第2章 意愿二次函数、方程和不等式 综合测试（含解析）

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第二章　章末质量评估
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(　A　)
A．{x|x<1}　 B．{x|－2C．{x|－33}
解析：A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．故选A.
2．下列运用等式的性质，变形不正确的是(　D　)
A．若x＝y，则x＋5＝y＋5　 B．若a＝b，则ac＝bc
C．若＝，则a＝b　 D．若x＝y，则＝
解析：对于选项A，由等式的性质3知，若x＝y，则x＋5＝y＋5，正确；对于选项B，由等式的性质4知，若a＝b，则ac＝bc，正确；对于选项C，由等式的性质4知，若＝，则a＝b，正确；对于选项D，若x＝y，则＝的前提条件为a≠0，故此选项错误．
3．不等式<的解集是(　D　)
A．{x|x<2}　 B．{x|x>2}
C．{x|02}
解析：因为<，得－＝<0，即x(x－2)>0，解得x<0或x>2，故选D.
4．下列命题中是真命题的是(　B　)
A．a＋的最小值是2　 B．a2＋的最小值是2
C．a＋的最大值是2　 D．a2＋的最大值是2
解析：a2＋≥2＝2，当且仅当a＝±1时取等号．而当a>0时a＋有最小值2，当a<0时a＋有最大值－2.
5．若?x∈R，式子都有意义，则实数a的取值范围为(　D　)
A．{a|－22或a<－2}
C．{a|a≤－2或a≥2}　 D．{a|－2≤a≤2}
解析：由题意得不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2.
6．已知x>1，则x＋＋5的最小值为(　B　)
A．－8　 B．8　
C．16　 D．－16
解析：因为x>1，所以x－1>0，x＋＋5＝x－1＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当x＝2时等号成立，故选B.
7．已知P＝，Q＝a2－a＋1，则P，Q的大小关系为(　C　)
A．P>Q　 B．PC．P≤Q　 D．无法确定
解析：P－Q＝－(a2－a＋1)＝＝＝.因为a2＋a＋1＝2＋>0，－a2(a2＋1)≤0，所以≤0，所以P≤Q.
8．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是(　B　)
A．(－2,2)　 B．(－2,2]
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)　 D．(－∞，2)
解析：因为mx2＋2mx－4<2x2＋4x，
所以(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.
显然当m>2时不符合题意．
当m＝2时，4>0，x∈R；当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，解得－2综上所述，－29．已知正实数a，b满足4a＋b＝30，使得＋取最小值时，则实数对(a，b)是(　A　)
A．(5,10)　 B．(6,6)　
C．(10,5)　 D．(7,2)
解析：因为a>0，b>0，所以＋＝(4a＋b)·＝≥(5＋2)＝，当且仅当时取等号，解得故实数对为(5,10)．
10．已知4枝郁金香和5枝丁香的价格小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格大于24元．设2枝郁金香的价格为A元，3枝丁香的价格为B元，则A，B的大小关系为(　A　)
A．A>B　 B．A＝B　
C．A解析：设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x元和y元，由已知，得即不等式①两边同乘4，不等式②两边同乘11，得所以22x＋11y>16x＋20y.所以6x>9y，即2x>3y.故2枝郁金香的价格比3枝丁香的价格贵，即A>B.
11．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2A．{x|x<－或x>}　 B．{x|－3C．{x|－11}
解析：由已知得方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1＝－2，x2＝1，且a<0，所以＝1，＝－2.所以不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a<0可化为x2＋x＋－1>0，即x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1.
12．若0A．a2＋b2>2ab　 B．a<
C．a2＋b2<　 D．b>a2＋b2
解析：由于02ab，故A正确；又a＋b＝1，则00，故C错误；又a2＋b2－b＝(a＋b)2－2ab－b＝1－2ab－b＝a－2ab＝a(1－2b)<0，则b>a2＋b2.故D正确．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．已知m>0，n>0，若m＝＋2，则mn的最小值为__8__.
解析：因为m＝＋2，化简可得mn＝m＋2n≥2，故mn≥8，当且仅当m＝2n＝4时，等号成立，即mn的最小值是8.
14．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④x－2b>y－2a，⑤>这五个不等式中，恒成立的不等式的序号是__②④__.
解析：对于①，由于同向不等式不能相减(或举反例)，故①不正确；对于②，根据同向不等式可以相加，故②正确；对于③，由于x，y，a，b的符号不确定，所以无法判断不等式是否成立，故③不正确；对于④，由a>b，得－2b>－2a，根据同向不等式的可加性知x－2b>y－2a成立，即④正确；对于⑤，由于x，y，a，b的符号均不确定，故不等式不一定成立，即⑤不正确．综上可得②④正确．
15．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类 每件需要人员数 每件产值/万元
A类
7.5
B类
6
今制定计划欲使总产值最高，则应开发A类电子器件__20__件，能使总产值最高为__330__万元．
解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20.由题意得总产值y＝7.5x＋6(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.
16．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是__{a|a≤－4}__．
解析：因为y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)在x＝4时，取最大值－4，所以当a≤－4时，2x2－8x－4≥a在1≤x≤4内存在解．所以a的取值范围是{a|a≤－4}．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知二次函数y＝x2＋2x＋c的图象经过原点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)解不等式y<0.
解：(1)因为y＝x2＋2x＋c的图象经过原点，所以02＋2×0＋c＝0，即c＝0，从而二次函数解析式为y＝x2＋2x.
(2)由y<0，得x2＋2x<0，x(x＋2)<0，解得－218．(12分)当p，q都为正数且p＋q＝1时，试比较代数式(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．
解：(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.
因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p，
所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2≤0.因此(px＋qy)2≤px2＋qy2.
19．(12分)设函数y＝4x2＋ax＋2，不等式y(1)求a的值；
(2)解不等式>0.
解：(1)因为函数y＝4x2＋ax＋2，不等式y(2)不等式转化为(4x＋m)(－4x＋2)>0，
当m＝－2时，不等式的解集为?；
当m<－2时，不等式的解集为当m>－2时，不等式的解集为－20．(12分)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1.
因为x>0，y>0，所以1＝＋≥2＝，则xy≥64.当且仅当即时，等号成立．此时(xy)min＝64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1.
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当即时，等号成立．此时(x＋y)min＝18.
21．(12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
解：(1)因为不等式kx2－2x＋6k<0的解集为{x|x<－3或x>－2}，
所以x1＝－3与x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0(k≠0)的两根，所以－＝＝－3－2，所以k＝－.
(2)若不等式的解集为R，即kx2－2x＋6k<0恒成立，
则满足所以k<－，
所以k的取值范围是k<－.
22．(12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为t(t≥0)万元时，经销A，B商品所获得的收益分别为y1万元与y2万元，其中y1＝t＋1，y2＝如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益．
解：设对B商品投入的资金为x万元(0≤x≤5)，则对A商品投入的资金为(5－x)万元，并设获得的总收益为S万元．
①当0≤x≤3时，y1＝6－x，y2＝，
S＝6－x＋＝17－≤17－6＝11，当且仅当x＋1＝，即x＝2时取等号；
②当3S＝6－x－x2＋9x－12＝－(x－4)2＋10≤10，当x＝4时，取等号．
因为10<11，所以最大总收益为11万元．
故该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得最大总收益，最大总收益为11万元．
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