3.2.1 函数的最大值、最小值 同步练习（含答案）

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课时2　函数的最大值、最小值
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值．(　×　)
(2)对于函数f(x)在闭区间内一定存在最大值和最小值．(　√　)
(3)任意函数一定会存在最值．(　×　)
(4)若函数有最值，则最值一定在其值域内．(　√　)
题型1　利用单调性求函数最值
2．函数f(x)＝－2x＋1，x∈[－2,2]的最小、最大值分别为(　B　)
A．3,5　 B．－3,5　
C．1,5　 D．－5,3
3．函数f(x)＝在区间[2,6]上的最大值为(　A　)
A．1　 B．－　
C．－1　 D．
解析：根据题意，函数f(x)＝在区间[2,6]上单调递减，所以当x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝1.
4．函数y＝x2＋的值域是(　A　)
A．　 B．
C．　 D．
解析：函数y＝x2＋在为单调递减函数，当x＝－时ymin＝－，无最大值，所以值域为.
5．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　C　)
A．2　 B．－2　　
C．2或－2　 D．0
解析：当a＞0时，y＝ax＋1在[1,2]上是增函数，所以2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a＜0时，y＝ax＋1在[1,2]上是减函数，所以a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.综上a＝±2.
6．已知函数f(x)＝3x＋1，则f(x)在区间[－1,2]上的最大值是__7__.
解析：因为f(x)＝3x＋1在区间[－1,2]上为增函数，最大值为f(2)＝3×2＋1＝7.
题型2　二次函数最值
7．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是(　B　)
A．10,5　 B．10,1　
C．5,1　 D．12,5
解析：因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.
8．已知函数f(x)＝x2－2x在区间[－1，t]上的最大值为3，则实数t的取值范围是(　D　)
A．(1,3]　 B．[1,3]
C．[－1,3]　 D．(－1,3]
解析：函数f(x)＝x2－2x的对称轴为x＝1，开口向上，而且f(－1)＝3，函数f(x)＝x2－2x在区间[－1，t]上的最大值为3，又f(3)＝9－6＝3，则实数t的取值范围是(－1,3]．
9．函数f(x)＝x2－2x－1，x∈(－1,2]的值域是__[－2,2)__．
解析：函数f(x)＝x2－2x－1的对称轴为x＝1，函数f(x)＝x2－2x－1在(－1,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，f(x)≥f(1)＝1－2－1＝－2，f(x)10．若函数f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m的值为__6__.
解析：函数f(x)＝x2－6x＋m的对称轴是直线x＝3，开口向上，所以函数f(x)在[2,3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x＝3处取得最小值，由f(3)＝32－6×3＋m＝－3，解得m＝6，故实数m的值为6.
题型3　函数最值的实际应用
11．某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价发愁．进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表：
销售单位/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
根据以上信息，你认为该经营部定价为多少才能获得最大利润？(　D　)
A．每桶8.5元　 B．每桶9.5元　　
C．每桶10.5元　 D．每桶11.5元
解析：通过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，设每桶水的价格为(6＋x)元(0≤x＜13)，公司日利润为y元，则y＝(6＋x－5)(480－40x)－200＝－40x2＋440x＋280(0≤x＜13)．因为－40＜0，所以当x＝＝5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为6＋5.5＝11.5(元)，公司日利润最大．
12．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若公司在两地共销售15辆，则能获得最大利润(　A　)
A．120万元　 B．120.25万元
C．114万元　 D．118万元
解析：设该公司在甲地销售x辆品牌车，则在乙地销售品牌车(15－x)辆，所以利润L＝L1＋L2＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋(1≤x≤15，x∈N*)．因为x∈N*，所以x＝9或x＝10时，Lmax＝120万元．
13．在如图所示的三角形空地中，欲建一个如图所示的内接矩形花园(阴影部分)，则该矩形花园的面积的最大值为(　C　)
A．120　 B．210
C．225　 D．300
解析：设矩形的长为x，宽为y，则以长为底的三角形和该锐角三角形相似，可得＝?y＝30－x，则矩形面积S＝xy＝x(30－x)＝－(x－15)2＋225，当矩形长x＝15时，面积S最大，为225.
易错点1　对新定义不理解致错
14．定义min{a，b}＝设函数f(x)＝min{－x2＋2x＋5，x＋3}，则f(1)＝__4__；f(x)的最大值为__5__.
解析：函数f(x)＝min{－x2＋2x＋5，x＋3}＝
画出函数f(x)的图象如图所示．
联立y＝－x2＋2x＋5，y＝x＋3得
A(－1,2)，B(2,5)，
则f(x)的最大值为5，f(1)＝4.
