径决定这个圆的_________．
10.（2016?哈尔滨）一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm2，则此扇形的半径为　
　cm．
11.一个七边形的边数减少1，则它的对角线条数减少________，n边形的边数增加2，则对角线增加______．
12.平面内到定点A的距离等于3的点组成的图形是
.
三、解答题
13.已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．
14．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．
15.
（2014秋?腾冲县校级期末）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和．（友情提示：三个圆心角之间有何关系）
【答案与解析】
一、选择题
1.
【答案】C；
【解析】①⑥②为平面图形.
2.
【答案】B；
3.
【答案】A；
【解析】四边形有：四边形ABCD,四边形ABOD，四边形ABCO.
4.
【答案】A；
【解析】以定点为圆心，定长为半径作圆，只能作一个，故选A.
5.
【答案】D；
【解析】设多边形有条边，则﹣3=6，解得=9．
6.
【答案】B
二、填空题
7.
【答案】九
【解析】由题意可知，n﹣2=7，解得n=9．则这个多边形的边数为9，多边形为九边形．
8.
【答案】无数；无数；1；
【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可．
9.
【答案】位置，大小；
10．【答案】6；
【解析】设该扇形的半径为R，则
，解得R=6．
11.【答案】5，2n－1；
【解析】七边形的对角线条数为：（条），七边形的边数减少1，即六边形的对角线条数为（条），相减得5条，所以一个七边形的边数减少1，它的对角线条数减少5条；同理n边形的边数增加2，则对角线增加(条)
．
12.
【答案】以A为圆心3为半径的圆.
三、解答题
13.【解析】
解：由题意n-3＝4，n＝7．
设各边长为x-3，x-2，x-1，x，x+1，x+2，x+3，则有：
x-3+
x-2+
x-1+x+x+1+x+2+x+3＝56，
7x＝56，x＝8．
∴
各边长为5，6，7，8，9，10，11．
14.【解析】
解：设多边形的边数为n，根据题意，有：
n＝2(n-3)，
解得n＝6，
故这个多边形的边数为6．
15.【解析】
解：∵∠A+∠B+∠C=180°
∴
答：图中的三个扇形面积之和为．
PAGE统计调查
知识讲解
责编:康红梅
【学习目标】
1.了解全面调查和抽样调查的优缺点，能选择合适的调查方式，解决有关问题；
2.了解总体、样本、样本容量等相关概念；
3.
会用扇形统计图、条形统计图和折线统计图表示数据，并能从统计图或表中获取信息.
【要点梳理】
要点一、统计调查
1．统计相关概念
总体：调查时，调查对象的全体叫做总体.
个体：组成总体的每一个调查对象叫做个体.
样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本.
样本容量：样本中个体的数量叫做样本容量（不带单位）.
要点诠释：
(1)“调查对象的全体”一般是指调查对象的某种数量指标的全体，如对于一个班级，如果考察的是这个班学生的身高，那么总体是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体是总体．
(2)样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本在一定程度上能够反映总体，为了使样本能较好地反映总体情况，在选取样本时要注意使其具有一定的代表性．
(3)
样本容量是一个数字，不能有单位．一般地，样本容量越大，通过样本对总体的估计越精确，在实际研究中，要根据具体情况确定样本容量的大小．例如：“从5万名考生的数学成绩中抽取2000名考生的数学成绩进行分析”，样本是“2000名考生的数学成绩”，而样本容量是“2000”，不能将其误解为“2000名考生”或“2000名”．
2.
调查的方法：全面调查和抽样调查
（1）全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查．
要点诠释：
(1)全面调查又叫“普查”，它是指在统计的过程中，为了某种特定的目的而对所有考察的对象一一作出的调查，在记录数据时，通常用划记法进行记录数据．
(2)一般来说，全面调查能够得到全体被调查对象的全面、准确的信息，但有时总体中的个体的数目非常大，全面调查的工作量太大；有时受条件的限制，无法进行全面调查；有时调查具有破坏性(例如：测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等)，不能进行全面调查．
（2）抽样调查：从调查对象中抽取部分对象进行调查，然后根据调查的数据推断全体对象的情况，这种调查方式称为抽样调查．
要点诠释：
(1)从总体中抽取部分个体进行调查的方式，我们称抽样调查，在抽取的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方式是一种简单随机抽样．
(2)抽样调查方便、快捷，能够减少调查统计的工作量但调查的结果不如“全面调查”得到的结果准确．
（3）调查方法的选择：
①全面调查是对考查对象的全体调查，它要求对考查范围内所有个体进行一个不漏的逐个准确统计；而抽样调查则只是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况.
