(共43张PPT)
第1课时 集合的概念
必备知识·自主学习
导思
1.什么是元素、集合?
2.元素与集合的关系有哪些?
3.有哪些常见数集,分别用什么符号表示?
1.元素与集合
(1)集合
(2)元素
【思考】
(1)集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗?
提示:集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛,可以是数学中的数、点、代数式,也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.
(2)根据集合的定义思考:集合中的元素具有哪些特性?
提示:确定性、互异性和无序性.
2.元素与集合的关系
关系
文字叙述
记法
读法
属于
a是集合A的元素
_____
a属于A
不属于
a不是集合A的元素
____
___
______
a不属于A
a∈A
a?A
或
a
?
A
【思考】
元素与集合之间有第三种关系吗?
提示:对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a?A”这两种结果.
3.常见的数集及表示符号
数集
自然数集
正整
数集
整数集
有理
数集
实数集
符号
__
______
Z
__
R
N
N
或N+
Q
【思考】
N与N+(或N
)有何区别?
提示:N+(或N
)是所有正整数组成的集合,而N是由0和所有的正整数组成的集合,所以N比N+(或N
)多一个元素0.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素.
( )
(2)高中数学新教材苏教版第一册课本上的所有难题能组成集合.
( )
(3)由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有3个元素.
( )
提示:(1)×.集合中的元素是互不相同的.
(2)×.
“难题”没有严格的标准,所以不能构成集合.
(3)
×.由于集合中的元素具有互异性,故由两方程的根组成的集合有2个元素.
2.(教材二次开发:练习改编)下列关系中,正确的个数为
( )
①
∈R.②
?Q.③|-3|∈N.④-
∈Z.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.
是实数,
是无理数,|-3|=3是非负整数,-
=-3是整数,故①②③④均正确.
3.已知集合A含有三个元素0,1,x-2,则实数x不能取的值是________.?
【解析】根据集合中元素的互异性可知:
x-2≠0且x-2≠1,所以实数x不能取的值是2,3.
答案:2,3
关键能力·合作学习
类型一 元素与集合的相关概念(数学抽象)
【题组训练】
1.下列每组对象,能构成集合的是
( )
①中国最美的乡村;
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;
③不小于3的自然数;
④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.
A.③④
B.②③④
C.②③
D.②④
2.下列研究对象组成的总体:
①不超过50的正整数;②中国的大城市;③绝对值最小的实数;④sin
30°,sin
45°,cos
60°,1,其中为集合的是________.?
【解析】1.选B.①中“最美”标准不明确,不符合确定性,②③④中的元素标准明确,均可构成集合.
2.①不超过50的正整数的全体是确定的,能构成集合;
②中国的大城市是不确定的,不能构成集合;③绝对值最小的实数是0,确定,能构成集合;④由于sin
30°=cos
60°,不满足互异性,所以不能构成集合.
答案:①③
【解题策略】
判断一组对象能否组成集合的策略
(1)注意集合中元素的确定性.看是否给出一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素,若具有此“标准”,就可以组成集合;否则,不能组成集合.
(2)注意集合中元素的互异性、无序性.
【补偿训练】
下列对象能构成集合的是
( )
A.高一年级较胖的学生
B.鲜艳的颜色
C.很大的自然数
D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的点
【解析】选D.由于“较胖”“很大”和“鲜艳”没有一个确定的标准,因此A,B,C不能构成集合;
D中平面内到△ABC三个顶点距离相等的点是确定的,能构成集合.
类型二 元素与集合的关系(逻辑推理)
【题组训练】
1.由形如x=3k+1,k∈Z的数组成集合A,则下列表示正确的是
( )
A.-1∈A
B.-11∈A
C.15∈A
D.32∈A
2.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,那么a为
( )
A.2
B.2或4
C.4
D.0
3.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1?A,2∈A,则
( )
A.a>-4
B.a≤-2
C.-4
D.-4【解析】1.选B.由题干知集合A中的数为3的整数倍加1,选项A,C,D均不符合题意.
因为-11=3×(-4)+1,所以-11∈A.
2.选B.集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,a=2∈A,6-a=4∈A,所以a=2,或者a=4∈A,6-a=2∈A,所以a=4.
综上所述,a=2或4.
3.选D.因为1?A,2∈A,
所以
即-4【解题策略】
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法.
①使用前提:集合中的元素是直接给出的;
②判断方法:首先明确集合由哪些元素构成,然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法.
①使用前提:对于某些不便直接表示的集合;
②判断方法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
【补偿训练】
1.用符号“∈”或“?”填空.
-
________R;-3.14________Q;?
-1________N;3-2________Z.?
【解析】根据常见数集的定义和元素与集合间的表示方法可知,
-
∈R;-3.14∈Q;-1?N;3-2?Z.
答案:∈ ∈ ? ?
2.由不超过5的实数组成集合A,a=
则
( )
A.a∈A
B.a2∈A
C.
?A
D.a+1?A
【解析】选A.a=
=4<5,
所以a∈A.
a+1<
+1=5,所以a+1∈A,
a2=(
)2+2
>5,
所以a2?A,
所以
∈A.
类型三 集合中元素的特性的应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】(2020·滁州高一检测)设A为实数集,且满足条件:若a∈A,则
∈A(a≠1).
求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素.
(2)集合A不可能是单元素集.
【思路导引】(1)依据a∈A,则
∈A(a≠1),求集合A中的元素,同时注意集合中元素的互异性.
(2)转化为判断a=
是否有实数解.
【证明】(1)若a∈A,则
∈A.
又因为2∈A,所以
=-1∈A.
因为-1∈A,所以
∈A.
因为
∈A,所以
=2∈A.
根据集合中元素的互异性可知,A中另外两个元素为-1,
,结论得证.
(2)若A为单元素集,则a=
,
即a2-a+1=0,方程无实数解.
所以a≠
,所以集合A不可能是单元素集.
【变式探究】
本例前提条件不变,求证以下两个问题:
(1)若3∈A,则A中必还有另外两个元素.
(2)若a∈A,则1-
∈A.
【证明】(1)因为3∈A,所以
∈A,
所以
∈A,所以
=3∈A,
根据集合中元素的互异性可知,A中另外两个元素为-
,
,结论得证.
(2)因为a∈A,所以
∈A.
