2.2.2基本不等式的应用 同步练习（含答案）

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课时2　基本不等式的应用
题型1　间接利用基本不等式求最值
1．当≤x≤2时，函数y1＝x2＋bx＋c(b，c∈R)与y2＝在同一点取得相同的最小值，则y1在≤x≤2时有最大值为(　B　)
A．　 B．4　
C．8　 D．
解析：y2＝＝x＋＋1≥3，当且仅当x＝1时，等号成立，即当x＝1时取最小值3，所以y1的对称轴是直线x＝1，所以b＝－2.再把(1,3)代入即得c＝4.所以y1＝x2－2x＋4，易得y1在≤x≤2时的最大值是22－2×2＋4＝4.
2．3x2＋的最小值是(　D　)
A．3－3　 B．3　
C．6　 D．6－3
解析：3x2＋＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D.
3．已知x，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为　　.
解析：因为x，y>0，且x＋4y＝1，所以xy＝x·4y≤×(x＋4y)2＝，当且仅当x＝4y＝，即x＝，y＝时，等号成立．所以xy的最大值为.
题型2　利用基本不等式求参数
4．若不等式a2＋b2＋2>λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数λ的取值范围是(　C　)
A．λ<　 B．{λ|λ<1}
C．{λ|λ<2}　 D．{λ|λ<3}
解析：因为不等式a2＋b2＋2>λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，所以λ<.因为≥＝＋≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以λ<2.
5．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为__4__.
解析：因为a>0，所以(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，由条件知a＋2＋1≥9，所以a≥4.
6．设a>0，若对于任意满足m＋n＝8的正数m，n，都有≤＋，求a的取值范围．
解：由m＋n＝8可得m＋n＋1＝9，故＋＝(m＋n＋1)·＝≥×(5＋4)＝1，当且仅当n＋1＝2m，即m＝3，n＝5时等号成立，故只需≤1，又a>0，则a≥1.故所求的a的取值范围是a≥1.
题型3　利用基本不等式解决实际问题
7．小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a和b(aA．aC．解析：设从甲地到乙地的路程为s，则v＝＝＝<＝.因为a0，所以v>a.所以a8．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　B　)
A．x＝　 B．x≤
C．x>　 D．x≥
解析：因为这两年的平均增长率为x，所以A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，所以(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．由题设知a>0，b>0，所以1＋x＝≤＝1＋，所以x≤，当且仅当1＋a＝1＋b，即a＝b时等号成立．故选B.
9．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单元：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是__8__万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
10．如图所示，某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
解：设矩形的左侧边长为x m，则后侧边长为 m，因此种植蔬菜区域的左侧边长为(x－4)m，后侧边长为m.
由得4所以其面积S＝(x－4)·＝808－≤808－2＝808－160＝648(m2)．
当且仅当2x＝，即x＝40时等号成立．
因此当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m2.
易错点1　多次应用基本不等式致误
11．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则2＋2的最小值为　　.
解析：2＋2＝a2＋b2＋＋＋4
＝(a2＋b2)＋4＝(1－2ab)＋4.
因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以ab≤2＝.
所以1－2ab≥1－＝，且≥16,1＋≥17.
所以原式≥×17＋4＝.
所以2＋2的最小值是.
[误区警示]　本题常犯错误是两次利用基本不等式，误认为条件不能同时成立．利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正、 二定、三相等”的条件．解题时，应尽量避免多次应用基本不等式，如连续应用了基本不等式，应特别注意检验等号是否能同时成立．
易错点2　应用基本不等式时忽略等号成立的条件
12．函数y＝的最小值为　　.
解析：y＝＝＝＋＝＋－≥4－.当且仅当x＝0时，＋＝4，又≥2(当且仅当x＝0时等号成立)，所以－≥－，所以所求最小值为4－＝.
