中小学教育资源及组卷应用平台
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
1.判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)命题¬p的否定是p.( √ )
(2)?x∈M,p(x)与?x∈M,¬p(x)的真假性相反.( √ )
(3)从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.( × )
题型1 全称量词命题的否定
2.命题“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( C )
A.?x∈R,|x|+x2<0 B.?x∈R,|x|+x2≤0
C.?x∈R,|x|+x2<0 D.?x∈R,|x|+x2≥0
3.命题“?x>0,x2>0”的否定是( B )
A.?x>0,x2≤0 B.?x>0,x2≤0
C.?x≤0,x2≤0 D.?x≤0,x2≤0
4.针对我校某次考试有关的命题p:所有理科学生都会做第1题,那么命题p的否定是( B )
A.所有理科学生都不会做第1题
B.存在一个理科学生不会做第1题
C.存在一个理科学生会做第1题
D.至少有一个理科学生会做第1题
5.已知p(x):x2+2x-m>0,如果p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是__{m|3≤m<8}__.
解析:因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3.又因为p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8,故实数m的取值范围是3≤m<8.
6.命题p是“对任意实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)写出命题p的否定;
(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真?
解:(1)命题p的否定:存在实数x,有x-a≤0且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真,需要使不等式组的解集不为空集,通过画数轴(数轴略)可看出,a,b应满足的条件是b
题型2 存在量词命题的否定
7.命题“?x>0,x2-x-2>0”的否定是( C )
A.?x≤0,x2-x-2≤0 B.?x≤0,x2-x-2≤0
C.?x>0,x2-x-2≤0 D.?x>0,x2-x-2≤0
8.命题“?x∈N,x3A.?x∈N,x3C.?x∈N,x3≥x2 D.?x?N,x39.命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为( B )
A.存在一个三角形,内角和等于180°
B.任意三角形,内角和都等于180°
C.任意三角形,内角和都不等于180°
D.很多三角形,内角和不等于180°
10.设命题p:有些三角形是直角三角形,则¬p为__任意三角形不是直角三角形__.
11.写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)p:某些梯形的对角线互相平分;
(2)q:存在一个x∈R,使=0;
(3)r:在同圆中,有的等弧所对的圆周角不相等;
(4)s:存在k∈R,函数y=kx+b随x的值增大而减小.
解:(1)¬p:任意一个梯形的对角线都不互相平分,由p是真命题可知¬p是假命题.
(2)¬q:任意x∈R,使≠0,由q是假命题可知¬q是真命题.
(3)¬r:在同圆中,任意等弧所对的圆周角相等.由r是假命题可知¬r为真命题.
(4)¬s:任意k∈R,函数y=kx+b随x的值增大而增大或不变.当k<0时,函数y=kx+b随x的值增大而减小,所以s是真命题,¬s是假命题.
易错点1 忽视否定的范围致错
12.若命题p:?x∈R,<0,则¬p: ?x∈R,
>0或x-2=0__.
[误区警示] 本题最容易出现的错误答案是?x∈R,≥0.对含有量词的命题进行否定时,需牢记:(1)全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题,注意不能只否定结论,而忘记改变量词;也不能只改变量词,而忘记对结论的否定.(2)命题的否定与原命题的真假性相反,可以以此来检验命题的否定是否正确.
易错点2 写命题的否定时忽略隐含的量词致错
13.写出下列命题的否定:
(1)可以被5整除的数,末位上是0;
(2)能被3整除的数,也能被4整数.
解:(1)省略了全称量词“任何一个”,命题的否定为:有些可以被5整除的数,末位上不是0.
(2)省略了全称量词“所有”,命题的否定为:存在一个能被3整除的数,不能被4整除.
[误区警示] 由于全称量词往往省略不写,因此在写这类命题的否定时,必须找出其中省略的全称量词,写成“?x∈M,p(x)”的形式,再把它的否定写成“?x∈M,¬p(x)”的形式.要学会挖掘命题中隐含的量词,注意把握每一个命题的实质,写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证.