因为
【解题策略】
根据集合中元素的特性求值的三个步骤
【跟踪训练】
1.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这两个元素,则下列说法中正确的是
( )
A.a可取全体实数
B.a可取除去0以外的所有实数
C.a可取除去3以外的所有实数
D.a可取除去0和3以外的所有实数
【解析】选D.因为2a∈A,a2-a∈A,所以2a≠a2-a.
所以a(a-3)≠0.所以a≠0且a≠3.
2.若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M,则M中元素的个数
为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.方程x2-5x+6=0的解为2和3,方程x2-x-2=0的解为-1和2,所以集合M
是由-1,2,3这三个元素组成的集合.
【补偿训练】
已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,
(1)若-3∈A,试求实数a的值.
(2)若a∈A,试求实数a的值.
【解析】(1)因为-3∈A,
所以a-3=-3或2a-1=-3.若a-3=-3,则a=0.
此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意.
若2a-1=-3,则a=-1.
此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
(2)因为a∈A,所以a-3=a或2a-1=a.
当a-3=a时,有-3=0,不成立.
当2a-1=a时,有a=1,此时A中有两个元素-2,1,符合题意.综上知a=1.
课堂检测·素养达标
1.下列各组对象不能构成一个集合的是
( )
A.不超过20的非负实数
B.方程x2-9=0在实数范围内的解
C.
的近似值
D.某校身高超过170厘米的同学
【解析】选C.A项,不超过20的非负实数,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.B项,方程x2-9=0在实数范围内的解,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.C项,
的近似值,元素不具有确定性,不能构成一个集合.D项,某校身高超过170厘米的同学,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.
2.设M是所有偶数组成的集合,则
( )
A.3∈M
B.1∈M
C.2∈M
D.0?M
【解析】选C.因为2是偶数,所以2是集合M中的元素,即2∈M.
3.英文短语“open
the
door
to...”中的字母构成一个集合,该集合的元素个
数是
( )
A.7
B.8
C.9
D.10
【解析】选B.根据集合中元素的互异性可知,“open
the
door
to...”中的不
同字母共有“o,p,e,n,t,h,d,r”8个,故该集合的元素个数为8.
4.(教材二次开发:习题改编)下列表述正确的是________.(填序号)?
(1)0∈N.(2)
∈Z.(3)
∈Z.(4)π?Q.
【解析】因为N、Z、Q分别表示自然数集、整数集、有理数集.0是自然数,
不是整数,
不是整数,π不是有理数,所以0∈N和π?Q正确.
答案:(1),(4)
5.设集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件.
(2)若-2∈A,求实数x.
【解析】(1)由集合中元素的互异性可知,x≠3,且x≠x2-2x,x2-2x≠3.解之得
x≠-1且x≠0,且x≠3.
(2)因为-2∈A,所以x=-2或x2-2x=-2.
由于x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以x=-2.(共48张PPT)
第2课时 集合的表示
必备知识·自主学习
导思
1.常见的表示集合的方法有哪些?
2.用描述法表示集合要注意哪些问题?
3.两个集合相等的含义是什么?
4.有限集、无限集和空集的含义是什么?
1.列举法
(1)方法:将集合的元素_________出来,并置于花括号_________内.?
(2)注意事项:①元素之间要用_____分隔;②列举时与元素的_____无关.
一一列举
“{
}”
逗号
次序
【思考】
一一列举元素时,需要考虑元素的顺序吗?
提示:用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.
例如:{a,b}与{b,a}表示同一个集合.
2.描述法
(1)形式:{x|p(x)},其中x为集合的代表元素,p(x)指元素x具有的性质.
(2)本质:它是集合符号语言的具体体现,可将集合中元素的规律与性质清楚地表示出来.
【思考】
{(x,y)|y=x2+2}能否写为{x|y=x2+2}或{y|y=x2+2}呢?
提示:不能,(x,y)表示集合的元素是有序实数对或点,而x或y则表示集合的元素是数,所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.
3.Venn图法
(1)形式:画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.
(2)作用:直观地表示集合.
4.集合相等
(1)定义:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等.
(2)本质:A与B相等,即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素.
5.集合的分类
(1)含有_______元素的集合称为有限集;
(2)含有_______元素的集合称为无限集;
(3)_____________的集合称为空集,记作?.
有限个
无限个
不含任何元素
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.
( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.
( )
(3)集合{x|x2=1}与集合{-1,1}相等.
( )
(4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}相等.
( )
提示:(1)×.由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,2,3}.
(2)×.集合{(1,2)}中的元素是(1,2).
(3)√.由x2=1求得x=-1或x=1,所以{x|x2=1}与{-1,1}相等.
(4)√.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均表示大于3的实数,两个集合相等.
2.给出下列集合,
(1){0}.(2){x|x>7,且x<1}.
(3){x|x>4}.(4){x|x2-2=0,x∈Z}.
其中空集的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.满足x>7且x<1的实数不存在,
故{x|x>7,且x<1}=?.
因为x2-2=0的解为±?,不是整数,
所以{x|x2-2=0,x∈Z}=?.
另外两个集合显然不是空集.故空集的个数为2.
3.(教材二次开发:习题改编)由大于-1小于5的自然数组成的集合用列举法表示
为________,用描述法表示为________.?
【解析】大于-1小于5的自然数有0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为
{0,1,2,3,4},
用描述法表示可用x表示代表元素,其满足的条件是-1示集合为{x|-1答案:{0,1,2,3,4} {x|-1关键能力·合作学习
类型一 列举法表示集合(数学抽象)
【题组训练】
1.(2020·长春高一检测)若2∈
,则x的值为________.?
2.(2020·常州高一检测)设M={m,2},N={m+2,2m},且M=N,则实数m的值是____.?
3.用列举法表示下列集合.
(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合.
(2)不大于10的非负偶数组成的集合.
(3)方程x3=x的实数解组成的集合.
(4)一次函数y=x-2与y=-x的图象的交点组成的集合.
【解析】1.因为2∈{1,x2+x},所以2=x2+x,
解得x=1或-2,经检验满足互异性,所以x=1或-2.
答案:1或-2
2.因为M={m,2},N={m+2,2m},且M=N,
所以
解得m=0,所以实数m的值为0.
答案:0
3.(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合是{《三国演义》,《西游记》,《水浒传》,《红楼梦》}.
(2)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.