②在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小.
要点二、数据的描述
描述数据的方法有两种：统计表和统计图．
统计表：利用表格将要统计的数据填入相应的表格内，表格统计法可以很好地整理数据
统计图：利用“条形图”、“扇形图”、“折线图”描述数据，这样做的最大优点是将表格中的数据所呈现出来的信息直观化．
要点诠释：
（1）条形统计图：用线段长度表示数据，根据数据的多少画成长短不同的长方形直条，然后按顺序把这些直条排列起来，条形统计图很容易看出数据的大小，便于比较，但不能清楚地反映各部分占总体的百分比．
（2）扇形统计图：用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量，从扇形上可清楚地看出各部分量和总数量之间的关系，但不能直接表示出各个项目的具体数据．
（3）折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，但不能清楚地反映数据的分布情况．
【典型例题】
类型一、统计学及其相关概念
1.某次考试有3000名学生参加，为了了解3000名学生的数学成绩，从中抽取了1000名学生的数学成绩进行调查统计分析，在这个问题中，有下述3种说法：①1000名考生是总体的一个样本；②3000名考生是总体；③1000名考生数学平均成绩可估计总体数学平均成绩；④每个考生的数学成绩是个体．其中正确的说法有(
).
A．0种
B．1种
C．2种
D．3种
【思路点拨】总体是3000名学生的数学成绩，个体是这次考试中每名学生的数学成绩，样本是抽取的1000名学生的数学成绩，样本容量是1000.
【答案】C.
【解析】
解：①、②两个说法指的是考生而不是考生的成绩，故①、②两个说法不对，④指的是考生的成绩，故④对．③用样本的特征估计总体的特征，是抽样调查的核心，故③对．
【总结升华】总体、样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小，在本题中，总体、样本都是指考生的成绩，而不是考生．
举一反三：
【变式】为了了解某市2万名学生参加中考的情况，教育部门从中抽取了600名考生的成绩进行分析，这个问题中（
）.
A.2万考生是总体；
B.每名考生是个体；
C.个体是每名考生的成绩；
D.600名考生是总体的一个样本.
【答案】C.
类型二、普查和抽样调查
2.
（2015?重庆）下列调查中，最适合用普查方式的是（　　）
A．调查一批电视机的使用寿命情况
B．调查某中学九年级一班学生的视力情况
C．调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况
D．调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况
【思路点拨】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【答案】B．
【解析】
解：A、调查一批电视机的使用寿命情况，调查具有破坏性，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、调查某中学九年级一班学生的视力情况，适合普查，故B符合题意；
C、调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况，调查范围广，适合抽样调查，故C不符合题意；
D、调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况，适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：B．
【总结升华】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.下列调查适合作抽样调查的是(
).
A．了解义乌电视台“同年哥讲新闻”栏目的收视率
B．了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况
C．了解某班每个学生家庭电脑的数量
D．“神七”载人飞船发射前对重要零部件的检查
【思路点拨】抽样调查不可能进行全面调查的现象.
【答案】A.
【解析】解：要了解义乌电视台“同年哥讲新闻”栏目的收视率，显然应采用抽样调查的方式．而对于B、D选项，因为漏掉每一个个体携带H1N1病毒者或者“神七”载人飞船有一个小零件不合格，都会出现意想不到的后果，因此需要采用全面调查的方式．了解某班每个学生家庭电脑的数量，范围小，工作量小，一般也采用全面调查的方式．故选A.
【总结升华】①在具体的问题情境中，要根据需要选择用全面调查还是抽样调查的方式进行调查；抽样调查得到的信息的准确度受调查对象(即样本)的数量和特点影响，故抽样时必须注意调查对象是否具有代表性和广泛性．
举一反三：
【变式】下列调查中，哪些是全面调查的方式，哪些是用抽样调查方式来收集数据的？
（1）为了了解你所在的班级的每个同学的身高，向全班同学做调查.
（2）为了了解你所在的班级的同学每天的学习时间，选取班级中学号为单号数的所有同学做调查.
（3）为了了解某奶牛场中500头奶牛的产奶量，从中抽取出50头进行分析测量.