(限时30分钟)
一、选择题
1.命题“?x,y<0,x+y≤-2”的否定为( A )
A.?x,y<0,x+y>-2
B.?x,y<0,x+y≤-2
C.?x,y≥0,x+y>-2
D.?x,y≥0,x+y≤-2
2.“?m,n∈Z,使得m2=n2+2 020”的否定是( C )
A.?m,n∈Z,使得m2=n2+2 020
B.?m,n∈Z,使得m2≠n2+2 020
C.?m,n∈Z,有m2≠n2+2 020
D.以上都不对
3.设命题p:?x∈{x|-1A.?x∈{x|-1B.?x∈{x|-1C.?x∈{x|-1D.?x?{x|-14.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:?x∈A,2x∈B,则( D )
A.¬p:?x∈A,2x?B B.¬p:?x?A,2x?B
C.¬p:?x?A,2x∈B D.¬p:?x∈A,2x?B
5.命题“负数的平方是正数”的否定是( D )
A.负数的平方不是正数
B.有些负数的平方是正数
C.所有负数的平方不是正数
D.有些负数的平方不是正数
6.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( C )
A.?x∈R,|x|>0 B.?x∈R,|x|>0
C.?x∈R,|x|≤0 D.?x∈R,|x|≤0
7.命题“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( D )
A.?x∈R,?n∈N*,使得nB.?x∈R,?n∈N*,使得nC.?x∈R,?n∈N*,使得nD.?x∈R,?n∈N*,使得n8.设命题p:?x∈Q,x2∈Q,则( D )
A.¬p为真命题 B.¬p:?x∈Q,x2?Q
C.¬p:?x?Q,x2∈Q D.¬p:?x∈Q,x2?Q
解析:因为命题p为真命题,所以命题p的否定为假命题,¬p:?x∈Q,x2?Q.
9.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是( BD )
A.p:所有四边形的内角和都是360°
B.q:?x∈R,x2+2x+2≤0
C.r:?x∈{x|x是无理数},x2是无理数
D.s:对所有实数a,都有|a|>0
解析:A项,¬p:有的四边形的内角和不是360°,是假命题.B项,¬q:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题,这是由于?x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立.C项,¬r:?x∈{x|x是无理数},x2不是无理数,假命题.D项,¬s:存在实数a,使|a|≤0,真命题.
10.已知非空集合M,P,则下列条件中,能得到命题“M?P”是假命题的是( D )
A.?x∈M,x?P
B.?x∈P,x∈M
C.?x1∈M,x1∈P且x2∈M,x2?P
D.?x∈M,x?P
解析:M?P等价于?x∈M,x∈P.因为“M?P”是假命题,所以其否定为?x∈M,x?P,它是真命题,故能得到“M?P”是假命题的条件是?x∈M,x?P.故选D.
二、填空题
11.命题“?x>-1,x2+x-2 020>0”的否定是__?x>-1,x2+x-2_020≤0__.
12.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为 ?x,y∈R,x+y>1 ,此命题的否定是 ?x,y∈R,x+y≤1 ,是__假__命题(填“真”或“假”).
13.已知命题q:“三角形有且只有一个外接圆”,则¬q为__存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆__.
14.已知命题p:?x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是__{a|a≥1}__.
解析:因为p为假命题,所以命题p的否定:?x>0,x+a-1≠0是真命题,所以x≠1-a,所以1-a≤0,所以a≥1.
三、解答题
15.写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;
(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数;
(3)被8整除的数能被4整除.
解:(1)这一命题可以表述为p:对所有的实数m,方程x2+x-m=0都有实数根,其否定是¬p:存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根.因为当Δ=1+4m<0,即m<-时,一元二次方程没有实数根,因此¬p是真命题.
(2)命题的否定:任意正整数都有1和它本身以外的约数,是假命题.
(3)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题.
16.已知命题p:?x∈R,x2-4x+a≥0,命题q:?x∈R,ax2-2ax-3>0,若p假q真,求实数a的取值范围.
解:因为命题p是假命题,所以¬p:?x∈R,x2-4x+a<0是真命题,则(-4)2-4a>0,解得a<4.
因为命题q:?x∈R,ax2-2ax-3>0是真命题,
所以当a=0时,-3<0,不合题意.
当a<0时,(-2a)2+12a>0,所以a<-3.
当a>0时,函数y=ax2-2ax-3的图象开口向上,一定存在满足条件的x.故a<-3或a>0.
综上,a的取值范围是{a|a<-3或0_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_