(3)方程x3=x的实数解是x=0或x=1或x=-1,所以方程的实数解组成的集合为{0,1,-1}.
(4)解方程组
得
即交点是(1,-1),故两函数图象的交点组成的集合是{(1,-1)}.
【解题策略】
1.用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素.
(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次.
(3)用花括号括起来.
2.在用列举法表示集合时的关注点
(1)明确集合中的元素是什么.如T3(4)是点集,而非数集,集合的所有元素用有序数对表示,并用“{ }”括起来,元素间用分隔号“,”.
(2)元素不重复,元素无顺序.如{1,1,2}为错误表示.又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合.
【补偿训练】
用列举法表示下列集合:
(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解组成的集合.
(2)
“Welcome”中的所有字母构成的集合.
(3)
2022年冬奥会的主办城市组成的集合.
【解析】(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解为1或2,因此可以用列举法表示为{1,2}.
(2)由于“Welcome”中包含的字母有W,e,l,c,o,m,共6个元素,因此可以用列举法表示为{W,e,l,c,o,m}.
(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市,因此可以用列举法表示为{北京,张家口}.
类型二 描述法表示集合(数学抽象)
【典例】1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断不正确的是
( )
A.x1·x2∈A
B.x2·x3∈B
C.x1+x2∈B
D.x1+x2+x3∈A
3.用描述法表示下列集合:
(1)
.
(2)被5除余1的正整数组成的集合.
(3)坐标平面内坐标轴上的点集.
【思路导引】
1.首先确定x和y的取值范围,其次根据x∈Z,y∈Z逐一列举,确定A中元素的个数.
2.首先确定集合A表示奇数集,集合B表示偶数集,
其次根据奇数、偶数之间相加和相乘的运算结果判断.
3.首先确定集合中元素的共同特征,其次选择合适的等式和不等式表示.
【解析】1.选D.由题意得,-1≤x≤1,-1≤y≤1,x∈Z,y∈Z,A={(0,1),(1,0),(-1,0),(0,-1)},所以A中元素的个数为4.
2.选D.因为集合A表示奇数集,集合B表示偶数集,所以x1,x2是奇数,x3是偶数,
所以x1+x2+x3为偶数,故D错误.
3.(1)集合
用描述法表示为
(2)根据被除数=商×除数+余数,故此集合可表示为{x|x=5n+1,n∈N}.
(3)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0,故可表示
为
【解题策略】
1.描述法表示集合的两个步骤
2.用描述法表示集合应注意的四点
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x|x<1,x∈R}不能写成{x<1,x∈R}.
(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,
{x|x=2k,x∈Z},k∈Z,这种表达方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号内,即{x|x=2k,x∈Z,k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.
(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解组成的集合可表示为{x|x2-2x+1=0,x∈R},也可写成{x|x2-2x+1=0}.
【跟踪训练】
1.已知集合M={x|x=7n+2,n∈N},则2
018______M,2
019________M.(填“∈”或“?”)?
【解析】因为2
018=7×288+2,2
019=7×288+3,
所以2
018∈M,2
019?M.
答案:∈ ?
2.用描述法表示下列集合:
(1)小于10的非负整数构成的集合;
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合;
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合;
(4)集合{1,3,5,7,…}.
【解析】(1)小于10的所有非负整数构成的集合,用描述法可表示为{x|0≤x<10,x∈Z};
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合,用描述法可表示为{x||x|>3};
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合,用描述法可表示为{(x,y)|xy<0};
(4){1,3,5,7,…}用描述法可表示为{x|x=2k-1,k∈N+}.
类型三 集合表示方法的综合应用(数学抽象、数学运算)
角度1 用适当的方法表示集合?
【典例】用适当的方法表示下列集合:
(1)函数y=x2-2x的图象与x轴的公共点的集合;
(2)不等式2x-3<5的解组成的集合;
(3)3和4的正的公倍数构成的集合;
(4)大于4的奇数构成的集合.
【思路导引】根据集合中元素的个数和特征,选择恰当的方法表示集合.
【解析】(1)列举法:{(0,0),(2,0)}.
(2)不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}.
(3)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x=12n,n∈N
}.
(4)用描述法表示为D={x|x=2k+1,k≥2,k∈N}或D={x|x=2k+3,k∈N
}.
角度2 方程、不等式等知识与集合交汇?
【典例】(2020·朔州高一检测)已知集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
【思路导引】将问题转化为方程kx2-8x+16=0只有一个实数根,求实数k的值.应注意分k=0和k≠0两种情况讨论.
【解析】(1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,A={2};
(2)当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0只有一个实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4}.
综上所述,k=0时,集合A={2};k=1时,集合A={4}.
【变式探究】
本例的条件“只有一个元素”若改为“有两个元素”其他条件不变,求实数k的
值组成的集合.
【解析】由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不等实根.
故
即k<1且k≠0.
所以实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}.
【解题策略】
1.解答集合表示方法综合题的策略
(1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.
(2)若已知集合是用列举法给出的,整体把握元素的共同特征是解题的关键.
2.方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理
(1)准确理解集合中的元素,明确元素的特征性质.
(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用.
【题组训练】
1.已知集合{b|b∈R}={x∈R|ax2-4x+1=0,a∈R},其中a,b为常数,则a+b=
( )
【解析】选D.因为集合{b|b∈R}为单元素集合,所以集合{x∈R|ax2-4x+1=0,a∈R}也只有一个元素b,所以方程ax2-4x+1=0只有一个解,
①当a=0时,方程只有一个解x=
,
即b=
,满足题意,此时a+b=0+
=
;
②当a≠0时,则Δ=42-4a=0,解得a=4,
方程只有一个解x=
,即b=
,满足题意,
此时a+b=4+
=
.
综上所述,a+b=
或
.
2.集合{(x,y)|
}可用列举法表示为________.?
【解析】解方程组
可得
所以{(x,y)|
={(2,3)}.
答案:{(2,3)}
3.用适当的方法表示下列集合.
(1)36与60的公约数组成的集合.
(2)在自然数集内,小于1
000的奇数构成的集合.
(3)不等式x-2>6的解的集合.
(4)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合.
【解析】(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}.
(2){x|x=2n+1且x<1
000,n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1,2,3,4,5,6}.
课堂检测·素养达标
1.已知集合A={x|-1≤x<4,x∈Z},则集合A中元素的个数为
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.因为-1≤x<4,x∈Z,所以x=-1,0,1,2,3,所以集合A={-1,0,1,2,3}
共有5个元素.