【答案】（1）采用的是全面调查方式收集数据的；（2）、（3）是采用抽样调查方式收集数据的.
类型三、数据的描述
4.
(珠海)2010年亚运会即将在广州举行，广元小学开展了“你最喜欢收看的五项亚运会球类比赛(只选一项)”抽样调查．根据调查数据，小红计算出喜欢收看排球比赛的人数占抽样人数的6％，小明则绘制成如下不完整的条形统计图（如图所示），请你根据这两位同学提供的信息，解答下面的问题：
(1)将统计图补充完整；
(2)根据以上调查，试估计该校1800名学生中，最喜欢收看羽毛球的人数．
【思路点拨】依据条形图反映出来的数量作答．
【答案与解析】
解：(1)因为喜欢排球的12人占抽样总人数的6％，故抽样人数为：(人)，
故喜欢乒乓球的人数为：200－12－38－80－20＝50(人)．
(2)喜欢收看羽毛球人数为：
(人)．
【总结升华】把小长方形对应的纵轴数相加即得到抽取的调查报告数，这也是样本数；每组所占样本的百分比乘总数即这组调查报告约有的份数.
5.
南县农民一直保持着冬种油菜的习惯，利用农闲冬种一季油菜．南县农业部门对2009年的油菜籽生产成本、市场价格、种植面积和产量等进行了调查统计，并绘制了如下统计表与统计图(如图所示)：
每亩生产成本
每亩产量
油菜籽市场价格
种植面积
110元
130千克
3元/千克
500000亩
请根据以上信息解答下列问题
(1)种植油菜每亩的种子成本是多少元?
(2)农民冬种油菜每亩获利多少元?
(3)2009年南县全县农民冬种油菜的总获利多少元?(结果用科学记数法表示)
【思路点拨】由扇形统计图反映出来的信息知：种子占生产成本的10％，根据这一点不难解答本题．
【答案与解析】
解：(1)种子占成本的百分数为
1-10％-35％-45％＝10％，
故种植油菜每亩的种子成本为：110×10％＝11(元)．
(2)由统计表知，每亩油菜销售总价为：130×3＝390(元)，
故农民冬种油菜每亩获利390－110＝280(元)．
(3)因为农民种植油菜．每亩获利280元，则500000亩油菜共获利：280×500000＝140000000＝1．4×108(元)．
【总结升华】在扇形统计图中，各部分所占的百分比之和＝1，扇形对应圆心角度数＝该扇形所占百分比×360°．
6.
某住宅小区六月份的1至6日每天的用水量变化情况如图所示，那么这6天的平均用水量是
A．30吨
B．31吨
C．32吨
D．33吨
【答案】C.
【解析】
解：从折线统计图，可知1日的用水量为30吨，2日的用水量为34吨，3日的用水量为32吨，4日的用水量为37吨，5日的用水量为28吨，6日的用水量为31吨，由此可计算出这6天的平均用水量为(30+34+32+37+28+31)÷6＝32(吨)．
【总结升华】折线图的特点：易于显示数据的变化趋势.
【高清课堂：统计图
例4】
举一反三：
【变式】近年来国内生产总值增长率变化情况如图,
从图上看下列结论不正确的是(
).
A．1995～1999年国内生产总值增长率逐年减少
B．2000年国内生产总值的年增长率开始回升
C．这7年中,
每年的国内生产总值不断增长
D．这7年中,
每年的国内生产总值有增有减
【答案】D
类型四、综合应用
7.
玉树地震后，全国人民慷慨解囊，积极支援玉树人民的抗震救灾，他们有的直接捐款，有的捐物，国家民政部、中国红十字会、中华慈善总会及其他基金会分别接收了捐赠，青海省也直接接收了部分捐赠截至5月14日12时，他们分别接收捐赠(含直接捐款数和捐赠物折款数)的比例见扇形统计图(如图①所示)，其中，中华慈善总会和中国红十字会共接收捐赠约合人民币15.6亿元．请你根据相关信息解决下列问题：
(1)其他基金会接收捐赠约占捐赠总数的百分比是________；
(2)全国接收直接捐款数和捐赠物折款数共计约________亿元；
(3)请你补全图②中的条形统计图；
(4)据统计，直接捐款数比捐赠物折款数的6倍还多3亿元，那么直接捐款数和捐赠物折款数各多少亿元?