[误区警示]　利用基本不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若定义域或题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换成另一种形式或考虑另一种方法进行解答．
(限时30分钟)
一、选择题
1．下列不等式一定成立的是(　C　)
A．>(x>0)　 B．x＋≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)　 D．>1(x∈R)
解析：选项A中，x2＋≥x，故选项A不正确；选项B中，x＋≥2(x>0)，x＋≤－2(x<0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；选项D中，x2＋1≥1，则0<≤1，故选项D不正确．
2．若－4A．有最小值1　 B．有最大值1
C．有最小值－1　 D．有最大值－1
解析：＝.又因为－40.所以原式＝－≤－1，当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
3．已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为(　D　)
A．2　 B．4　
C．6　 D．8
解析：因为x>0，y>0，且＋＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，＋＝1，即x＝4，y＝2时等号成立．
4．?x>0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是(　B　)
A．a>2　 B．a≥2
C．a<2　 D．a≤2
解析：?x>0，使得＋x－a≤0，等价于a≥min.因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥2.
5．已知x>0，y>0，x＋y＝1，若4xyA．{t|t>1}　 B．{t|t<1}
C．{t|t<2}　 D．{t|t>2}
解析：由基本不等式可得4xy≤4·2＝1，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以4xy的最大值为1，则t>1.因此，实数t的取值范围为{t|t>1}．
6．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n层楼时，上、下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为(　B　)
A．2　 B．3　
C．4　 D．8
解析：由题意知，教室在第n层楼时，同学们总的不满意度为y＝n＋≥4，当且仅当n＝，即n＝2时，不满意度最小，又n∈N＋，分别把n＝2,3代入y＝n＋，易知n＝3时，y最小，故最适宜的教室应在3楼．
7．(多选题)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则对于＋(　AD　)
A．取得最值时a＝　 B．最大值是5
C．取得最值时b＝　 D．最小值是
解析：因为a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝且a＋b＝2，即a＝，b＝时，等号成立．
8．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　A　)
A．a≥　 B．a>
C．a<　 D．a≤
解析：因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x>0，a≥max.又因为x>0，所以＝≤＝，当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥.
9．(多选题)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　CD　)
A．＋有最大值4　 B．有最小值
C．＋有最大值　 D．a2＋b2有最小值
解析：对于A，＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为4，故A不正确．
对于B，由基本不等式得≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以的最大值为，故B不正确．对于C，由基本不等式可得＋≤2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以＋有最大值，故C正确．对于D，由不等式a2＋b2≥22＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以a2＋b2有最小值，故D正确．故选CD.
10．若已知x，y，z为正实数，则的最大值为(　C　)
A．1　 B．2　
C．　 D．
解析：因为x2＋y2＋z2＝＋≥(xy＋yz)，当且仅当x＝y＝z时取等号．所以≤＝.
二、填空题
11．当x>1时，不等式的最小值是__6__.
解析：因为x>1，所以x－1>0，所以＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x＝3时取等号，所以的最小值是6.
12．某种饮料分两次提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是__乙__．
解析：设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，乙：2，因为≤＝1＋%，又p>q>0，所以<1＋%，即(1＋p%)(1＋q%)<2，所以提价多的方案是乙．
13．已知一次函数y＝－x＋1的图象分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是　　，取得最值时a的值为__1__.
解析：因为A(2,0)，B(0,1)，所以0≤b≤1，由题意得a＝2－2b，所以ab＝(2－2b)b＝2(1－b)·b≤2·2＝.当且仅当1－b＝b，即b＝时等号成立，此时a＝1，
因此当b＝，a＝1时，ab的最大值为.
三、解答题
14．已知正数a，b，x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．
解：x＋y＝(x＋y)
＝a＋＋＋b＝10＋＋.
因为x，y>0，a，b>0，
所以x＋y≥10＋2＝18，即＝4.
又a＋b＝10，所以或
15.有一种变压器铁芯的截面呈如图所示的正十字形，为保证所需的磁通量，要求十字形的面积为4 cm2，为了使用来绕铁芯的铜线最省，即正十字形外接圆周长最短，应如何设计正十字形的长(DG)和宽(AB)?
解：设外接圆半径为R，AB＝x(0则4R2＝x2＋y2.①
由已知条件有2xy－x2＝4，
所以y＝.②
将②代入①，得4R2＝x2＋.
所以4R2＝x2＋＋2≥2＋2＝10＋2，当且仅当x2＝，即x＝2时，等号成立．
把x＝2代入②，得y＝1＋.
所以当x＝2且y＝1＋时，4R2有最小值，此时正十字形外接圆周长最短．
答：正十字形的长和宽分别为(1＋)cm和2 cm时，用来绕铁芯的铜线最省．
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