2.集合{(x,y)|y=2x-1}表示
( )
A.方程y=2x-1
B.点(x,y)
C.平面直角坐标系中的点组成的集合
D.函数y=2x-1图象上的点组成的集合
【解析】选D.集合{(x,y)|y=2x-1}的代表元素是(x,y),满足的关系式为y=2x-1,
因此集合表示的是函数y=2x-1图象上的点组成的集合.
3.已知a∈
,则实数a的值为________.?
【解析】由题意得,a=1或a=
,
当a=1时,
=1不满足集合中元素的互异性;
当a=
时,a=0或a=1,
经检验,a=0符合题意,综上可知,a=0.
答案:0
4.函数y=
的自变量的值组成的集合为________.?
【解析】函数y=
的自变量应满足x≠1,组成的集合用描述法可表示为
{x∈R|x≠1}.
答案:{x∈R|x≠1}
5.(教材二次开发:习题改编)设x,y为实数,已知A={x,y},B={0,x2},且A=B,求x,y的值.
【解析】因为集合A,B相等,则x=0或y=0.
(1)当x=0时,x2=0,不满足集合中元素的互异性,故舍去.
(2)当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1.
由(1)知x=0应舍去.
综上知:x=1,y=0.(共45张PPT)
第1课时 子集、真子集
必备知识·自主学习
导思
1.子集、真子集是如何定义的?分别用什么符号表示?
2.如何用Venn图表示集合之间的关系?
1.子集
【思考】
符号“∈”与“?”有什么区别?
提示:①“∈”是表示元素与集合之间的关系,比如1∈N,-1?N.
②“?”是表示集合与集合之间的关系,比如N?R,{1,2,3}?{3,2,1}.
③“∈”的左边是元素,右边是集合,而“?”的两边均为集合.
2.真子集
本质:集合之间的关系是对集合深入认识的开始,同时也是集合在整个高中学习应用的基础和关键,是理解和掌握集合知识的重要部分.
应用:①用数学语言表达集合之间的关系.②求参数的值或范围.
【思考】
集合M,N是两个至少含有一个元素的集合,试画图说明这两个集合关系有哪几种?
提示:有以下五种关系
1
2
3
4
5
3.集合间关系的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集,即____.
(2)对于空集,我们规定??A,即空集是任何集合的子集.
A?A
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)任何一个集合都有子集.
( )
(2)空集是任何集合的真子集.
( )
(3)A?B的含义是A
B或A=B.
( )
提示:(1)√.任何一个集合都是其本身的子集.
(2)×.空集是任何非空集合的真子集.
(3)√.若A是B的子集,则说明这两个集合的关系有以下两种可能:A是B的真子集或A与B相等.
2.(教材二次开发:练习改编)用适当的符号填空:
(1)2________
{x|x2=2x}.?
(2){3,4,8}________
Z.?
(3){x|x是平行四边形}______{x|x是中心对称图形}.?
(4){x|x<1}__________{x|x<2}.?
【解析】(1)因为{x|x2=2x}={0,2},所以2∈{x|x2=2x};
(2)因为3,4,8都是整数,所以{3,4,8}
Z;
(3)因为平行四边形是中心对称图形,所以{x|x是平行四边形}
{x|x是中心对
称图形};
(4)显然对于任意x0∈{x|x<1},必有x0∈{x|x<2},
且1.5∈{x|x<2},但1.5?{x|x<1},
所以{x|x<1}
{x|x<2}.
答案:(1)∈ (2)
(3)
(4)
3.已知集合A={-1,0,1},则含有元素0的A的真子集为______________.?
【解析】根据题意,含有元素0的A的真子集为{0},{0,1},{0,-1}.
答案:{0},{0,1},{0,-1}
关键能力·合作学习
类型一 集合的子集、真子集问题(数学抽象)
【题组训练】
1.(2020·南通高一检测)集合A={x|-12.(2020·台州高一检测)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A=________.若集合B满足{0}
B?A,则集合B=________.?
3.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
【解析】1.因为集合A={x|-1所以集合A={x|-1答案:3
2.因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,
所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},
因为集合B满足{0}
B?A,所以集合B={-1,0}.
答案:{-1,0} {-1,0}
3.因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},
所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.
所以A的子集有:?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
【解题策略】
1.求集合子集、真子集的步骤
2.求元素个数有限的集合的子集的两个关注点
(1)要注意两个特殊的子集:?和自身.
(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.
【补偿训练】
设A={x|(x2-16)(x2+5x+4)=0},写出集合A的子集,并指出其中哪些是它的真子集.
【解析】由(x2-16)(x2+5x+4)=0,得(x-4)(x+1)(x+4)2=0,则方程的根为x=-4或x=-1或x=4.
故集合A={-4,-1,4},
由0个元素构成的子集为:?.
由1个元素构成的子集为:{-4},{-1},{4}.
由2个元素构成的子集为:{-4,-1},{-4,4},{-1,4}.
由3个元素构成的子集为:{-4,-1,4}.
因此集合A的子集为:?,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4},{-4,-1,4}.
真子集为:?,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4}.
【拓展延伸】与子集、真子集个数有关的3个结论
(1)假设集合A中含有n个元素,则有:A的子集的个数为2n个;
(2)A的真子集的个数为(2n-1)个.
(3)A的非空真子集的个数为(2n-2)个.
【拓展训练】
1.设含有4个元素的集合的全部子集数为S,其中由2个元素组成的子集数为T,
则
的值为________.?
【解析】含有4个元素的集合的全部子集数S=24=16,其中由2个元素组成的子集
数T=6,则
=
=
.
答案:
2.设集合A={x∈Z|-1≤x+1≤6},求A的非空真子集的个数.
【解析】化简集合A得A={x∈Z|-2≤x≤5}.
因为x∈Z,所以A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
即A中含有8个元素,
所以A的非空真子集个数为28-2=254(个).