【思路点拨】本题是一道与扇形统计图和条形统计图的综合题．从扇形统计图中，可以获取各部门获得捐赠的百分数．从条形统计图中可以获取其他基金会获得的捐赠为2亿元根据这两点，问题便迎刃而解．
【答案与解析】
解：(1)1－33％－33％－13％－17％＝4％；
(2)(亿元)；
(3)因为中华慈善总会接收捐赠占所有捐赠的13％，故中华慈善总会接收捐赠共计：52×13％＝6.76(亿元)；
(4)设捐赠物折款数为x亿元，依题意有
6x+3+x＝52，解方程得x＝7．
故直接捐款数和捐赠物折款数分别是45亿元和7亿元．
【总结升华】将条形图和扇形图获得的信息进行整合，充分挖掘两图表中隐含的信息．
【高清课堂：统计图
练习1】
举一反三：
【变式1】如果想表示我国从20002010年间国民生产总值的变化情况,
最合适的是采用(
).
A.
条形统计图
B.
扇形统计图
C．折线统计图
D.以上都很合适
【答案】C.
【变式2】（2015?恩施州）某中学开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，如图决定开设“A：踢毽子，B：篮球，C：跳绳，D：乒乓球”四项运动项目（每位同学必须选择一项），为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，丙将调查结果绘制成如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为（　　）
A．240
B．120
C．80
D．40
【答案】D．
PAGE数据的表示——知识讲解
责编：康红梅
【学习目标】
1.理解扇形统计图的特点，会制作扇形统计图，并能从中获取信息；
2.了解频数等概念，会画频数分布直方图，理解频数分布直方图的意义和作用；
3.理解三种统计图各自的特点，并能根据不同问题选择适当的统计图描述数据.
【要点梳理】
要点一、组距、频数与频数分布表的概念
1．组距：每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）．
2．频数：落在各小组内数据的个数．
3．频数分布表：把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布表．
要点诠释：
（1）求频数分布表的一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③确定分点；④列频数分布表；
（2）频数之和等于样本容量．
（3）频数分布表能清楚、确切地反映一组数据的大小分布情况，将一批数据分组，一般数据越多，分的组也越多，当数据在100个以内时，按数据的多少，常分成5～12组，在分组时，要灵活确定组距，使所分组数合适，一般组数为的整数部分+1．
要点二、频数分布直方图
1.频数分布直方图：是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成．
(1)横轴：直方图的横轴表示分组的情况(数据分组)；
(2)纵轴：直方图的纵轴表示频数；
(3)条形图：直方图的主体部分是条形图，每一条是立于横轴之上的一个长方形、底边长是这个组的组距，高为频数．
2.作频数直方图的步骤：
(1)计算最大值与最小值的差；
(2)决定组距与组数；
(3)列频数分布表；
(4)画频数分布直方图．
要点诠释：
(1)频数分布直方图简称直方图，它是条形统计图的一种．
(2)频数分布直方图用小长方形的面积来表示各组的频数分布，对于等距分组的数据，可以用小长方形的高直接表示频数的分布．
【高清课堂：数据的描述
369923
直方图和条形图的联系与区别：】
3.直方图和条形图的联系与区别：
（1）联系：它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高来表示数据分布情况的；
（2）区别：由于分组数据具有连续性，直方图中各矩形之间通常是连续排列，中间没有空隙，而条形图中各矩形是分开排列，中间有一定的间隔；直方图是用面积表示各组频数的多少，而条形图是用矩形的高表示频数.
要点三、统计图的选择
统计图：利用“条形图”、“扇形图”、“折线图”描述数据，这样做的最大优点是将表格中的数据所呈现出来的信息直观化．
要点诠释：
（1）条形统计图：用线段长度表示数据，根据数据的多少画成长短不同的长方形直条，然后按顺序把这些直条排列起来，条形统计图很容易看出数据的大小，便于比较，但不能清楚地反映各部分占总体的百分比．
（2）扇形统计图：用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量，从扇形上可清楚地看出各部分量和总数量之间的关系，但不能直接表示出各个项目的具体数据．
（3）折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，但不能清楚地反映数据的分布情况．
【典型例题】
类型一、组距、频数与频数分布表的概念
1.
