3.2.1 函数的单调性 同步练习（含答案）

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3.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大(小)值
课时1　函数的单调性
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)若函数f(x)在区间D上是增函数，则在此区间函数值随自变量的增大而增大．(　√　)
(2)已知f(x)＝x2，且f(－2)(3)函数f(x)＝在其定义域上是减函数．(　×　)
(4)若函数f(x)在R上是增函数，且f(x2)>f(x1)，则x2>x1.(　√　)
2．下列函数中，定义域为R的单调递减函数是(　D　)
A．y＝－x2　 B．y＝
C．y＝|x|　 D．y＝－2x＋1
题型1　利用图象求函数的单调区间
3．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　B　)
A．(－∞，1)　 B．(1，＋∞)　
C．(－∞，2)　 D．(2，＋∞)
解析：易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．
4．(多选题)下列函数在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　ABD　)
A．y＝2x＋1　 B．y＝x2＋1
C．y＝3－x　 D．y＝x2＋2x＋1
解析：y＝2x＋1在R上是增函数，故在(0，＋∞)上是增函数；y＝x2＋1的对称轴为x＝0，故在(0，＋∞)上是增函数；y＝x2＋2x＋1的对称轴为x＝－1，在(－1，＋∞)上是增函数，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．
5．函数y＝x(2－x)的递增区间是__(－∞，1]__．
解析：y＝x(2－x)＝－x2＋2x，其图象开口向下，其对称轴是x＝1，故其递增区间是(－∞，1].
题型2　利用定义证明函数的单调性
6．证明f(x)＝x2＋x在(0，＋∞)上是增函数．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，
则f(x1)－f(x2)＝x＋x1－x－x2
＝(x1－x2)(x1＋x2)＋(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2＋1)．
因为x1>x2>0，所以x1－x2>0，x1＋x2＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)＝x2＋x在(0，＋∞)上是增函数．
7．已知函数f(x)＝.用函数单调性的定义证明函数f(x)在区间(－1，＋∞)上是增函数．
证明：任取－1f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为－1所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
题型3　函数单调性的应用
8．定义在(－2,2)上的函数f(x)是增函数，且满足f(1－a)解析：由题设知实数a应满足：解得9．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是__[－1，＋∞)__．
解析：函数f(x)＝的单调减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1，即a的取值范围为[－1，＋∞)．
易错点1　忽略函数单调区间的表示法致错
10．已知函数f(x)的图象如图所示，根据图象有下列三个命题：
①函数f(x)在定义域上是单调递增函数；
②函数f(x)在定义域上不是单调递增函数，但有单调递增区间；
③函数f(x)的单调递增区间是(a，b)∪(b，c)．
其中所有正确的命题的序号有__②__.
解析：由题意以及函数的图象可知：①函数f(x)在定义域上不是单调递增函数，所以①不正确；②函数f(x)在定义域上不是单调递增函数，但有单调递增区间，正确；③函数f(x)的单调递增区间是(a，b)，(b，c)，不能写成(a，b)∪(b，c)，所以③不正确．
[误区警示]　当一个函数有多个单调区间时，不能将它们并在一起书写，而应该在各区间之间用逗号隔开．
易错点2　忽略在自变量分界点处值的大小致错
11．已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是(　C　)
A．
B.
C．
D.∪
解析：由题意得，所以≤a＜.
[误区警示]　分段函数在定义域上增(或减)，要注意在每段上增(或减)，同时还要注意在分界点处函数值的大小关系.