类型二 集合间关系的判断(逻辑推理)
【题组训练】
1.(2020·南通高一检测)如果集合S={x|x=3n+1,n∈N},T={x|x=3k-2,k∈Z},则
( )
A.S
T
B.T?S
C.S=T
D.S∈T
2.(2020·太原高一检测)在下列各组中的集合M与N中,使M=N的是
( )
A.M={(1,-3)},N={(-3,1)}
B.M=?,N={0}
C.M={y|y=x2+1,x∈R},N={(x,y)|y=x2+1,x∈R}
D.M={y|y=x2+1,x∈R},N={t|t=(y-1)2+1,y∈R}
3.判断下列两个集合之间的关系:
(1)P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=4n,n∈Z}.
(2)P={x|x-3>0},Q={x|2x-5≥0}.
(3)P={x|x2-x=0},Q=
.
【思路导引】1.根据子集、真子集的定义判断.
2.先明确集合中元素是数、点还是其他,然后判断两个集合的元素是否一样.
3.先分析或计算判断各组中两个集合是由哪些元素构成的,然后确定两个集合的关系.
【解析】1.选A.对任意t∈S,存在n0∈N,使3n0+1=t,
故t=3n0+1=3(n0+1)-2∈T,故S?T;由-5∈T,但-5?S,故S?T.
2.选D.在A中,M和N表示点集,因为(1,-3)和(-3,1)是不同的点,所以M≠N.
在B中,M是空集,N是单元素集合,所以M≠N.
在C中,M是数集,N是点集,所以M≠N.
在D中,M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={t|t=(y-1)2+1,y∈R}={t|t≥1},所以M=N.
3.(1)因为P是偶数集,Q是4的倍数集,所以Q
P;
(2)P={x|x-3>0}={x|x>3},Q={x|2x-5≥0}=
.所以P
Q.
(3)P={x|x2-x=0}={0,1}.在Q中,当n为奇数时,x=
=0,当n为偶数时,
x=
=1,所以Q={0,1},所以P=Q.
【解题策略】
1.集合间基本关系判定的两种方法和一个关键
2.证明集合相等的两种方法
(1)用两个集合相等的定义,证明两个集合
A,B中的元素全部相同,即可证明A=B.
(2)证明A?B,同时B?A
,推出A=B.
【补偿训练】
判断下列各组中集合之间的关系:
(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数}.
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}.
(3)
【解析】(1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A
B.
(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,所以
A
B.
(3)方法一:对于集合M,其组成元素是
,分子部分表示所有的整数;对于集合N,其组成元素是
,分子部分表示所有的奇数.由真子集的概念知,N
M.
方法二:用列举法表示集合如下:
所以N
M.
类型三 由集合间的关系求参数的值或取值范围(逻辑推理)
【典例】(2020·临沂高一检测)已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,求实数a的取值范围.
四步
内容
理解
题意
条件:A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},B?A
结论:求实数a的取值范围
【解题策略】
1.由集合之间的包含关系求参数的两类问题
(1)若集合中的元素是一一列举的,依据集合之间的关系,可转化为解方程(组)求解,此时要注意集合中元素的互异性.
(2)若集合中的元素由不等式(组)限制,常借助于数轴转化为不等式(组)求解,此时要注意端点值能否取到.
2.由集合之间的包含关系求参数的一个关注点
空集是任何集合的子集,因此在解A?B(B≠?)的含参数的问题时,要注意讨论A=?和A≠?两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.
【跟踪训练】
已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},若B?A,求实数m的取值范围.
【解题指南】分B=?和B≠?两种情况讨论,B≠?时根据B?A列不等式组求m的取值范围.
【解析】(1)当B=?时,有m-6>2m-1,
则m<-5,此时B?A成立.
(2)当B≠?时,B?A,此时满足
解得
不等式组解集为?.
由(1)(2)知,实数m的取值范围是{m|m<-5}.
课堂检测·素养达标
1.下列集合中与{1,9}是同一集合的是
( )
A.{{1},{9}}
B.{(1,9)}
C.{(9,1)}
D.{9,1}
【解析】选D.与{1,9}是同一集合的是{9,1}.故选D.
2.设A,B是集合I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A?B的B的个数是
( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】选B.满足条件的集合B可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},所
以满足A?B的B的个数是4.
3.若集合M={x|x≤6},a=2
,则下面结论中正确的是
( )
A.{a}
M
B.a
M
C.{a}∈M
D.a?M
【解析】选A.由集合M={x|x≤6},a=2
,
知:在A中,{a}
M,故A正确;
在B中,a∈M,故B错误;
在C中,{a}
M,故C错误;
在D中,a∈M,故D错误.
4.设集合A={x|x2+x-1=0},B={x|x2-x+1=0},则集合A,B之间的关系是________.?
【解析】由已知A=
,B=?,故B
A.
答案:B
A
5.(教材二次开发:习题改编)已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.
(1)若A
B,求a的取值范围.
(2)若B?A,求a的取值范围.
【解析】(1)若A
B,由图可知,a>2.
(2)若B?A,由图可知,1≤a≤2.(共31张PPT)
第2课时 补集、全集
必备知识·自主学习
1.补集
(1)定义
导思
1.补集是由什么元素构成的?用什么符号表示?
2.全集的含义是什么?
(2)本质:补集既是集合之间的一种关系,也是集合的基本运算之一.
(3)作用:①依据定义求集合的补集;
②求参数的值或范围;
③补集思想的应用.
2.全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的_____元素,那么就称这个集合为全
集,全集通常记作U.
所有
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)同一个集合在不同的全集中补集不同.
( )
(2)不同集合在同一个全集中的补集也不同.
( )
(3)若x∈U,则x∈A或x∈?UA,二者必居其一.
( )
提示:(1)√.补集是相对于全集而言的,全集不同补集就不同.
(2)√.结合Venn图可知,此说法正确.
(3)√.根据补集的定义可知,此说法正确.
2.设集合U={1,2,3,4,5,6},B={3,4,5},则?UB=________.?
【解析】根据补集的定义?UB={x|x∈U且?B}={1,2,6}.
答案:{1,2,6}
3.(教材二次开发:练习改编)已知U=R,A=
,则?UA=__________.?
【解析】因为A=
,所有?UA=
.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 补集的运算(数学运算、直观想象)
【题组训练】
1.(2020·宿迁高一检测)设集合U={-1,0,1,2,4},集合?UM={-1,1},则集合M=
( )
A.{0,2}
B.{0,4}
C.{2,4}
D.{0,2,4}
2.若全集U=
,则集合A={x∈R|-2≤x≤0}的补集?UA为( )
3.已知全集U,集合A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6},求集合B.