（2015?天津模拟）已知一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、四、五组数据的个数分别为2、8、15、20、5，则第四组的频率为（　　）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【答案】D．
【解析】
解：由题意得：第四组的频率是20÷50=0.4．
【总结升华】掌握频率、频数、总数三者之间的关系：频率=频数÷总数．
举一反三：
【变式】有一个样本容量为20的样本，其数据如下：29，42，58，37，53，52，49，24，37，45，42，55，40，38，50，26，54，26，44，32．根据以上数据填写下表：
分组
频数累计
频数
频率
21～30
31～40
41～50
51～60
合计1
【答案】
解：如下表：
分组
频数累计
频数
频率
21～30
4
0.20
31～40
正
5
0.25
41～50
正一
6
0.30
51～60
正
5
0.25
合计1
20
1.00
类型二、频数分布表或频数直方图
2.某地区对其所属中学八年级的英语教学情况进行期末质量调查，从中抽出的20个班级的英语期末平均成绩如下(单位：分)：
80
81
83
79
64
76
80
66
70
72
71
68
69
78
67
80
68
72
70
65
试列出频数分布表并绘出频数分布直方图．
【思路点拨】按照作直方图的四个步骤进行解答．解答时，应注意每个步骤中需要注意的事项．
【答案与解析】
解：(1)计算最大值与最小值的差：83－64＝19(分)．
(2)决定组距与组数：
若取组距为4分，则有≈5，所以组数为5．
(3)列频数分布表：
(4)画出频数分布直方图．如图所示．
【总结升华】按步骤进行操作．因选取的组距不同，所列的频数分布表及直方图也不一样，在统计时，数据不能出现重复或遗漏的现象．
【高清课堂：数据的描述369923
例1】
举一反三：
【变式】如图是某校九年级部分男生做俯卧撑的成绩（次数）进行整理后，分成五组，画出的频率分布直方图，已知从左到右前4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.25，0.30，第五小组的频数为25，若合格成绩为20,那么此次统计的样本容量和本次测试的合格率分别是（
）．
A．100，55%
B．100，80%
C．75，55%
D．75，80%
【答案】B.
类型三、统计图的选择
3.某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）
请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）在这次问卷调查中，一共抽查了
名学生；
（2）请将上面两幅统计图补充完整；
（3）在图1中，“踢毽”部分所对应的圆心角为
度；
（4）如果全校有1860名学生，请问全校学生中，最喜欢“球类”活动的学生约有多少人？
【思路点拨】找好扇形统计图和条形统计图之间的对应关系.
【答案】（1）200；
（2）如图；
（3）54；
（4）744
【解析】
解：（1）8040％=200（人）
（2）如图：
（3）360°15％=54°
（4）186040％=744（人）
【总结升华】条形统计图能反映出各部分数量的大小，而扇形统计图能反映出各部分占总体的比例大小，两者结合，则此类题容易求解.
举一反三：
【变式1】某校为了了解该校初二年级学生阅读课外书籍的情况，随机抽取了该年级的部分学生，对他们某月阅读课外书籍的情况进行了调查，并根据调查的结果绘制了如下的统计图表．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）这次共调查了学生多少人？E组人数在这次调查中所占的百分比是多少？
（2）求出表1中a的值，并补全图1；
（3）若该年级共有学生300人，请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于12小时的学生约有多少人．
【答案】
解：（1）这次共调查了学生50人，E组人数在这次调查中所占的百分比是％.
