3.2.2 函数奇偶性的概念 同步练习（含答案）

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3.2.2　奇偶性
课时1　函数奇偶性的概念
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)关于y轴对称的图形都是偶函数的图象．(　×　)
(2)若f(x)是奇函数，f(1)＝2，则f(－1)＝－2.(　√　)
(3)存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(　√　)
(4)有些函数既非奇函数，又非偶函数．(　√　)
2．函数f(x)＝()2是(　D　)
A．奇函数　 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数　 D．非奇非偶函数
解析：函数f(x)的定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．
题型1　函数奇偶性的判断
3．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是(　D　)
A．f(－x)＋f(x)＝0　　
B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(－x)·f(x)≤0　　
D.＝－1
解析：由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)①，由此可推出A，B，C正确，由于f(－x)可能为0，由①不能推出D.
4．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝x|x|.
解：(1)函数的定义域为R，
又因为f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(2)函数的定义域为R，又因为f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
题型2　奇偶函数的图象问题
5．下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是(　B　)
解析：A，D不是函数；C不关于原点对称．
6．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　B　)
解析：根据奇偶函数图象的特点，可判断B选项正确．
7．如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
解：因为函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图象如图所示，由图象可知f(1)＜f(3)．
题型3　函数奇偶性定义的应用
8．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于(　A　)
A．－1　 B．1　
C．0　 D．2
解析：因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1.
9．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于(　A　)
A．－3　 B．－1　
C．1　 D．3
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，所以f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
10．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝　　.
解析：根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
易错点1　忽略函数的定义域致错
11．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝|x＋b|－|x－b|；
(3)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]．
解：(1)因为f(x)的定义域为{2}，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
①当b≠0时，f(－x)＝|－x＋b|－|－x－b|＝|x－b|－|x＋b|＝－(|x＋b|－|x－b|)＝－f(x)．
②当b＝0时，f(x)＝|x|－|x|＝0，所以－f(x)＝0.
又因为f(－x)＝|－x|－|－x|＝0，
所以f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)．
综上可知，当b≠0时，函数f(x)是奇函数；当b＝0时，函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)因为f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
[误区警示]　判断函数的奇偶性之前，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，在对称的前提下才能判断函数的奇偶性，否则函数不具有奇偶性．
易错点2　忽略解析式中字母的取值致错
12．已知函数f(x)＝2x2＋(x－a)2，判断f(x)的奇偶性．
解：当a＝0时，f(x)＝2x2＋(x－0)2＝3x2，满足f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数；
当a≠0时，f(－x)＝2x2＋(－x－a)2＝2x2＋(x＋a)2，即f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，所以f(x)为非奇非偶函数．
综上，当a＝0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．
[误区警示]　当函数式中含有字母时，要对字母的取值或范围讨论，否则会得出错误的结论．
(限时30分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝2x－的图象关于(　D　)
A．y轴对称　 B．直线y＝－x对称
C．直线y＝x对称　 D．坐标原点对称
解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(－x)＝－2x＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，则函数f(x)＝2x－的图象关于坐标原点对称．
2．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有(　B　)
A．f(x)f(－x)>0　 B．f(x)f(－x)<0
C．f(x)f(－x)
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
又f(x)≠0，所以f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.
3．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为(　A　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析：f(x)的定义域为R，对于任意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
4．已知函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(－1)＝(　C　)
A．－3　 B．－1　
C．1　 D．2
解析：由题意，可知函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(－1)＝－f(1)＝－(12－2×1)＝1.
5．已知函数f(x)＝设F(x)＝x2·f(x)，则F(x)是(　B　)
A．奇函数，在(－∞，＋∞)上单调递减
B．奇函数，在(－∞，＋∞)上单调递增
C．偶函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增
D．偶函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减
解析：由题意得f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又F(x)＝x2·f(x)，所以F(－x)＝(－x)2·f(－x)＝－x2·f(x)＝－F(x)，所以F(x)是奇函数，可排除C，D.又F(x)＝x2·f(x)＝所以F(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
6．已知函数f(x)＝ax3－bx－3，若f(－1)＝7，则f(1)＝(　C　)
A．－7　 B．7　
C．－13　 D．13
解析：由题意得，函数f(x)＝ax3－bx－3，令g(x)＝f(x)＋3＝ax3－bx，则可知g(x)定义域为R且关于原点对称，且满足g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(－1)＝－g(1)，即f(－1)＋3＝－，已知f(－1)＝7，解得f(1)＝－13.
二、填空题
7．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是__0__.
解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
8．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为__[－6，－3)∪(0,3)__.
解析：由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．
9．若函数f(x)＝＋为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为__(1，＋∞)__．
解析：因为函数f(x)＝＋为偶函数且非奇函数，所以f(－x)＝f(x)且f(－x)≠－f(x)．
又因为所以a≥1.当a＝1时，函数f(x)＝＋为偶函数且为奇函数，故a>1.
三、解答题
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝.
解：(1)函数的定义域为R.因为f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，即1－m＝－(－1＋2)，解得m＝2.
经检验当m＝2时函数f(x)是奇函数．
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(图略)知所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
12．已知函数f(x)＝|x|＋－3(m∈R，x≠0)．
(1)判断函数y＝f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若对于任意的x∈[1,4]，f(x)≥－1恒成立，求满足条件的实数m的最小值M.
解：(1)①当m＝1时，f(x)＝|x|－3，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
因为f(－x)＝|－x|－3＝|x|－3＝f(x)，
所以f(x)为偶函数；
②当m≠1时，f(1)＝m－3，f(－1)＝－m－1，f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1)，
所以既不是奇函数也不是偶函数．
(2)对于任意的x∈[1,4]，f(x)≥－1，即x＋－3≥－1恒成立，所以m－1≥－x2＋2x对任意的x∈[1,4]都成立．
设g(x)＝－x2＋2x，x∈[1,4]，
则g(x)在区间[1,4]上单调递减，
所以x＝1时，g(x)取得最大值1，
所以m－1≥1，即m≥2.所以M＝2.
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