【解析】1.选D.因为?UM={-1,1},U={-1,0,1,2,4},所以M={0,2,4}.
2.选C.借助数轴易得?UA=
3.方法一:A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},
所以U={1,2,3,4,5,6,7}.
又?UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
方法二:借助Venn图,如图所示,
由图可知B={2,3,5,7}.
【解题策略】
1.求补集的常用方法
(1)列举求解.适用于全集U和集合A可以列举的简单集合.
(2)画数轴求解.适用于全集U和集合A是不等式的解集.
(3)利用Venn图求解.
2.补集是以全集为前提建立的,即A一定是U的子集,?UA也一定是U的子集,求解有关问题时,一定要充分利用这种包含关系.
【补偿训练】
已知全集为R,集合A={x|x<1,或x≥5},则?RA=________.?
【解析】结合数轴可得?RA={x|1≤x<5}.
答案:{x|1≤x<5}.
类型二 已知补集求参数的值或范围问题(数学运算、直观想象)
【典例】1.已知全集U=R,不等式组
的解集为A,?UA=
则a=______,b=______.?
2.已知全集U={|a-1|,(a-2)(a-1),4,6}.
(1)若?U(?UB)={0,1},求实数a的值;
(2)若?UA={3,4},求实数a的值.
【思路导引】1.由?UA可求A,与解不等式组求出的A对比可求出a,b的值;
2.(1)根据?U(?UB)=B且B?U求a的值;
(2)
根据?UA?U,列方程求a,最后要注意检验.
【解析】1.由题意得
A=
因为?UA=
所以A=
,所以
解得a=2,b=3.
答案:2 3
2.(1)因为?U(?UB)={0,1},所以B={0,1},且B?U,
所以
得a无解;
或
得a=2.所以a=2.
(2)因为?UA={3,4},又?UA?U,所以|a-1|=3或(a-2)(a-1)=3,所以a=4或a=-2
或a=
.
经验证,当a=4时不合题意,舍去.
所以所求实数a的值为-2或
.
【变式探究】本例2的条件改为“设全集U={3,6,a2-a-1},A={|3-2a
|,6},
?UA={5}”,求实数a的值.
【解析】因为?UA={5},所以5∈U但5?A,
所以a2-a-1=5,解得a=3或a=-2.
当a=3时,|3-2a|=3≠5,
此时U={3,5,6},A={3,6},满足?UA={5};
当a=-2时,|3-2a|=7≠5,
此时U={3,5,6},A={6,7},不满足A?U.
综上可知,实数a的值为3.
【解题策略】由集合补集求参数的方法
【跟踪训练】
1.设全集U={1,3,5,7},集合M={1,a-5},M?U,?UM={5,7},则实数a=
( )
A.3
B.5
C.7
D.8
【解析】选D.由题知a-5=3,a=8.
2.已知全集U={x|-1【解析】(1)当A=?时,显然?UA≠?,此时a≤1,
(2)当A≠?时,若?UA≠?,则1综上知,实数a的取值范围是a≤9.
【补偿训练】
设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA={1,2},则实数m=________.?
【解析】因为U={0,1,2,3},?UA={1,2}.
所以A={x|x2+mx=0}={0,3}.所以0,3是方程x2+mx=0的两根,所以0+3=-m,即m=-3.
答案:-3
类型三 补集与子集的综合应用(数学运算、直观想象)
【典例】已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1}且A??UB,求实数a的取值范围.
四步
内容
理解
题意
条件:①A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1}
②A??UB.
结论:求实数a的取值范围
思路
探求
求?UB,然后根据A??UB列不等式(组)求实数a的取值范围.
四步
内容
书写
表达
若B=?,①则a+1>2a-1,所以a<2.
此时?UB=R,所以A??UB;
若B≠?,则a+1≤2a-1,即a≥2,
此时?UB={x|x2a-1},
由于A??UB,如图,
②则a+1>5所以a>4,
所以实数a的取值范围为a<2或a>4.
注意书写的规范性:
①注意空集是任意集合的子集;
②画数轴借助图形分析集合之间的关系.
题后
反思
解答此类问题的关键是准确掌握补集的含义,并根据集合之间的关系列出方程或不等式(组)
【解题策略】
解决此类问题的注意点
(1)空集作为特殊情况,不能忽略;
(2)数形结合方法更加直观易懂,尽量使用;
(3)端点值能否取到,应注意分析.
【跟踪训练】
设全集U=R,集合A={x|x≥-3},B={x|-3【解析】因为A={x|x≥-3},所以?UA={x|x<-3}.
又因为B={x|-3所以?UB={x|x≤-3,或x>2}.
画数轴如图
所以?UA
?UB.
【补偿训练】
已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B=
.若全集U=R,且A?（?UB）,则a
的取值范围是________.?
【解析】因为A={x|-4≤x≤-2},B=
,U=R,所以?UB=
.要使
A?(?UB),只需a>-2(如图所示).
答案:{a|a>-2}
课堂检测·素养达标
1.已知集合A={x|3≤x≤7,x∈N},B={x|4( )
A.{3}
B.{3,4}
C.{3,7}
D.{3,4,7}
【解析】选B.A={3,4,5,6,7},B={5,6,7},所以?AB={3,4}.
2.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x<0}的补集?UA=
( )
A.
B.
C.{x|-1D.{x|0【解析】选A.由集合补集的定义可知?UA={x|x<-1或x≥0}.
3.已知全集U=R,A={x|1≤x【解析】因为?UA={x|x<1或x≥2},
所以A={x|1≤x<2},所以b=2.
答案:2
4.(教材二次开发:例题改编)设全集U=R,不等式组
的解集为A,试求A
及?UA,并把它们分别表示在数轴上.
【解析】A=
={x|-1≤x≤2},所以?UA={x|x<-1或x>2},在数轴
上分别表示如图.(共63张PPT)
1.3 交集、并集
必备知识·自主学习
导思
1.两个集合的交集是由哪些元素构成的?用什么符号表示两个集合的交集?
2.两个集合的并集是由哪些元素构成的?用什么符号表示两个集合的并集?
1.交集
(1)定义
(2)本质:由A、B两个集合确定一个新的集合,此集合是A、B中的公共元素组成的集合,这个集合中的元素同时具有集合A和集合B的属性.
(3)作用:①依据定义求两个集合的交集;②求参数的值或范围.