（2）表1中a的值是15，补全如图．
（3）54人．
【变式2】（2015?台州）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中m的值和“E”组对应的圆心角度数；
（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．
【答案】
解：（1）数据总数为：21÷21%=100，
第四组频数为：100﹣10﹣21﹣40﹣4=25，
频数分布直方图补充如下：
（2）m=40÷100×100=40；
“E”组对应的圆心角度数为：360°×=14.4°；
（3）3000×（25%+）=870（人）．
即估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人．
类型四、综合应用
4.低碳发展是今年深圳市政府工作报告提出的发展理念，近期，某区与某技术支持单位合作，组织策划了该区“低碳先锋行动”，开展低碳测量和排行活动，根据调查数据制作了频数分布直方图(每组均含最小值，不含有最大值)和扇形统计图，下图中从左到右各长方形的高度之比为2:8:9:7:3:1．
(1)已知碳排放值5≤x＜7(千克/平方米·月)的单位有16个，则此次行动共调查了________个单位；
(2)在图②中，碳排放值5≤x＜7(千克/平方米·月)部分的圆心角为_________度；
(3)小明把图②中碳排放值1≤x＜2的都看成1.5，碳排放值2≤x＜3的都看成2.5，依此类推，若每个被检查单位的建筑面积均为10000平方米，则按小明的办法，可估算碳排放值x≥4(千克/平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值约为________吨．
【思路点拨】
(1)先算出碳排放值在5≤x＜7范围内所对应的比例，再求一共调查了多少个单位；
(2)由碳排放值在5≤x＜7范围内所占的比例，可计算出圆心角度数；
(3)先计算碳排放值4≤x＜5的单位、碳排放值5≤x＜6的单位，碳排放值6≤x＜7的单位个数，再算出碳排放值x≥4(千克/平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值．
【答案与解析】
解：(1)16÷＝120(个)，故答案为120；
(2)4÷30×360°＝48°，故答案为48；
(3)碳排放值x≥4(千克／平方米·月)的被检单位是第4，5，6组，分别有28个、12个、4个单位，10000×(28×4.5+12×5.5+4×6.5)÷1000＝10×(126+66+26)＝2180(吨)．
所以，碳排放值x≥4(千克／平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值约为2180吨．
【总结升华】解答本题的关键是将直方图提供的信息转化为频数分布表．这种“转化”过程对解题大有帮助，值得学习和借鉴．
举一反三：
【变式】2011年5月9日至14日，德州市订共有35000余名学生参加中考体育测试，为了了解九年级男生立定跳远的成绩，从某校随机抽取了50名男生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格(分别用A、B、C、D表示)四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形图和统计表：
请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
(1)m＝________，n＝________，x＝________，y＝________；
(2)在扇形图中，C等级所对应的圆心角是________度；
(3)如果该校九年级共有500名男生参加了立定跳远测试，那么请你估计这些男生成绩等级达到优秀和良好的共有多少人?
【答案】
解：(1)20，8，0．4，0.16；
(2)57.6；
(3)由上表可知达到优秀和良好的共有19+20＝39(人)，500×(人)．
PAGE多边形和圆的初步认识
知识讲解
责编:康红梅
【学习目标】
1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；
2.
在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形；
3.
能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数；
4．在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力.
【要点梳理】
要点一、多边形及正多边形
1．
定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
要点诠释：
正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
2．相关概念：
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
要点诠释：
(1)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为．
(2)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
要点二、圆及扇形
1.
圆的定义
如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点诠释：
　
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.
　②圆是一条封闭曲线.
2.扇形
（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
如下图：
（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.
要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.
（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.
【典型例题】
类型一、多边形及正多边形
1．如图，（1）从正六边形的顶点A出发,可以画出
条对角线，分别用字母表示出来为
；（2）这些对角线把六边形分割成
个三角形.
【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可.
【答案】（1）3，线段AC、线段AD、线段AE；（2）4.
【总结升华】
(1)
n边形有n个顶点,n条边,n个内角.
(2)
过n边形的每一个顶点有(n－3)条对角线,n边形总共条对角线.
(3)
n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割（－2）个三角形.
举一反三：
【变式】（2016春?荣成市期中）从一个边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个边形分割成三角形个数是（　　）
A．3个
B．（﹣1）个
C．5个
D．（﹣2）个
【答案】D
2．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?
【答案与解析】
解：这个问题，我们可以用图来说明．
按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．
按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．
按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．
答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．
【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．
举一反三：
【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（
）.
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】C.
3．如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是?___________
__?.
【答案】
根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，
即可知：360÷30=12；
360÷60=6；
360÷90=4；
360÷120=3；
360÷180=2．
故n的所有可能的值是2，3，4，6，12．
类型二、圆
4．（2015?丰泽区校级质检）如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于　
　．
【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数．
【答案】80°．
【解析】
解：∵OM=ON，
∴∠N=∠M=50°，
∴∠MON=180°﹣∠M﹣∠N=80°，
故答案为80°．
【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点．
【变式】如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.
【答案】
类型三、扇形
5.
将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么
【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．
【答案与解析】
解：这三个圆心角的度数分别为：
；；.
圆的面积，
这三个圆心角的面积分别为：；；．
这三个圆心角的面积之比为：2：3：4．
发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．
【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n与360的比，
即：S圆＝n：360，
几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比．
6.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积为多少？
【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r就是这个正方形的边长，即r2＝边长2＝120平方厘米．
【答案与解析】
解：设扇形所在圆的半径为r，则，则：
扇形的面积为：（平方厘米）.
