沪科版九年级上册期末总复习知识点汇总 ——第21章二次函数与反比例函数

第21章
二次函数与反比例函数
二次函数
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的性质
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
（2）函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
3.二次函数
的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.
4.二次函数用配方法可化成：
的形式，其中.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④；⑤.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大。
②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：，
∴顶点是，对称轴是直线.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9.抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧，“左同右异”.
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点;
②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（0,0）
（轴）
(0,
)
(,0)
(,)
()
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
12.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0,
).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
（3）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
反比例函数
一、反比例函数
（1）函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
【注意】
1、定义的几点注意事项：①自变量的取值范围是：；②；③函数值．
2、两种主要的解析式变形：（是常数，）；（是常数，）
（2）“反比例函数”与“成反比例”之间的区别在于，前者是一种函数关系，而后者是一种比例关系，不一定是反比例函数，如说s与t2成反比例，可设为s=
(k≠0的常数)，但这显然不是反比例函数。
二、反比例函数y=
的性质
反比例函数的
性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，具体如下：
的符号
图象
象限
性质
一、三象限
在每一个象限内，随的增大而减小
二、四象限
在每一个象限内，随的增大而增大
【注意】叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”
三、反比例函数解析式的求法
反比例函数的解析式中，只有一个系数，确定了的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组、的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．
四、反比例函数的几何意义
1、过反比例函数，图象上一点，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点组成一个矩形，矩形的面积.
做一个坐标轴的垂线，连接垂足、原点所围成三角形的面积为
2、如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为
3、不同的两个反比例函数的图象不想交．在中，越大，图象离开原点越远．
4、利用的几何意义进行面积转化
如图，直线与反比例函数（）交于、两点，与、轴的交点分别为、，那么，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲，就比较低。
如图，过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则根据的几何意义可得，，而，所以，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。
5、的几何意义与双曲线的对称性
如图一，直线与反比例函数（）交于、两点，与、轴的交点分别为、，那么，此两种方法是绝大部分学生选用的方法。常规方法，费时、费力、而且还易计算出错。
如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长交双曲线于点，连接、则，，因此可以将的面积转化为梯形的面积
6、、两点为反比例函数图象上两点，分别过点，点作轴的垂线，垂足分别为、，则．
7、如图，矩形，交反比例函数图象于，两点，则
8、如图，直线与反比例函数图象交于，两点，分别过点、向轴，轴作垂线，垂足分别为，，连接，则①，且②
9、如图，反比例函数解析式为（），，……均为等腰直角三角形，则，,,……
五、反比例函数的应用
注意联系实际问题和用解决方程应用题的思路。
1、利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型，然后根据函数的性质求解．
2、应用反比例函数的知识解决实际问题的一般步骤：
(1)审题：弄清问题中的常量与变量，探究出问题中的等量关系；
(2)求反比例函数的关系式：设出问题中的两个变量，求出反比例函数关系式；
(3)求出问题答案．