[误区警示]　对新定义不理解，致使函数f(x)的解析式求错，导致得到错误的结论．
易错点2　忽略对字母的讨论致错
15．已知函数f(x)＝(a>0)，x∈(0，b)，则下列判断正确的是(　A　)
A．当b>时，f(x)的最小值为2
B．当0C．当0D．对任意的b>0，f(x)的最小值为2
解析：因为f(x)＝＝x＋在(0，]上递减，在[，＋∞)上单调递增，所以当b>时，f(x)＝＝x＋，x∈(0，b)在x＝时有最小值f()＝2；当0[误区警示]　当函数式中含有字母时，字母的取值若影响到问题的解决，要对字母进行讨论，如本题，b与的大小影响函数的单调区间，故应对字母b的取值范围讨论．
(限时30分钟)
一、选择题
1．函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为(　C　)
A．f(2)，f(－2)　 B．f，f(－1)
C．f，f　 D．f，f(0)
2．函数y＝－2x2－2x＋12(－4≤x≤1)的最大值为(　C　)
A．－12　 B．8　
C．　 D．
3．“f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的(　A　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件
解析：充分性成立但必要性不一定成立，连续函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值但可能不单调．
4．已知函数f(x)＝≥a在区间[3,5]上恒成立，则实数a的最大值是(　D　)
A．3　 B．　
C．　 D．
解析：因为f(x)＝＝＝2＋，所以函数f(x)在[3,5]上单调递减，函数f(x)的最小值为f(5)＝，所以a≤，所以a的最大值是.
5．加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　B　)
A．3.50分钟　 B．3.75分钟
C．4.00分钟　 D．4.25分钟
解析：由图形可知，三点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)都在函数p＝at2＋bt＋c的图象上，所以解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.22＋.因为t>0，所以当t＝＝3.75时，p取最大值，故此时的t＝3.75分钟为最佳加工时间．
6．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　D　)
A．[1，＋∞)　 B．[0,2]
C．(－∞，2]　 D．[1,2]
解析：由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2；当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象(图略)知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.
二、填空题
7．已知函数f(x)在区间[－1,2]上递增，在区间[2,5]上递减．
①f(0)②f(0)＝f(3)；
③f(x)在区间[－1,5]上的最大值是f(2)；
④f(x)在区间[－1,5]上的最小值是f(5)．
上述命题中，所有正确的序号有__①③__.
解析：①因为函数f(x)在区间[－1,2]上递增，在区间[2,5]上递减，且0<2，所以f(0)8．函数y＝|x＋1|在区间[－2,2]上的最大值为__3__.
解析：因为函数y＝f(x)＝|x＋1|在[－2，－1]为减函数，在[－1,2]为增函数，又f(－2)＝|－2＋1|＝1，f(2)＝|2＋1|＝3,3>1，所以函数在区间[－2,2]上的最大值为3.
9．设函数f(x)＝
①若a＝0，则f(x)的最大值为__0__；
②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是__(－∞，0)__．
解析：①若a＝0，则f(x)＝当x≤0时，f(x)＝x3，此时函数为增函数；当x>0时，f(x)＝－2x，此时函数为减函数，故当x＝0时，f(x)的最大值为f(0)＝0.
②当a>0时，f(x)＝的图象如图1所示：
　　
图1 图2
由图可知存在最大值；
当a<0时，f(x)＝的图象如图2所示：
由图可知此时不存在最大值；
由①知当a＝0时，函数f(x)有最大值，
综上所述，若f(x)无最大值，则a<0.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2＋.
(1)试判断f(x)在区间(2，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明；
(2)求函数f(x)在区间[2,3]上的最值．
解：(1)f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝x＋－x－
＝(x1－x2).
因为x1－x2<0，x1＋x2>4，(x1－1)(x2－1)>1，
所以(x1＋x2)－>0，
所以f(x1)(2)函数f(x)在区间[2,3]上单调递增，
所以f(x)max＝f(3)＝，f(x)min＝f(2)＝4.
11．设函数f(x)＝1＋，且f(1)＝2.
(1)求m的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明；
(3)若x∈[2,5]，求值域．
解：(1)由f(1)＝2，得1＋m＝2，m＝1.
(2)f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
证明如下：由(1)知，f(x)＝1＋，设0因为00，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(3)由于函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)max＝f(2)＝1＋＝，
f(x)min＝f(5)＝1＋＝，
所以函数的值域为.
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