1.5全程量词与存在量词 同步练习（含答案）

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1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．(　√　)
(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．(　√　)
(3)全称量词命题一定含有全称量词．(　×　)
题型1　全称量词命题与存在量词命题的判断
2．下列命题中全称量词命题的个数是(　C　)
①任意一个自然数都是正整数；②有的矩形是正方形；
③三角形的内角和是180°.
A．0　 B．1　
C．2　 D．3
解析：①③是全称量词命题．
3．下列命题中，全称量词命题的个数为(　C　)
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两条边的长度不相等；③存在一个菱形，它的四条边不相等；④高二(1)班绝大多数同学是团员．
A．0　 B．1　
C．2　 D．3
解析：①②是全称量词命题，③是存在量词命题，④“高二(1)班绝大多数同学是团员”，即“高二(1)班有的同学不是团员”，是存在量词命题．
4．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述为__?x<0，使(1＋x)(1－9x)>0__.
题型2　全称量词命题与存在量词命题真假判断
5．下列命题中，是真命题的是(　D　)
A．?x∈R，x2>0　 B．?x∈R，x2＋2x>0
C．?x∈R，<0　 D．?x∈R，x(x－1)＝6
解析：?x∈R，x2≥0，故排除A；取x＝0，则x2＋2x＝0，故排除B；因为≥0，故排除C；取x＝－2，则x(x－1)＝6，故D正确．
6．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(　D　)
A．对任意的a，b∈R都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．有的菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，＝x
D．平行四边形的一组对边平行且相等
解析：A是假命题；B，C是存在量词命题．
7．下列命题中，既是真命题又是存在量词命题的是(　A　)
A．存在一个a∈R，使a2＝a
B．存在实数x，使|x|＝－1
C．对一切a∈R，a＝|a|
D．对任意a，b，(a－b)2＝
解析：C，D是全称量词命题，B是假命题．
8．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)梯形的对角线相等．
(2)存在一个四边形有外接圆．
(3)二次方程都存在实数根．
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示．
解：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题．它是假命题．
(2)命题为存在量词命题．它是真命题．
(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故为全称量词命题．它是假命题．
(4)命题为全称量词命题．它是假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
题型3　全称量词命题与存在量词命题的综合应用
9．已知命题p：“?x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是__{m|m≤5}__．
解析：因为当x≥3时，2x－1≥5，
所以若“?x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则m≤5.
10．(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求实数m的取值范围；
(2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求实数m的取值范围．
解：(1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.
故m的取值范围是{m|m≥3}．
(2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.故m的取值范围是{m|m≥1}．
11．若对于一切x∈R且 x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围．
解：若x>0，由|x|>ax得a<＝1；
若x<0，由|x|>ax得a>＝－1.
若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，则实数a的取值范围是{a|－1易错点　命题概念理解不清致误
12．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是(　A　)
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy
C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy
D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≥2xy
解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为“对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立”．故选A.
[误区警示]　本题是含有双变量的全称量词命题，理解全称量词命题的定义及形式是解决问题的关键．题中隐含任意x，y∈R，解题时要注意挖掘隐含条件．
(限时30分钟)
一、选择题
1．下列说法正确的个数是(　C　)
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“任意x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题；
③命题“存在x∈R，x2＋4x＋4≤0”是存在量词命题．
A．0　 B．1　
C．2　 D．3
解析：只有②③正确．
2．(多选题)下列命题是全称量词命题的是(　ABD　)
A．中国公民都有受教育的权利
B．每一个中学生都要接受爱国主义教育
C．有人既能写小说，也能搞发明创造
D．任何一个数除0，都等于0
3．下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　B　)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任何一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
4．下列存在量词命题是假命题的是(　B　)
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的整数是偶数
D．有的有理数没有倒数
解析：对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，所以存在x∈R，使x2＋x＋1＝0是假命题．
5．(多选题)下列命题中是真命题的是(　ACD　)
A．?x∈R,2x2－3x＋4>0
B．?x∈{1，－1,0},2x＋1>0
C．?x∈N，使≤x
D．?x∈N*，使x为29的约数
解析：对于A，这是全称量词命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故A为真命题；
对于B，这是全称量词命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故B为假命题；对于C，这是存在量词命题，当x＝0时，有≤x成立，故C为真命题；对于D，这是存在量词命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以D为真命题．
6．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是(　D　)
A．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
B．?a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C．?a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
D．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
解析：A，B不是全称量词命题，故排除；等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对全体实数都成立．
7．设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q且P≠Q，则下列命题是假命题的是(　D　)
A．?x∈Q，有x∈P　 B．?x∈P，有x?Q
C．?x?Q，有x∈P　 D．?x?Q，有x?P
解析：因为P∩Q＝Q且P≠Q，所以Q?P，所以集合Q中的元素都是集合P的元素，但是集合P中有集合Q中没有的元素，所以A，B，C正确，D错误．
8．已知?x∈{x|0≤x≤2}，m>x，?x∈{x|0≤x≤2}，n>x，那么m，n的取值范围分别是(　C　)
A．{m|m>0}，{n|n>0}　　
B．{m|m>0}，{n|n>2}
C．{m|m>2}，{n|n>0}　　
D．{m|m>2}，{n|n>2}
解析：由?x∈{x|0≤x≤2}，m>x，可得m>2，
由?x∈{x|0≤x≤2}，n>x，可得n>0.
9．已知函数y1＝x2－2x，y2＝ax＋2(a>0)，若?－1≤x1≤2，?－1≤x2≤2，使得x－2x1＝ax2＋2，则实数a的取值范围是(　D　)
A．0C．{a|0解析：由二次函数的性质可得函数y1＝x2－2x，－1≤x1≤2的取值范围为{y1|－1≤y1≤3}，由一次函数的性质可知函数y2＝ax＋2，－1≤x2≤2的取值范围是{y2|2－a≤y2≤2＋2a}．因为?－1≤x1≤2，?－1≤x2≤2，使得x－2x1＝ax2＋2，所以解得a≥3.
二、填空题
10．下列命题中，是全称量词命题的有__①②③__，是存在量词命题的有__④__.(填序号)
①正方形的四条边相等；②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．
11．下列全称量词命题中是真命题的为__①②③__.(填序号)
①负数的倒数为负数；
②菱形的每一条对角线平分一组对角；
③角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
解析：①②③为真命题；当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题．
12．已知命题p：“?x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命题，则实数a的取值集合是　{a∈R|a≠3}　.
解析：因为“?x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命题，所以关于x的方程(a－3)x＋1＝0有实数解，所以a－3≠0，即a≠3，所以实数a的取值集合是{a∈R|a≠3}．
三、解答题
13．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)存在x，使得x－2≤0；
(2)矩形的对角线互相垂直平分；
(3)三角形的两边之和大于第三边；
(4)有些质数是奇数．
解：(1)存在量词命题．如x＝2时，x－2＝0成立，所以是真命题．
(2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．
(3)全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．
(4)存在量词命题．因为3是质数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些质数是奇数”是真命题．
14．?a∈Z，使关于x的分式方程＋＝4的解为正数，且?y<－2，关于y的不等式组成立．求符合条件的a的值．
解：分式方程＋＝4的解为x＝且a≠2，
因为关于x的分式方程＋＝4的解为正数，
所以>0且a≠2，所以a<6且a≠2.
解不等式①得y<－2；解不等式②得y≤a.
因为关于y的不等式组的解集为y<－2，
所以a≥－2，所以－2≤a<6且a≠2.
因为a为整数，所以a＝－2，－1,0,1,3,4,5.
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