2.3.2二次函数与一元二次方程、不等式的应用 同步练习（含答案）

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课时2　二次函数与一元二次方程、不等式的应用
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)不等式>1的解集为x<1.(　×　)
(2)求解m>ax2＋bx＋c(a<0)恒成立时，可转化为求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，从而求出m的范围．(　×　)
题型1　分式不等式与高次不等式的解法
2．已知全集为R，A＝≤0，B＝{x|x>0}，则?R(A∩B)＝(　A　)
A．{x|x≤0或x>1}　 B．{x|x≤0或x≥1}
C．{x|x<－1}　 D．{x|x≤－1}
解析：由≤0得－11}，故选A.
3．不等式(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0的解集为__{x|－2≤x≤－1，或1≤x≤2}__．
解析：设y＝(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)，则y＝0的根分别是－2，－1,1,2，将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图．所以原不等式的解集是{x|－2≤x≤－1，或1≤x≤2}．
4．解下列不等式：
(1)≥0；　　(2)<3.
解：(1)不等式≥0可化为所以x≤－1或x>3.
所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
(2)不等式<3可化为－3<0，
即<0，所以2(x－1)(x＋1)<0，
所以－1所以原不等式的解集为{x|－1题型2　不等式的恒成立问题
5．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　A　)
A．－4≤a≤4　 B．－4C．a≤－4或a≥4　 D．a<－4或a>4
解析：因为不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，所以－4≤a≤4.
6．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　D　)
A．{k|－3C．{k|－3≤k≤0}　 D．{k|－3解析：当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则解得－37．关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
所以4x＋m<2(x2－2x＋3)恒成立，
所以m<2x2－8x＋6恒成立，设y＝2x2－8x＋6，
则当x＝2时，y的最小值为－2.所以m<－2.
所以实数m的取值范围为{m|m<－2}．
题型3　不等式的实际应用
8．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　B　)
A．{t|1≤t≤3}　 B．{t|3≤t≤5}
C．{t|2≤t≤4}　 D．{t|4≤t≤6}
解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x(单位：m)的取值范围是__{x|10≤x≤30}__．
解析：设矩形宽为y，由三角形相似得，＝，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.
易错点1　认为分式不等式与二次不等式等价致误
10．解不等式：≤0.
解：原不等式可化为
解得－2所以原不等式的解集为{x|－2[误区警示]　认为分式不等式与二次不等式等价致误，没有考虑分母不能为0是造成错误的主要原因．
易错点2　随意消项致误
11．解不等式：(x2－4x＋4)(x2－4x＋3)≥0.
解：原不等式可化为或x－2＝0，
解得x≥3或x≤1或x＝2.
所以原不等式的解集为{x|x≥3或x≤1或x＝2}．
[误区警示]　错解为：(x－2)2(x－1)(x－3)≥0，因为(x－2)2≥0，所以(x－1)(x－3)≥0，所以x≥3或x≤1.所以原不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}．错误是由于随意消项造成的，事实上，当(x－2)2＝0时，原不等式亦成立．
(限时30分钟)
一、选择题
1．不等式≥0的解集为(　B　)
A．{x|－1C．{x|－1≤x≤1}　 D．{x|－1 解析：原不等式等价于所以－1≤x<1.
2．不等式<0的解集为(　A　)
A．{x|－1B．{x|1C．{x|2D．{x|－1解析：原不等式等价于所以－13．若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是(　D　)
A．{a|4B．{a|－3C．{a|4D．{a|－3≤a<－2或4解析：原不等式等价为(x－a)(x－1)<0，不等式解集中恰有3个整数，当a>1时，44．设函数y1＝mx2－mx－1，若对于任意的1≤x≤3，y1<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　D　)
A．{m|m≤0}　 B．0≤m<
C．m<0或0解析：函数y1＝mx2－mx－1，若对于任意的1≤x≤3，y1<－m＋4恒成立，即mx2－mx＋m－5<0对于任意的1≤x≤3恒成立，令y2＝mx2－mx＋m－5，当m＝0时，－5<0恒成立．当m<0，x＝1时y2最大，且y2max＝m－5<0，解得m<5，所以m<0.当m>0，x＝3时y2最大，且y2max＝7m－5<0，解得m<，所以0综上所述，实数m的取值范围为m<.
5．产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数解析式是y＝3 000＋20x－0.1x2,0A．100台　 B．120台　　
C．150台　 D．180台
解析：由题意知产量为x台时，总收入为25x万元，欲使生产者不亏本，必须满足总收入大于或等于总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3 000≥0，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．
6．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为(　D　)
A．{a|a<2}　 B．{a|a≤2}
C．{a|－2解析：当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立；当a－2≠0时，解得－2综上，－27．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　C　)
A．－1C．－解析：因为(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
所以不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，解得－8．若y＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是(　A　)
A．m<－2或m>2　 B．－2C．m≠±2　 D．1解析：因为y＝－x2＋mx－1有正值，
所以Δ＝m2－4>0，所以m<－2或m>2.
9．对任意－1≤a≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　B　)
A．{x|13}
C．{x|12}
解析：因为y>0，所以x2＋(a－4)x＋4－2a>0，即(x－2)a＋(x2－4x＋4)>0.设z＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)．
由题意知，所以x<1或x>3.
二、填空题
10．不等式≤0的解集为__{x|x≤－1或3≤x<5}__．
解析：原不等式化为由穿根(引线)法(图略)得x≤－1或3≤x<5.
11．不等式x2＋mx＋>0恒成立的条件是__0解析：x2＋mx＋>0恒成立，等价于Δ<0，即m2－4×<0，解得012．当1解析：设y＝x2＋mx＋4，要使1三、解答题
13．已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．
解：设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则
(1)当对称轴x＝－<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.
综上，a的取值范围为{a|－7≤a≤2}．
14．某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a 千瓦时．本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数解析式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
解：(1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意，有
整理得解此不等式，得0.60≤x≤0.75.
所以当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
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