答：这个扇形的面积为16.75平方厘米．
【总结升华】此题在求面积时用到了整体代换，此外注意扇形的面积的计算方法．
E
A
B
C
F
D
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．数据处理过程中，以下顺序正确的是(
)
．
A．收集数据→整理数据→描述数据→分析数据
B．收集数据→整理数据→分析数据→描述数据
C．收集数据→分析数据→整理数据→描述数据
D．收集数据→分析数据→描述数据→整理数据
2．为了了解某市七年级2000名学生的身高，从中抽取500名学生进行测量．对这个问题，下列说法正确的是(
)
．
A．2000名学生是总体
B．每个学生是个体
C．抽取的500名学生是所抽的一个样本
D．每个学生的身高是个体
3．（2015?徐州校级模拟）在“5?18世界无烟日”来临之际，小明和他的同学为了解某街道大约有多少成年人吸烟，于是随机调查了该街道1000个成年人，结果有180个成年人吸烟．对于这个数据的收集与处理过程，下列说法正确的是（　　）
A．调查的方式是普查
B．该街道约有18%的成年人吸烟
C．该街道只有820个成年人不吸烟
D．样本是180个吸烟的成年人
4．下列调查中适合作抽样调查的有(
)
．
①了解一批炮弹的命中精度
②查全国中学生的上网情况
③审查某文章中的错别字
④考查某种农作物的长势
A．1
B．2个
C．3个
D．4个
5．若扇形统计图中有4组数据，其中前三组数据相应的圆心角度数分别为72°、108°、144°，则这四组数据的比为(
)
．
A．2:3:4:1
B．2:3:4:3
C．2:3:4:5
D．第四组数据不确定
6.
某纺织厂从10万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么估计该厂这10万件产品中合格品约为
(
)
．
A．9.5万件
B．9万件
C．9500件
D．5000件
7．如图所示是某造纸厂2009年中各季度的产量统计图，下列表述中不正确的是(
)
．
A．二季度的产量最低
B．从二季度到四季度产量在增长
C．三季度产量增幅最大
D．四季度产量增幅最大
8．（重庆）某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表：
已知该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有13人，那么该班获得奖励最多的一位同学可能获得的奖励为(
)
．
A．3项
B．4项
C．5项
D．6项
二、填空题
9．（2014?高淳县一模）我区有15所中学，其中九年级学生共有3000名．为了了解我区九年级学生的体重情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题要经历的几个重要步骤进行排序．
①收集数据；②设计调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据．
则正确的排序为　
　．（填序号）
10．某中学举行一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下表(分数均为整数，满分为100分)：请根据表中提供的信息，解答下列各题：
(1)参加这次演讲比赛的同学共有________人；
(2)已知成绩在91～100分的同学为优胜者，那么，优胜率为________．
11.检查一箱装有2500件包装食品的质量，按2％的抽查率抽查其中一部分的质量，在这个问题中，总体是________，样本是________．
12．为了了解某所初级中学学生对2008年6月1日起实施的“限塑令”是否知道，从该校1200名学生中，随机抽查了80名学生，结果显示有2名学生“不知道”，由此估计该校全体学生中对“限塑令”约有________名学生“不知道”．
13．某城市有120万人口，其中各民族所占比例如图所示，则该市少数民族的人口共有________万人．
14．(天津)为了解某新品种黄瓜的生长情况，抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如下图所示的条形图，观察（如图），可知共抽查了________株黄瓜，并可估计出这个新品种黄瓜平均每株结________根黄瓜．
三、解答题
15．
(长春)小明参加卖报纸的社会实践活动，他调查了一个报亭某天A、B、C三种报纸的销售量，并把调查结果绘制成如图所示条形统计图．
(1)求该天A、C报纸的销售量各占这三种报纸销售量之和的百分比．
(2)请绘制该天A、B、C三种报纸销售量的扇形统计图．
(3)小明准备按上述比例购进这三种报纸共100份，他应购进这三种报纸各多少份．
16.