2.并集
(1)定义
(2)本质:由A、B两个集合确定一个新的集合,此集合是所有A、B中的元素组成的集合,这个集合中的元素至少具有集合A或集合B的属性之一.
(3)作用:①依据定义求两个集合的并集;②求参数的值或范围.
【思考】
“x∈A或x∈B”包含哪几种情况?如何用Venn图表示?
提示:“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况:x∈A,但x?B;x∈B,但x?A;x∈A,且x∈B.用Venn图表示如图所示.
3.交集、并集的性质
(1)A∩B=B∩A,A∩B?A,A∩B?B.
(2)A∪B=B∪A,A?A∪B,B?A∪B.
4.区间的概念(表中a,b∈R,且a闭区间
符号
______={x|a≤x≤b}
图示
开区间
符号
______={x|a图示
左闭右
开区间
符号
______={x|a≤x图示
[a,b]
(a,b)
[a,b)
左开右
闭区间
符号
______={x|a图示
符号“+∞”读作“正无穷大”,符号“-∞”
读作“负无穷大”
符号
__________=
{x|x>a}
图示
符号
________={x|x图示
符号
__________=R
(a,b]
(a,+∞)
(-∞,b)
(-∞,+∞)
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若A,B中分别有3个元素,则A∪B中必有6个元素.
( )
(2)若A∩B=?,则A=B=?.
( )
(3)对于任意两个集合A,B,若A∩B=A∪B,则A=B.
( )
(4)若x∈A∩B,则x∈A∪B.
( )
提示:(1)×.当A,B有公共元素时,A∪B中元素个数小于6.
(2)×.例如对于A={x|x>11}
,B={x|x<2},A∩B=?.
(3)√.任意x∈A,有x∈A∪B,因为A∩B=A∪B,所以x∈A∩B,所以x∈B.同理,对于任意x∈B,可推出x∈A,所以A=B.
(4)√.因为(A∩B)?(A∪B),所以若x∈A∩B,则x∈A∪B.
2.已知集合
则A∩B=
( )
【解析】选A.由已知条件可得A∩B=
.
3.(教材二次开发:习题改编)若集合A=(-1,+∞),B=
,则A∪B=
( )
A.(-1,+∞)
B.(-3,+∞)
C.
D.
【解析】选B.因为集合A=(-1,+∞),B=
,
所以A∪B=(-3,+∞).
关键能力·合作学习
类型一 交集及其应用(数学运算、直观想象)
角度1 集合的交集运算?
【典例】(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=
( )
A.(-1,+∞)
B.(-∞,2)
C.(-1,2)
D.?
(2)已知集合U=R,集合M={x|-2≤x<2}和N={y|y=2k-1,k∈Z}的关系的Venn图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有
( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
【思路导引】(1)借助于数轴求A∩B;
(2)分析集合N中元素的特征和Venn图表示的含义,即M∩N,求出集合的元素并判断元素个数.
【解析】(1)选C.如图
A∩B=
(2)选B.由题意得,阴影部分所示的集合为M∩N,由N={y|y=2k-1,k∈Z}知N表示奇数集合,又由M={x|-2≤x<2}得,在-2≤x<2内的奇数为-1,1,所以M∩N={-1,1},共有2个元素.
角度2 与交集有关的参数问题?
【典例】(2020·镇江高一检测)设集合
A∩B=A,则m的取值范围为
( )
A.1>m>-0.5
B.m≥-0.5
C.m<-1
D.m≤-1
【思路导引】由交集结果可知A?B,从而得到不等式组,解不等式组求得结果.
【解析】选B.因为A∩B=A,所以A?B,
所以
解得m≥-0.5.
【解题策略】
1.求集合A∩B的步骤与方法
(1)步骤:
①首先要搞清集合A,B的代表元素是什么;
②把所求交集的集合用集合符号表示出来,写成“A∩B”的形式;
③把化简后的集合A,B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为?).
(2)方法:
①若A,B的代表元素是方程的根,则应先解方程,求出方程的根后,再求两集合的交集;若集合的代表元素是有序数对,则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集,解集是点集.
②若A,B是无限数集,可以利用数轴来求解.但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心圈表示.
2.解答与交集有关的参数问题的依据和关注点
(1)依据:交集的定义、交集的有关性质如:
A∩B=A?A?B;
(2)关注点:按照条件和集合元素的互异性进行检验.
【题组训练】
1.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N为
( )
A.x=3,y=-1
B.(3,-1)
C.{3,-1}
D.{(3,-1)}
【解析】选D.由
解得
所以M∩N={(3,-1)}.
2.若集合A={x|2x+1>0},B={x|-1【解析】因为A=
,B={x|-1画数轴如图
所以A∩B=
.
答案:
3.已知M={1,2,a2-3a-1},N={-1,a,3},M∩N={3},则实数a的值为________.?
【解析】因为M∩N={3},所以3∈M;
所以a2-3a-1=3,即a2-3a-4=0,解得a=-1或4.
但当a=-1时,与集合中元素的互异性矛盾,舍去;
当a=4时,M={1,2,3},N={-1,3,4},符合题意.所以a=4.
答案:4
【补偿训练】
集合A={x|-2≤x≤5},集合B
={x|m+1≤x≤2m-1},
(1)若B?A,求实数m的取值范围.
(2)若A∩B≠?,求实数m的取值范围.
【解析】(1)当B=?时,B?A,此时m+1>2m-1,
解得m<2,
当B≠?时,为使B?A,m需满足
解得2≤m≤3,
综上可知,实数m的取值范围为m≤3.
(2)先求A∩B=?,当B=?时由(1)知m<2,
当B≠?时,为使A∩B=?,m需满足
解得m>4,
综上知当m<2或m>4时A∩B=?,
所以若A∩B≠?,实数m的取值范围是2≤m≤4.
类型二 并集及其应用(数学运算、直观想象)
角度1 集合的并集运算?
【典例】(2020·淮安高一检测)已知集合A={x|x2+2x=0},B={-2,-1},则A∪B=
( )
A.{2}
B.{-2,-1}
C.{2,0}
D.{-2,-1,0}
【思路导引】利用并集定义直接求解.
【解析】选D.因为集合A={x|x2+2x=0}={0,-2},B={-2,-1},所以A∪B={-2,-1,0}.
角度2 知并集求参数的值或范围?