(限时30分钟)
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　B　)
A．y＝5－x　 B．y＝x2＋2
C．y＝　 D．y＝－|x|
解析：选项A，C，D中的函数在(0,2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0,2)上是增函数．
2．已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则(　D　)
A．f(1)C．c>f(1)>f(－2)　 D．f(1)>c>f(－2)
解析：二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为x＝－2，且开口向上，所以在[－2，＋∞)上为增函数，所以f(－2)c>f(－2)．
3．定义在R上的函数f(x)，对于任意的x1，x2∈R，<0都成立，则(　A　)
A．f(2)>f(3)　 B．f(2)≥f(3)
C．f(2)解析：<0，则(x1－x2)<0，则函数为单调减函数，故f(2)>f(3)．
4．(多选题)函数f(x)＝x|x－2|的递增区间为(　AD　)
A．(－∞，1)　 B．(0,2)
C．(1,2)　 D．(2，＋∞)
解析：当x≥2时，f(x)＝x(x－2)＝x2－2x，对称轴为x＝1，此时f(x)为增函数．当x＜2时，f(x)＝－x(x－2)＝－x2＋2x，对称轴为x＝1，抛物线开口向下，当1＜x＜2时，f(x)为减函数，即函数f(x)的单调递减区间为(1,2)．当x≤1时，f(x)为增函数，所以在(－∞，1)上为增函数．
5．已知函数f(x)的定义域为D，区间(m，n)?D，对于任意的x1，x2∈(m，n)且x1≠x2，则“f(x)是(m，n)上的增函数”是“>0”的(　B　)
A．充分不必要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
解析：设x1，x2∈(m，n)，x1>x2，则x1－x2>0.若f(x)是(m，n)上的增函数，则有f(x1)>f(x2)，所以>0成立；若>0，因为x1－x2>0，所以f(x1)>f(x2)，从而f(x)是(m，n)上的增函数．故选B.
6．(多选题)[2020·杭州高一检测]定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有>0，则称函数f(x)为“理想函数”．则下列四个函数能被称为“理想函数”的是(　BD　)
A．f(x)＝1　 B．f(x)＝x2
C．f(x)＝　 D．f(x)＝x2＋x
解析：由>0，在(0，＋∞)内设x1>x2，可得x2f(x1)－x1f(x2)>0，所以x2f(x1)>x1f(x2)，所以>，所以函数y＝在(0，＋∞)上单调递增．A中y＝＝，而这个函数在(0，＋∞)为减函数，与函数y＝在(0，＋∞)上单调递增矛盾，所以A不正确；B中y＝＝x，所以函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，符合“理想函数”的定义，所以B正确；C中y＝＝，在(0，＋∞)为减函数，与题意矛盾，所以C不正确；D中y＝＝x＋1，在(0，＋∞)为增函数，符合题意，所以D正确．故选BD.
二、填空题
7．函数f(x)＝x|x|－4x的单调递增区间是__(－∞，－2]和[2，＋∞)__．
解析：当x≥0时，f(x)＝x2－4x，在区间[0,2]上单调递减，在区间[2，＋∞)上单调递增；当x＜0时，f(x)＝－x2－4x，在区间(－∞，－2]上单调递增，在区间[－2,0)上单调递减．故函数f(x)的增区间为[2，＋∞)和(－∞，－2].
8．已知函数f(x)在区间[－1,1]上是单调函数且f(0)解析：由题意知函数f(x)在区间[－1,1]上是单调增函数，所以不等式f(x)9．若函数f(x)＝x2－ax在区间[1,2]上是增函数，g(x)＝在区间[1,2]上是减函数，则实数a的取值范围是__(－∞，1)__．
解析：根据题意，函数f(x)＝x2－ax为二次函数，其对称轴为x＝，若f(x)在区间[1,2]上是增函数，则≤1，解得a≤2.g(x)＝，若a>0，则g(x)相当于由函数y＝向右平移了a个单位得到的，则g(x)在区间[1,2]上是减函数，必有a>2或0三、解答题
10．已知函数f(x)＝
(1)若f(2)＝f(1)，求a的值；
(2)若f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(2)＝f(1)，所以22＝4－－1，所以a＝－2.
(2)因为f(x)是R上的增函数，所以解得4≤a<8.因此a的取值范围为[4,8)．
11．设函数f(x)＝－x.
(1)试写出函数f(x)的单调区间，并对于x>0的情况用函数单调性的定义给予证明；
(2)解不等式f(x)≥1.
解：(1)函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
下面证明函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性．任取x1>x2>0，则
f(x1)－f(x2)＝－x1－＋x2
＝(x2－x1)＋－
＝(x2－x1)＋＝(x2－x1).
因为x1>x2>0，所以x2－x1<0,1＋>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)因此，函数f(x)＝－x在区间(0，＋∞)上为减函数．
(2)由f(x)≥1得，－x≥1，即x＋1－≤0，即≤0.
当x>0时，则x2＋x－2≤0，解得－2≤x≤1，此时0当x<0时，则x2＋x－2≥0，解得x≤－2或x≥1，此时x≤－2.
综上所述，不等式f(x)≥1的解集为(－∞，－2]∪(0,1]．
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