2.2.1基本不等式 同步练习（含答案）

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2.2　基本不等式
课时1　基本不等式
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　×　)
(2)若a≠0，则a＋≥2＝2.(　×　)
(3)若a>0，b>0，则ab≤2.(　√　)
(4)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.(　×　)
题型1　基本不等式的理解
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　B　)
A．a＝±1　 B．a＝1
C．a＝－1　 D．a＝0
解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立．
3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　D　)
A．a2＋b2>2ab　 B．a＋b≥2
C．＋>　 D．＋≥2
解析：对于A项，当a＝b时，应有a2＋b2＝2ab，所以A项错；对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D项，因为ab>0，所以，>0，所以＋≥2＝2.
4．当a，b∈R时，下列不等式关系成立的是__③__.
①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
解析：根据≥ab，≥成立的条件判断知，①②④错，只有③正确．
题型2　直接应用基本不等式求最值
5．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为(　B　)
A．1　 B．2　　
C．4　 D．8
解析：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.
6．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　C　)
A．80　 B．77　
C．81　 D．82
解析：因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
7．下列不等式中正确的是(　D　)
A．a＋≥4　 B．a2＋b2≥4ab
C．≥　 D．x2＋≥2
解析：若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D正确．
8．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，求＋的最小值．
解：＋＝(2x＋y)＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.
当且仅当＝，即?时等号成立．所以＋的最小值为3＋2.
题型3　利用基本不等式进行证明
9．已知a，b，c都是正整数，求证：＋＋≥3.
证明：左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋－3.
因为a，b，c为正数，所以＋≥2(当且仅当a＝b时取等号)；＋≥2(当且仅当a＝c时取等号)；＋≥2(当且仅当b＝c时取等号)．
从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．所以＋＋－3≥3，
即＋＋≥3.
10．已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
证明：因为a＋b＋c＝1，
所以(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．
又a，b，c都是正实数，所以≥>0，≥>0，≥>0.所以≥abc.
所以(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
易错点　忽视等号成立的一致性
11．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为__9__.
解析：因为x，y为正数，且x＋2y＝2，所以＝·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝4y＝时，等号成立，所以的最小值为9.
[误区警示]　连续运用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．
(限时30分钟)
一、选择题
1．设a>0，b>0.若a＋b＝1，则＋的最小值为(　B　)
A．8　 B．4　
C．1　 D．
解析：若a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以≤＝?ab≤.所以＋＝＝≥＝4.
2．设a>0，b>0，且a＋b≤4，则有(　B　)
A．≥　 B．＋≥1
C．≥2　 D．≤
解析：因为4≥a＋b≥2，所以≤2，所以≥，所以＋≥≥1.故选B.
3．若0A．a2＋b2　 B．2
C．2ab　 D．a＋b
解析：因为0所以a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，
所以a＋b>a2＋b2，故选D.
4．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　A　)
A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
解析：因为a＋b＝cd＝4，所以由基本不等式得a＋b≥2，故ab≤4.又因为cd≤，所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时，等号成立．故选A.
5．(多选题)[2020·怀化高一检测]设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　BD　)
A．ab>1　 B．ab<1
C．<1　 D．>1
解析：因为ab≤2，a≠b，所以ab<1，又1＝＝<，所以>1.所以ab<1<.
6．已知0A．　 B．　
C．　 D．
解析：因为00，则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×2＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．
7．已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是(　B　)
A．4　 B．5　
C．8　 D．10
解析：依题意有x＋y＝m＋n＋＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当m＝n＝时取等号．故选B.
二、填空题
8．已知x，y都是正数．
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是　2　；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是　　.
解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2，当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤2＝2＝，即xy的最大值是，当且仅当x＝y＝时取最大值．
9．已知当x＝3时，代数式4x＋(x>0，a>0)取得最小值，则a＝__36__.
解析：4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，所以＝3，即a＝36.
10．已知x>0，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为__3__，取得最大值时y的值为__2__.
解析：因为x>0，y>0且1＝＋≥2，所以xy≤3，当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号．
11．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为__20__.
解析：x＋y≥2＝20，当且仅当x＝y＝10时取“＝”．
三、解答题
12．(1)x>0时，求x＋＋2的最小值；
(2)0解：(1)因为x>0，所以x＋＋2≥2＋2＝8，
当且仅当x＝，即x＝3时等号成立．所以x＋＋2的最小值是8.
(2)因为00，
所以2x(5－2x)≤2＝，
当且仅当2x＝5－2x，即x＝时等号成立，
所以2x(5－2x)的最大值为.
13．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
证明：(1)因为a＋b＝1，a>0，b>0，
所以＋＋＝2.
又＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
所以＋＋≥8.
(2)因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，
所以＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
所以≥9.
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