【典例】(2019·沈阳高一检测)已知集合
且A∪B=R,
则实数a的取值范围是
( )
A.a≤1
B.a<1
C.a>1
D.a≥1
【思路导引】根据题意画数轴,分析实数a表示的点所在的位置.
【解析】选A.根据题意画出数轴表示集合A和B,如图所示
由图可知,实数a的取值范围是a≤1.
【变式探究】
本例条件若改为“A={x|x<-1或x>5},B={x|a【解析】在数轴上表示集合A,B如图所示.
因为A∪B=R,由数轴可得
解得-3【解题策略】
1.求集合并集的步骤
(1)识别集合:点集或数集.
(2)化简集合:明确集合中的元素.
(3)求并集:元素个数有限,利用定义或Venn图求解;元素个数无限且是用不等式表示的数集,借助数轴求解;对于点集,要注意判断A∪B中的元素的特征.
提醒:若两个集合中有相同元素,在求其并集时,只能算作一个.
2.知并集求参数的值或范围的三个关注点
(1)关注求并集的过程,通过运算结果列方程或不等式求值;
(2)注意并集的性质:A∪B=A?B?A;
(3)要始终具有检验意识,除了按照条件进行检验外,还应根据集合元素的互异性进行检验.
【题组训练】
1.(2020·哈尔滨高一检测)已知集合M={-1,0},则满足M∪N={-1,0,1}的集合N的个数是
( )
A.2
B.3
C.4
D.8
【解析】选C.由M∪N={-1,0,1},M={0,-1}可得,1∈N,则集合N可以为{1}或{0,1}或{-1,1}或{0,-1,1},共4个.
2.点集A={(x,y)|x<0},B={(x,y)|y<0},则A∪B中的元素不可能在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选A.由题意得,A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合,所以A∪B中的元素不可能在第一象限.
3.(2020·扬州高一检测)集合A={0,2},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4},则实数a的值为________.?
【解析】根据题意,若A∪B={0,1,2,4},则集合A或B必然含有元素4,又由A={0,2},B={1,a2},则a2=4,即a=±2.
答案:±2
【补偿训练】
已知A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}.
(1)若A∩B=?,求实数a的取值范围.
(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为A∩B=?,所以
解得-1≤a≤2,所以实数a的取值范围
是[-1,2].
(2)因为A∪B=B,所以A?B,
所以a>5或a+3<-1,
即a的取值范围为a>5或a<-4,
所以实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(5,+∞).
类型三 集合交、并、补的综合运算(数学运算、逻辑推理)
【典例】(2020·连云港高一检测)设全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤
x<3-a},
(1)若a=-2,求B∩A,B∩?UA;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
四步
内容
理解
题意
条件:全集U=R,集合A={x|1≤x<4},
B={x|2a≤x<3-a}
结论:若a=-2,求B∩A,B∩?UA;
知A∪B=A,求a的取值范围.
思路
探求
(1)求出?UA和a=-2时集合B,再计算B∩A,B∩?UA;
(2)由A∪B=A得B?A,讨论B=?和B≠?时,分别求出满足条件a的取值范围.
【解题策略】
求集合交、并、补运算的方法
【跟踪训练】
已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足(?RA)∩B={2},A∩
(?RB)={4},求实数a,b的值.
【解析】由条件(?RA)∩B={2}和A∩(?RB)={4},知2∈B,但2?A;4∈A,但4?B.
将x=2和x=4分别代入B,A两集合中的方程,
得
即
解得a=
,b=-
.
【拓展延伸】
集合交、并、补的性质
(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B);
(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B).
证明如下:
用Venn图表示(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B),有
用Venn图表示(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)有:
【拓展训练】已知全集U={x|-3≤x≤5},集合A={x|-3≤x<-2},B={x|-2≤x≤1}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)求(?UA
)∩(?UB
),(
?UA
)∪(?UB
).
【解析】因为A={x|-3≤x<-2},
B={x|-2≤x≤1},
所以(1)A∩B=?,A∪B={x|-3≤x≤1};
(2)(?UA
)∩(?UB
)=
?U(A∪B)={x|1(?UA
)∪(?UB
)=
?U(A∩B)={x|-3≤x≤5}.
【补偿训练】
1.已知全集U={不大于20的素数},M,N为U的两个子集,且满足M∩(?UN)
={3,5},(?UM)∩N={7,19},(?UM)∩(?UN)={2,17},求M,N.
【解析】方法一:U={2,3,5,7,11,13,17,19},
如图,
所以M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}.
方法二:因为M∩(?UN)={3,5},
所以3∈M,5∈M且3?N,5?N.
又因为(?UM)∩N={7,19},
所以7∈N,19∈N且7?M,19?M.
又因为(?UM)∩(?UN)={2,17},
所以?U(M∪N)={2,17},
所以M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}.
2.已知集合U={x|x≤4},集合A={x|-2(?UA)∪B,A∩(?UB).
【解析】如图所示.
因为A={x|-2所以?UA={x|x≤-2或3≤x≤4},
?UB={x|x<-3或2A∩B={x|-2所以(?UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4},
A∩(?UB)={x|2课堂检测·素养达标
1.已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=
( )
A.?
B.
C.
D.{-2}
【解析】选B.因为B={x|x2-x-2=0}
={-1,2},A={-2,0,2},所以A∩B=
.
2.已知集合
,则
( )
A.A∩B=
B.A∪B=R
C.A∪B=
D.A∩B=?
【解析】选A.因为
,
则A∩B=
,A∪B=
.
3.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=__________.?
【解析】因为A={1,2},B={1,2,3},
所以A∩B={1,2}.又C={2,3,4},
所以(A∩B)∪C={1,2}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.
答案:{1,2,3,4}
4.已知集合A={1,2,
4
},B={a,a+1},若A∩B={2},则实数a的值为________.?
【解析】因为集合A={1,2,
4
},
B={a,a+1},A∩B={2}
所以a=2或a+1=2,
当a=2时,B={2,
3},A∩B={2},成立;
当a+1=2时,a=1,B={1,2},A∩B={1,
2
},不成立;
综上,实数a的值为2.
答案:2
5.(教材二次开发:习题改编)已知全集U=R,A={x|-35},分别求A∩B,A∪B,A∪?UB.
【解析】借助数轴可知
A∩B={x|-3-5},
A∪?UB={x|x≤-5或-3