1.5全称量词与存在量词 同步练习（含答案）

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1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)命题￢p的否定是p.(　√　)
(2)?x∈M，p(x)与?x∈M，￢p(x)的真假性相反．(　√　)
(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　×　)
题型1　全称量词命题的否定
2．命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　C　)
A．?x∈R，|x|＋x2<0　 B．?x∈R，|x|＋x2≤0
C．?x∈R，|x|＋x2<0　 D．?x∈R，|x|＋x2≥0
3．命题“?x>0，x2>0”的否定是(　B　)
A．?x>0，x2≤0　 B．?x>0，x2≤0
C．?x≤0，x2≤0　 D．?x≤0，x2≤0
4．针对我校某次考试有关的命题p：所有理科学生都会做第1题，那么命题p的否定是(　B　)
A．所有理科学生都不会做第1题
B．存在一个理科学生不会做第1题
C．存在一个理科学生会做第1题
D．至少有一个理科学生会做第1题
5．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是__{m|3≤m<8}__．
解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，故实数m的取值范围是3≤m<8.
6．命题p是“对任意实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定；
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
解：(1)命题p的否定：存在实数x，有x－a≤0且x－b>0.
(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集，通过画数轴(数轴略)可看出，a，b应满足的条件是b题型2　存在量词命题的否定
7．命题“?x>0，x2－x－2>0”的否定是(　C　)
A．?x≤0，x2－x－2≤0　 B．?x≤0，x2－x－2≤0
C．?x>0，x2－x－2≤0　 D．?x>0，x2－x－2≤0
8．命题“?x∈N，x3A．?x∈N，x3C．?x∈N，x3≥x2　 D．?x?N，x39．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为(　B　)
A．存在一个三角形，内角和等于180°
B．任意三角形，内角和都等于180°
C．任意三角形，内角和都不等于180°
D．很多三角形，内角和不等于180°
10．设命题p：有些三角形是直角三角形，则￢p为__任意三角形不是直角三角形__．
11．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．
(1)p：某些梯形的对角线互相平分；
(2)q：存在一个x∈R，使＝0；
(3)r：在同圆中，有的等弧所对的圆周角不相等；
(4)s：存在k∈R，函数y＝kx＋b随x的值增大而减小．
解：(1)￢p：任意一个梯形的对角线都不互相平分，由p是真命题可知￢p是假命题．
(2)￢q：任意x∈R，使≠0，由q是假命题可知￢q是真命题．
(3)￢r：在同圆中，任意等弧所对的圆周角相等．由r是假命题可知￢r为真命题．
(4)￢s：任意k∈R，函数y＝kx＋b随x的值增大而增大或不变．当k<0时，函数y＝kx＋b随x的值增大而减小，所以s是真命题，￢s是假命题．
易错点1　忽视否定的范围致错
12．若命题p：?x∈R，<0，则￢p：　?x∈R，
>0或x－2＝0__.
[误区警示]　本题最容易出现的错误答案是?x∈R，≥0.对含有量词的命题进行否定时，需牢记：(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，注意不能只否定结论，而忘记改变量词；也不能只改变量词，而忘记对结论的否定．(2)命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此来检验命题的否定是否正确．
易错点2　写命题的否定时忽略隐含的量词致错
13．写出下列命题的否定：
(1)可以被5整除的数，末位上是0；
(2)能被3整除的数，也能被4整数．
解：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位上不是0.
(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．
[误区警示]　由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“?x∈M，p(x)”的形式，再把它的否定写成“?x∈M，￢p(x)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．
(限时30分钟)
一、选择题
1．命题“?x，y<0，x＋y≤－2”的否定为(　A　)
A．?x，y<0，x＋y>－2
B．?x，y<0，x＋y≤－2
C．?x，y≥0，x＋y>－2
D．?x，y≥0，x＋y≤－2
2．“?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”的否定是(　C　)
A．?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020
B．?m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020
C．?m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020
D．以上都不对
3．设命题p：?x∈{x|－1A．?x∈{x|－1B．?x∈{x|－1C．?x∈{x|－1D．?x?{x|－14．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则(　D　)
A．￢p：?x∈A,2x?B　 B．￢p：?x?A,2x?B
C．￢p：?x?A,2x∈B　 D．￢p：?x∈A,2x?B
5．命题“负数的平方是正数”的否定是(　D　)
A．负数的平方不是正数
B．有些负数的平方是正数
C．所有负数的平方不是正数
D．有些负数的平方不是正数
6．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　C　)
A．?x∈R，|x|>0　 B．?x∈R，|x|>0
C．?x∈R，|x|≤0　 D．?x∈R，|x|≤0
7．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　D　)
A．?x∈R，?n∈N*，使得nB．?x∈R，?n∈N*，使得nC．?x∈R，?n∈N*，使得nD．?x∈R，?n∈N*，使得n8．设命题p：?x∈Q，x2∈Q，则(　D　)
A．￢p为真命题　 B．￢p：?x∈Q，x2?Q
C．￢p：?x?Q，x2∈Q　 D．￢p：?x∈Q，x2?Q
解析：因为命题p为真命题，所以命题p的否定为假命题，￢p：?x∈Q，x2?Q.
9．(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(　BD　)
A．p：所有四边形的内角和都是360°
B．q：?x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．r：?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．s：对所有实数a，都有|a|>0
解析：A项，￢p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题．B项，￢q：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题，这是由于?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．C项，￢r：?x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题．D项，￢s：存在实数a，使|a|≤0，真命题．
10．已知非空集合M，P，则下列条件中，能得到命题“M?P”是假命题的是(　D　)
A．?x∈M，x?P
B．?x∈P，x∈M
C．?x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2?P
D．?x∈M，x?P
解析：M?P等价于?x∈M，x∈P.因为“M?P”是假命题，所以其否定为?x∈M，x?P，它是真命题，故能得到“M?P”是假命题的条件是?x∈M，x?P.故选D.
二、填空题
11．命题“?x>－1，x2＋x－2 020>0”的否定是__?x>－1，x2＋x－2_020≤0__.
12．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为　?x，y∈R，x＋y>1　，此命题的否定是　?x，y∈R，x＋y≤1　，是__假__命题(填“真”或“假”)．
13．已知命题q：“三角形有且只有一个外接圆”，则￢q为__存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆__．
14．已知命题p：?x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是__{a|a≥1}__．
解析：因为p为假命题，所以命题p的否定：?x>0，x＋a－1≠0是真命题，所以x≠1－a，所以1－a≤0，所以a≥1.
三、解答题
15．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；
(3)被8整除的数能被4整除．
解：(1)这一命题可以表述为p：对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根，其否定是￢p：存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．因为当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实数根，因此￢p是真命题．
(2)命题的否定：任意正整数都有1和它本身以外的约数，是假命题．
(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．
16．已知命题p：?x∈R，x2－4x＋a≥0，命题q：?x∈R，ax2－2ax－3>0，若p假q真，求实数a的取值范围．
解：因为命题p是假命题，所以￢p：?x∈R，x2－4x＋a<0是真命题，则(－4)2－4a>0，解得a<4.
因为命题q：?x∈R，ax2－2ax－3>0是真命题，
所以当a＝0时，－3<0，不合题意．
当a<0时，(－2a)2＋12a>0，所以a<－3.
当a>0时，函数y＝ax2－2ax－3的图象开口向上，一定存在满足条件的x.故a<－3或a>0.
综上，a的取值范围是{a|a<－3或0_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_