2.1 等式性质与不等式性质（1） 同步练习（含答案）

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2.1　等式性质与不等式性质
课时1　不等关系与不等式
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　√　)
(2)若x2＝0，则x≥0.(　√　)
(3)若x－1≤0，则x<1.(　×　)
(4)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a题型1　用不等式(组)表示不等关系
2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(　C　)
A．T<40　 B．T>40　
C．T≤40　 D．T≥40
3．下列说法正确的是(　C　)
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
4．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，则从这个实例中提炼出一个不等式组为　(k∈N*)　.
解析：依题意得，第二次钉子没有全部进入木板，第三次全部进入木板，所以(k∈N*)．
题型2　用作差法比较大小
5．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则(　C　)
A．a>b　 B．aC．a≥b　 D．a≤b
解析：因为a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.
6．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是(　A　)
A．M >－5　 B．M<－5
C．M＝－5　 D．不能确定
解析：因为M－(－5)＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2，又a≠2且b≠－1，所以M－(－5)>0，所以M >－5.
7．比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.
解：因为x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.
所以当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；
当x≠±1时，x6＋1>x4＋x2.
综上所述，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时取等号．
题型3　不等式的实际应用
8．完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人工资预算不超过20 000元．设木工x人，瓦工y人，则下列关系式正确的是(　A　)
A．4x＋5y≤200　 B．4x＋5y<200
C．5x＋4y≤200　 D．5x＋4y<200
解析：请木工共需支付400x元，请瓦工共需支付500y元，可得共需支付工资(400x＋500y)元．又工人工资预算不超过20 000元，故400x＋500y≤20 000，化简可得4x＋5y≤200.
9．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案，并指出哪种方案用书籍最少，共用多少本．
解：因为组建中型图书角x个，所以组建小型图书角为(30－x)个．
则解这个不等式组得18≤x≤20.
由于x只能取正整数，所以x的取值是18,19,20.
当x＝18时，30－x＝12；当x＝19时，30－x＝11；当x＝20时，30－x＝10.
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．
比较3种方案可知当x＝18时用书籍最少，共用书籍130×18＋90×12＝3 420(本)．
易错点1　比较大小时作差变形不当致误
10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则(　B　)
A．甲先到教室　 B．乙先到教室
C．两人同时到教室　 D．谁先到教室不确定
解析：设步行速度与跑步速度分别为v1和v2，总路程为2s，显然0设乙用时间为t，则v1·＋v2·＝2s.
所以乙用时间为，
而＋－＝
＝>0，故＋>，故乙先到教室．
[误区警示]　本题易作差后变形不恰当导致无法判断差的符号而错选D.
易错点2　方法选择不当致误
11．若0A．a1b1＋a2b2　 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1　 D．
解析：令a1＝0.1，a2＝0.9，b1＝0.2，b2＝0.8，则a1b1＋a2b2＝0.74；a1a2＋b1b2＝0.25；a1b2＋a2b1＝0.26.故选A.
[误区警示]　不能小题大做：本题若用作差法比较大小，则比较麻烦．有关不等式大小的选择题，解题时要依据题目特点灵活选取方法，以简化解题过程．
(限时30分钟)
一、选择题
1．下面列出的不等式中，正确的是(　C　)
A．a不是负数，可表示成a>0
B．x不大于3，可表示成x<3
C．m与4的差是负数，可表示成m－4<0
D．x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0
2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　A　)
A．M>N　 B．M＝N
C．M解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，所以M>N.
3．若a>b，则b2＋1与3b－a的大小关系是(　A　)
A．b2＋1>3b－a　 B．b2＋1≥3b－a
C．b2＋1<3b－a　 D．b2＋1≤3b－a
解析：b2＋1－(3b－a)＝b2－2b＋1＋(a－b)＝(b－1)2＋(a－b)．因为a>b，所以a－b>0，又(b－1)2≥0，所以(b－1)2＋(a－b)>0，即b2＋1>3b－a.
4．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是(　D　)
A．　 B．
C．　 D．
解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以x≥95，y>380，z>45.
5．已知0A．MN　　
C．M＝N　 D．不确定
解析：M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1＝(a－1)·(b－1)．因为00，所以M >N.
6．(多选题)已知三个不等式：①ab>0，②>，③bc>ad.则下列结论正确的是(　ABC　)
A．①③?②　 B．①②?③
C．②③?①　 D．B选项错误
解析：不等式②作等价变形>?>0，由ab>0，bc>ad可得②成立，即①③?②；若ab>0，>0，则bc>ad，故①②?③；若bc>ad，>0，则ab>0，故②③?①.
7．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒 厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为(　C　)
A．4×2x≥100　 B．4×2x≤100
C．4×2x>100　 D．4×2x<100
解析：当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100.
8．(多选题)下列不等式，正确的为(　AC　)
A．x2＋3>2x(x∈R)　 B．a3＋b3≥a2b＋ab2
C．a2＋b2≥2(a－b－1)　 D．(x－3)2<(x－2)(x－4)
解析：对选项A，x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0，所以x2＋3>2x正确；对选项B，a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2，因为(a－b)2≥0，但a＋b的符号不能确定，故B不一定正确；对选项C，a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)，故C正确；对选项D，(x－2)(x－4)－(x－3)2＝(x2－6x＋8)－(x2－6x＋9)＝－1<0，故D错误．
二、填空题
9．若x∈R，则与的大小关系为　≤　.
解析：－＝＝≤0，所以≤.
10．一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为__10y＋x>70__.
解析：这个两位数可表示为10y＋x，所以70<10y＋x.
11．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为__a＝2__.
解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，所以(a－2)2＝0，即a＝2.
12．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为__8(x＋19)>2_200__；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为　>9　.
解析：由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)>2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即>9.
三、解答题
13．已知a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，比较a，b，c的大小．
解：因为b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，所以b≥c.
由题意得方程组
解得
所以c－a＝a2－a＋1＝2＋>0，
所以c>a，所以b≥c>a.
14．若a≥1，比较－与－的大小．
解：因为(－)－(－)
＝－
＝
＝<0，
所以－<－.
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