为了了解某地区60～75岁的老年人的锻炼情况，利用公安机关户籍网，随机电话调查了该区60～75岁的300名老人平均每天的锻炼时间，整理得到下面的表格：
(1)男性老年人参加锻炼的人数有________人，女性老年人参加锻炼的人数有________人，老年人中，参加锻炼的占被调查者的________％；
(2)不参加锻炼的老年人中，男性大约是女性的几倍？
(3)根据此表数据分析，你对该区老年人的锻炼情况有什么建议吗？
(4)对本题的课题进行调查时，如果清晨到公园或市人民广场询问300名老年人，或在某居民小区调查10名老年人，你认为这样得到的数据，可以作为调查分析、得出结论的依据吗？请说明理由．
17.
（2015?自贡）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如下统计图表（图1～图3），请根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为　
　度；
（2）图2、3中的a=　
　，b=　
　；
（3）在60课时的总复习中，唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容？
【答案与解析】
一、选择题
1.
【答案】A；
【解析】数据处理的基本过程是：收集，整理，描述，分析数据．
2.
【答案】D；
【解析】统计调查中研究的对象是数据而不是人或物，注意不要把对象的载体当作了研究对象．
3.【答案】B．
【解析】根据题意，随机调查1000个成年人，是属于抽样调查，这1000个人中180人吸烟不代表本地区只有180个成年人吸烟，样本是1000个成年人，所以本地区约有18%的成年人吸烟是对的．
4.
【答案】C；
【解析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5.
【答案】A；
【解析】这四组数据的比为：72：108：144：（360-72-108-144）＝2：3：4：1.
6.
【答案】A；
【解析】10万件产品中合格品数为：.
7.
【答案】D；
【解析】从折线统计图可知，这个造纸厂第一季度至第二季度的产值呈下降趋势，第二至第四季度的产值呈上升趋势，第四季度产值最高，第二季度的产值最低．
8.
【答案】B；
【解析】获奖人次共计18+3+6+2+12+3=44人次，减去只获两项奖的13人计13×2=26人次，则剩下44-13×2=18人次．28-13=15人，要使“该班获得奖励最多的一位同学”获奖最多，则让剩下的15人中的一人获奖最多，其余15-1=14人获奖最少，只获一项奖励，则获奖最多的人获奖项目为18-14=4项．
二、填空题
9.【答案】②①④⑤③．
【解析】解决上述问题要经历的几个重要步骤进行排序为：
②设计调查问卷，①收集数据，④整理数据，⑤分析数据，③用样本估计总体．
10．【答案】
(1)20
(2)20％；
【解析】优胜率＝.
11.【答案】2500件包装食品的质量；所抽取的50件包装食品的质量；
12.【答案】30；
【解析】根据调查结果，可知样本中约有的学生“不知道”“限塑令”．用样本估计总体：1200×2.5％＝30(名)．
13.【答案】18；
【解析】120×(6％+4％+5％)＝18(万人)．
14.【答案】60，13；
【解析】由条形图可知总株数为20+15+15+10＝60．
三、解答题
15.【解析】
解：(1)，．
∴
该天A、C报纸的销售量各占这三种报纸销售量之和的20％和30％．
(2)A、B、C三种报纸销售量的扇形统计图如图所示．
(3)100×20％＝20(份)，100×50％＝50(份)，100×30％＝30(份)．
∴
小明应购进A种报纸20份，B种报纸50份，C种报纸30份．
16.【解析】
解：
(1)男性老年人参加锻炼的人数有43+20+7＝70(人)，女性参加锻炼的人数有83+28+5＝116(人)；老年人中，参加锻炼的占被调查者的．
(2)不参加锻炼的老年人中，其中男性有77人，女性有37人，故男性大约是女性的2倍．
(3)根据此表数据分析：不参加锻炼的老年人约占38％，可见该地区的老年人锻炼意识不强，尤其是男性老年人，只有半数的男性老年人参加锻炼，所以要增强该地区老年人“生命在于运动”的观念．
(4)不可以，因为，清晨到公园或市民广场的老年人都是注意锻炼的老年人，不能代表该区所有的老年入的锻炼情况，不具有广泛的代表性，即样本不具有代表性、广泛性，故这种调查方法得出的结论不符合实际．
17.【解析】
解：（1）（1﹣45%﹣5%﹣40%）×360°=36°；
（2）380×45%﹣67﹣44=60；
60﹣18﹣13﹣12﹣3=14；
（3）依题意，得45%×60=27，
答：唐老师应安排27课时复习“数与代数”内容．
故答案为：36，60，14．
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