3.1.2 函数的表示法 同步练习（含答案）

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3.1.2　函数的表示法
课时1　函数的表示法
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)任何一个函数都可以用图象法表示．(　×　)
(2)函数都可以用列表法表示．(　×　)
(3)函数的图象是连续的一条曲线．(　×　)
(4)若f(x＋1)＝x－1，则f(2)＝0.(　√　)
题型1　用表格表示函数
2．给出函数f(x)，g(x)如表，则f(g(2))＝(　D　)
x 1 2 3 4
f(x) 4 3 2 1
x 1 2 3 4
g(x) 1 1 3 3
A.1　 B．2　
C．3　 D．4
3. 已知函数f(x)与g(x)的部分对应值如表所示，则方程f(g(x))＝x＋1的解集是(　A　)
x 1 2 3
g(x) 1 3 2
f(x) 2 3 1
A.{1}　 B．{1,2}　
C．{2}　 D．{1,2,3}
解析：因为f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝1，f(g(1))＝2，f(g(2))＝1，f(g(3))＝3，所以只有f(g(1))＝2满足f(g(x))＝x＋1，故方程f(g(x))＝x＋1的解集是{1}．
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
g(x) 3 2 1
则g(1)＝__3__；当g(f(x))＝2时，x＝__1__.
解析：由表中的对应关系，可得g(1)＝3.由表可知，g(2)＝2，所以f(x)＝2，又由f(1)＝2，所以x的值为1.
题型2　函数的图象及应用
5．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为(　B　)
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A．3　 B．2　
C．1　 D．0
解析：由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.
6．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　C　)
解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得快，故应选C.
7．如图1是某公共汽车线路收支差额y(元)与乘客量x(人)的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案，根据图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义，用文字说明图2方案是__降低成本，票价不变__，图3方案是__增加票价__．
解析：由图1可知，点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为零，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利．对于图2而言，与图1相比，两个一次函数的一次项系数没变，但无人乘车时收支差额变为－10元，差距在减少，则图2的方案是降低成本，票价不变；对于图3而言，与图1相比，图3对应的一次函数一次项系数增大了，但无人乘车时收支差额仍是－20元，则图3的方案是增加票价．
题型3　求函数的解析式
8．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　D　)
A．y＝2x　　　　
B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})　　
D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})
解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.
9．已知f(2x＋1)＝x2－2x，则f(3)＝__－1__.
解析：由2x＋1＝3，得x＝1，所以f(3)＝1－2＝－1.
易错点1　换元时忽略新元的取值范围致错
10. 已知函数f(＋2)＝3x＋＋2，则f(x)＝　3(x－2)2＋＋2，x∈(2，＋∞)　.
解析：令t＝＋2，t>2，则x＝(t－2)2，所以f(t)＝3(t－2)2＋＋2，
所以f(x)＝3(x－2)2＋＋2，x∈(2，＋∞)．
[误区警示]　利用换元法求解析式时，换元时要注意新元的取值范围，否则造成错误结论．
易错点2　忽视函数的定义域致错
11. 已知函数f(x)＝x，g(x)＝，则f(x)·g(x)＝__2x(x>1)__．
解析：易知，函数y＝f(x)的定义域为[1，＋∞)，函数y＝g(x)的定义域为(1，＋∞)．又因为f(x)＝x，g(x)＝，所以f(x)·g(x)＝2x(x>1)．
[误区警示]　两函数相乘后要注意新函数的定义域．
(限时30分钟)
一、选择题
1．函数y＝－的图象的大致形状是(　C　)
解析：因为y＝－＝－|x|<0，故图象全部在x轴下方，只有C符合，故选C.
2．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　D　)
A．y＝20－2x　 B．y＝20－2x(0C．y＝20－2x(5≤x≤10)　 D．y＝20－2x(5解析：由题意得y＋2x＝20，所以y＝20－2x，又2x>y，即2x>20－2x，解得x>5.由y>0，即20－2x>0，得x<10.所以53. 已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝(　A　)
A．－2　 B．2　
C．　 D．6
解析：因为函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，所以a×(－1)3－2×(－1)＝4，所以a＝－2.
4．某学生离家去学校，刚开始匀速步行，路上在文具店买了一套直尺，发现上学时间比较紧张就跑步上学，但由于体能下降跑得越来越慢，终于准时赶到了学校．在图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是(　B　)
解析：注意纵轴表示的是离学校的距离，排除C，D选项；最后一段因为跑得越来越慢，所以只有B选项吻合．
5．y＝|x＋1|－|x－1|的图象为(　A　)

A　　 B
　　
C D
解析：当x≥1时，y＝f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝2；当－1≤x<1时，y＝f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝2x；当x<－1时，y＝f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝－2；所以四个选项中，只有A对应图象符合．
6. 若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝(　B　)
A．3x＋2　 B．3x－2　　
C．2x＋3　 D．2x－3
解析：设f(x)＝ax＋b，由题设有
解得
所以选B.
二、填空题
7. 已知函数f(3x－1)＝6x＋8，则f(x＋1)＝__2x＋12__.
解析：令t＝3x－1，故x＝，所以f(t)＝6×＋8＝2t＋10，所以f(x＋1)＝2(x＋1)＋10＝2x＋12.
8．为了确保神舟飞船发射时的信息安全，信息须加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接受方由密文→明文(解密)，已知加密的方法是：密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母(不论大小写)依次对应1,2,3，…，26这26个自然数(见下表)：
a b c d e f g h i j k l m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n o p q r s t u v w x y z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
通过变换公式：当x∈N＋，x≤26，x不能被2整除时，x→；当x∈N＋，x≤26，x能被2整除时，x→＋13，将明文转换成密文，如8→＋13＝17，即h变换成q；5→＝3，即e变换成c.若按上述规定，若将明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是__love__.
解析：当x∈N＋，x≤26，x不能被2整除时，x→；当x∈N＋，x≤26，x能被2整除时，x→＋13.所以s
对应的19为＝19或＋13＝19，解得：x＝37(舍)或x＝12，所以s对应的字母为l；同理可以求出h对应的字母为o；x对应的字母为v；c对应的字母为e.
三、解答题
9．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小．
(2)求函数f(x)的值域．
解：f(x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示：
(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(1)>f(0)>f(3)．
(2)由图象可知二次函数f(x)的最高点为f(1)＝4，则函数f(x)的值域为(－∞，4]．
10. (1)已知f(1＋2x)＝，求f(x)的解析式；
(2)已知g(x)－3g＝x＋2，求g(x)的解析式．
解：(1)由题意得，f(1＋2x)的定义域为{x|x≠0}．
设t＝1＋2x(t≠1)，则x＝，
所以f(t)＝＝(t≠1)，
所以f(x)＝(x≠1)．
(2)由g(x)－3g＝x＋2，　①
得g－3g(x)＝＋2.　②
①②联立消去g得g(x)＝－－－1.
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