3.1.2 分段函数 同步练习（含答案）

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课时2　分段函数
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)函数f(x)＝是分段函数．(　√　)
(2)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．(　√　)
(3)分段函数是一个函数，且其图象一定是间断的．(　×　)
(4)分段函数的值域是每段函数值域的并集．(　√　)
2．(多选题)下列给出的函数是分段函数的是(　AD　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：因为B，C两个函数的自变量分别在段与段之间有交集，所以B，C不是分段函数；A，D两个函数的自变量分别在段与段之间没有交集，所以A，D是分段函数．
题型1　分段函数求值
3．已知函数f(x)＝则f(3)的值是(　A　)
A．1　 B．2　
C．8　 D．9
解析：因为3<4，故f(3)＝3－2＝1.
4．设f(x)＝则f(f(－1))的值为(　B　)
A．5　 B．6　
C．9　 D．10
解析：因为f(x)＝所以f(－1)＝(－1)2＋1＝2，f(f(－1))＝f(2)＝3×2＝6.
5．已知函数f(x)＝则f(3)＝__2__.
解析：f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(7)＝7－5＝2.
6．函数f(x)＝则f(f(f(－2)))＝__1__.
解析：f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，故f(f(－2))＝f(－1)＝(－1)2＝1，所以f(f(f(－2)))＝f(1)＝12＝1.
题型2　分段函数的定义域、值域
7．已知函数f(x)＝则f(x)的值域是(　D　)
A．R　 B．[0，＋∞)
C．[0,3]　 D．[0,2]∪{3}
解析：当x∈[0,1)时，f(x)∈[0,2)；当x∈[1,2)时，f(x)∈{2}；当x∈[2，＋∞)时，f(x)∈{3}．综上所述：f(x)的值域为[0,2]∪{3}．
8．已知分段函数f(x)＝则函数的定义域为　R　.
解析：分段函数的定义域为每段定义域的并集，所以该函数的定义域为(－∞，－1]∪(－1,2)∪[2，＋∞)＝R.
题型3　分段函数的图象及应用
9．函数f(x)＝|x＋1|－1的图象是(　C　)
解析：由题意，函数f(x)＝|x＋1|－1＝根据一次函数的图象，可得函数f(x)的图象为选项C.
10．已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是__[－2,2]__．
解析：函数图象如图所示：虚线表示y＝－1，函数f(x)在虚线y＝－1及以上的部分中x的取值范围即为不等式f(x)≥－1的解集．由图可知，x的取值范围就是A点横坐标与B点横坐标之间的范围．y＝2x＋3中令y＝－1，得x＝－2，即为A点横坐标．y＝－(x－1)2中令y＝－1，得x＝0或x＝2，所以B点横坐标为2，所以不等式f(x)≥－1的解集为[－2,2]．
11．已知函数f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象．
解：(1)f＝(－2)×＋8＝5，
f＝＋5＝，f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)作出函数f(x)的图象如图所示．
易错点1　忽略对字母取值的讨论致错
12．已知函数f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝__6__.
解析：因为f(x)＝f(a)＝f(a＋1)，当01，则有＝2(a＋1－1)＝2a，解得a＝，符合题意，所以f＝f(4)＝2×(4－1)＝6；当a≥1时，a＋1>1，则有2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解．综上所述，f＝6.
[误区警示]　本题易忽略对a的讨论，从而代入解析式时出错．
易错点2　忽略对所求值的检验致错
13．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝　2或±　.
解析：由f(a)＝得，当a>1时，令1＋＝，解得a＝2；当－1≤a≤1时，令a2＋1＝，解得a＝±；当a<－1时，令2a＋3＝，解得a＝－(舍去)．综上，a＝±或a＝2.
[误区警示]　根据a的取值范围求出a的值，一定要检验该值是否在a的取值范围内，忽视这一点，容易出现错误的结论．
(限时30分钟)
一、选择题
1. 已知函数f(x)＝则f(f(－2))的值为(　B　)
A．4　 B．12　　
C．16　 D．36
解析：因为f(x)＝所以f(－2)＝4，因此f(f(－2))＝f(4)＝12.
2．函数f(x)＝x＋的图象是(　A　)
解析：因为f(x)＝x＋＝所以选A.
3．(多选题)已知函数f(x)＝且f(x0)＝3，则实数x0的值为(　AB　)
A．－1　 B．1
C．或1　 D．－1或－
解析：当x0≥0时，2x0＋1＝3?x0＝1；当x<0时，3x＝3?x＝1?x0＝±1，则x0＝－1.综上所述，x0的值为－1或1.
4．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是(　A　)
A．{2,4,5}　 B．(2,5)　
C．(2,4)　 D．(4,5)
5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　B　)
A．15　 B．25　
C．40　 D．130
解析：由题意，函数y＝
令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故该公司拟录用25人．
6．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为(　A　)
A．－　 B．－
C．－或－　 D．－或
解析：当a>0时，f(1－a)＝f(1＋a)，即为2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)；当a<0时，f(1－a)＝f(1＋a)，即为－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝则f(－3)＝__1__.
解析：因为－3<－2，所以f(－3)＝1.
8．已知f(x)＝则f＋f＝　　.
解析：f＝2×＝，f＝f＋1＝f＋1＝，故f＋f＝.
9．设函数f(x)＝若互不相同的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，且x1解析：函数的图象如图所示，二次函数的对称轴为x＝2，所以x2＋x3＝2×2＝4.
由题得二次函数的最小值为2，所以2三、解答题
10. [2020·阜阳高一检测]设集合A＝，B＝，函数f(x)＝已知m∈A，且f(f(m))∈A，求实数m的取值范围．
解：因为m∈A，所以0≤m<，f(m)＝m＋∈，所以f(f(m))＝2－2＝1－2m.
因为f(f(m))∈A，
所以0≤1－2m<，所以因为0≤m<，所以11．已知函数f(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式．
解：①当x≤－2时，函数f(x)的图象为一条射线，且经过点(－2,0)与点(－4,3)，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将两点的坐标代入，得解得所以此时函数f(x)的解析式为f(x)＝－x－3(x≤－2)．
②当－2③当x≥2时，函数f(x)的图象为一条射线，且经过点(2,2)与点(3,3)，设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将两点的坐标代入，
得解得
所以此时函数f(x)的解析式为f(x)＝x(x≥2)．
综上所述，f(x)＝
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