2.1 等式性质与不等式性质（2） 同步练习（含答案）

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课时2　不等式的性质
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)若a>b，则ac2>bc2.(　×　)
(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　×　)
(3)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(　√　)
(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　×　)
题型1　利用不等式的性质判断命题的真假
2．设bA．a－c>b－d　 B．ac>bd
C．a＋c>b＋d　 D．a＋d>b＋c
解析：因为b3．已知xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
解析：因为xa2；不等号两边同乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.
4．设a，b，c∈R，且a>b，则(　D　)
A．ac>bc　 B．<
C．a2>b2　 D．a3>b3
解析：A选项中若c小于等于0则不成立；B选项中若a为正数b为负数则不成立；C选项中若|a|<|b|则不成立，故选D.
题型2　利用不等式性质进行证明
5．欲证－<－成立，只需证(　C　)
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
解析：因为＋>0，＋>0，所以－<－?＋<＋?(＋)2<(＋)2.
6．设a>b>c，求证：＋＋>0.
证明：因为a>b>c，所以a－c>a－b>0.所以>>0.
所以＋>0.又b－c>0，所以>0.
所以＋＋>0.
题型3　利用不等式的性质求范围问题
7．已知12解：因为15所以12－36因为15所以<<，即<<4.
8．设y＝ax2＋bx，且当x＝－1时1≤y1≤2；当x＝1时，2≤y2≤4，求当x＝－2时，y3的取值范围．
解：因为当x＝－1时，y1＝a－b，所以1≤a－b≤2；当x＝1时，y2＝a＋b，所以2≤a＋b≤4.
又当x＝－2时，y3＝4a－2b，令4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
所以解得所以y3＝3(a－b)＋(a＋b)．
又因为1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10，所以5≤y3≤10.
易错点1　忽略不等式性质成立的条件
9．给出下列命题：
①若a②若ac－3>bc－3，则a>b；
③若a>b且k∈N＋，则ak>bk；
④若c>a>b>0，则>.
其中正确命题的序号是__④__.
解析：①令a＝－1，b＝1，则＝－c>＝c，故①错误；②当c<0时，c－3<0，由ac－3>bc－3可得aa>b>0?0b>0，所以>，故④正确．
[误区警示]　在使用不等式性质时若忽略其成立的条件则可能得出错误的结果，如①中易由a，从而判断①是正确的；③中易忽略a与b的符号(误认为同为正)，从而推出ak>bk.应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”．还要特别注意“乘负反序”“同号取倒反序”的情况．
易错点2　扩大取值范围致错
10．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
解：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
则解得
又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，所以－≤a＋3b≤1.
[误区警示]　利用不等式求某个代数式(特别是涉及两个或两个以上未知量的代数式)的取值范围时，往往需要利用不等式的性质“同向可加性”，但这一性质并不具有可逆性，多次使用就可能扩大取值范围(所推得的不等关系仍然成立，但并不是真正的取值范围)．求范围时，尽量避免多次使用不具有可逆性的条件，要使用整体代换的思想解决问题．
(限时30分钟)
一、选择题
1．设a>b>0，cA．ac>bd　 B．<
C．>　 D．ac2解析：a>b>0，c－d>0，即有－ac>－bd>0，即ac0，又ac－d>0，－ac>－bd>0，可得ac2>bd2，则D错．故选B.
2．已知a，b，m是正实数，则不等式>成立的条件是(　B　)
A．ab
C．与m有关　 D．恒成立
解析：－＝，而a>0，m>0且>0，所以a－b>0，即a>b.
3．(多选题)若<<0，下面四个不等式不正确的是(　AB　)
A．|a|>|b|　 B．aC．a＋bb3
解析：由<<0可得b0，则a＋bb3，D正确．
4．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　D　)
A．a－b>0　 B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0　 D．a＋b<0
解析：本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.
5．设aA．>　　　 B．acC．|a|>－b　 D．>
解析：a，选项A正确；当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确；|a|＝－a>－b，则选项C正确；由－a>－b>0，可得>，则选项D正确，故选B.
6．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　D　)
A．a><　 B．>>a
C．>a>　 D．>>a
解析：由题意知>0，b2>1，则>a，且<0，所以>>a.
7．若1A．－3C．－3解析：因为－48．(多选题)若x>1>y，则下列不等式成立的是(　BCD　)
A．x－1>1－y　 B．x－1>y－1
C．x－y>1－y　 D．1－x>y－x
解析：因为x>1>y，所以x＋(－1)>y＋(－1)，即B正确；x＋(－y)>1＋(－y)，即C正确；1＋(－x)>y＋(－x)，即D正确．
9．a>b>c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是(　B　)
A．ac>bc　 B．ab>ac
C．a|b|>c|b|　 D．a2>b2>c2
解析：因为a＋b＋c＝0且a>b>c，所以a>0，c<0，所以A不正确；对于B，ab>ac?a(b－c)>0，又b－c>0，a>0，故B正确；由于|b|有可能为0，故C不正确；若a＝2，b＝1，c＝－3，显然a＋b＋c＝0，但a2>b2且b2二、填空题
10．若a>b>0，则a＋__>__b＋(用“<”“>”“＝”填空)．
解析：因为a>b>0，所以>>0，所以a＋>b＋.
11．若a解析：－＝＝.
因为a12．三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，则的取值范围是　≤≤　.
解析：两个不等式同时除以a，得
将②×(－1)得－2·≤－1－≤－，③
①＋③，得1－≤－1≤2－，解得≤≤.
三、解答题
13．(1)已知a>b>0,0>c>d，求证：ad(2)a(3)已知a>b，<，求证：ab>0.
证明：(1)因为a>b，c<0，所以ac因为c>d，a>0，所以ac>ad，所以ad(2)－＝＝.
因为a0，ab>0，
所以<0，故<.
(3)因为<，所以－<0，即<0，
而a>b，所以b－a<0，所以ab>0.
14．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，求的取值范围．
解：由已知及三角形的三边关系得
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两式相加得0<2×<4，所以的取值范围为0<<2.
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