3.2.2函数奇偶性的应用 同步练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
课时2　函数奇偶性的应用
题型1　利用奇偶性求函数解析式
1．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于(　D　)
A．x2　 B．2x2　
C．2x2＋2　 D．x2＋1
解析：因为f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1①，所以f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，所以f(x)－g(x)＝x2－3x＋1②.由①②联立，得f(x)＝x2＋1.
2．已知偶函数f(x)在x>0时的解析式为f(x)＝x3＋x2，则x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝__－x3＋x2__.
解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)3＋(－x)2＝－x3＋x2.因为函数y＝f(x)为偶函数，所以x<0时，f(x)＝f(－x)＝－x3＋x2.
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋x，则函数f(x)的解析式为f(x)＝　　.
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0；当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋(－x)]＝－(x2－x)＝－x2＋x，所以f(x)＝
题型2　利用奇偶性、单调性比较大小
4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则(　A　)
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定
解析：因为x1<0且x1＋x2>0，所以x2>－x1>0.又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以f(x2)5．若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是(　B　)
A．f(－3)>f(0)>f(1)　 B．f(－3)>f(1)>f(0)
C．f(1)>f(0)>f(－3)　 D．f(1)>f(－3)>f(0)
解析：因为f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(－3)>f(1)>f(0)．
6．(多选题)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则下列关系式中，正确的是(　BC　)
A．f(5)>f(－5)　 B．f(4)C．f(－2)>f(2)　 D．f(－8)＝f(8)
解析：因为f(x)为奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，又－2<2，所以f(－2)>f(2)．又4>3，所以f(4)7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)是增函数，设a＝f(－3)，b＝f(π)，c＝f(－1)，则a，b，c的大小关系是(　D　)
A．aC．b解析：由于f(x)是偶函数，故a＝f(－3)＝f(3)，c＝f(－1)＝f(1)．由于f(x)在(0，＋∞)是增函数，所以f(1)题型3　利用奇偶性和单调性解不等式
8．设定义在R上的函数y＝f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，0)上为增函数，f(－1)＝0，则不等式f(x)>0的解集为(　B　)
A．(－∞，－1)∪(0,1)　 B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)　 D．(1，＋∞)
解析：因为定义在R上的函数y＝f(x)是奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上为增函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝0.
当x<0时，由f(x)>0得f(x)>f(－1)，所以－1当x＝0时，f(x)>0不成立；
当x>0时，由f(x)>0得f(x)>f(1)，所以x>1.
综上所述，不等式f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
9．已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且为减函数，若f(m－1)＋f(1－2m)>0，则实数m的取值范围为(　C　)
A．(0，＋∞)　 B．(－1,3)
C．　 D．
解析：因为f(m－1)＋f(1－2m)>0.
所以f(m－1)>－f(1－2m)＝f(2m－1)．
由题意知所以
所以010．已知偶函数f(x)是区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)解析：因为f(x)为偶函数，所以f(2x－1)11．f(x)是定义在[－2,2]上的偶函数，且f(x)在[0,2]上单调递减，若f(1－m)解：因为f(x)在[0,2]上单调递减，且f(x)是定义在[－2,2]上的偶函数，故f(x)在[－2,0]上单调递增，故不等式f(1－m)即实数m的取值范围为.
易错点1　忽略函数的定义域致错
12．已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是(　A　)
A．　 B．
C．(1,3)　 D．
解析：因为f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，f(m－2)＋f(2m－3)>0可转化为f(m－2)>－f(2m－3)＝f(3－2m)，
又f(x)是减函数，
所以解得1[误区警示]　抽象函数不等式问题，在利用单调性去“f”时，要注意自变量的取值范围．
易错点2　忽视偶函数的对称性致错
13．已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且当x>0时，f(x)单调递增，则关于x的不等式f(x－1)>f的解集为　∪　.
解析：根据偶函数的性质，由f(x－1)>f，得f(|x－1|)>f.又因为x>0时，函数f(x)单调递增，所以解得≤x<或f的解集为∪.
[误区警示]　偶函数的单调性解决不等式问题，要注意f(|x|)＝f(x)的转化．
(限时30分钟)
一、选择题
1．(多选题)下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是(　AD　)
A．y＝|x|　 B．y＝1－x
C．y＝　 D．y＝x2＋4
解析：选项B中，函数不具备奇偶性；选项C中，函数是奇函数；选项A，D中的函数是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增．故选AD.
2．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函数，则在区间(－∞，0]上，f(x)(　A　)
A．可能是增函数，也可能是常函数
B．是增函数
C．是常函数
D．是减函数
解析：因为f(x)是偶函数，所以m＝±1.当m＝1时，f(x)＝1是常函数；当m＝－1时，f(x)＝－2x2＋1在(－∞，0]上是增函数．
3．设f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若m<0且m＋n>0，则(　A　)
A．f(n)＋f(m)<0
B．f(n)＋f(m)＝0
C．f(n)＋f(m)>0
D．f(n)＋f(m)的符号不确定
解析：由m<0且m＋n>0得，n>－m>0.因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以f(n)4．若函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是R上的偶函数，则f(－1)，f(－)，f()的大小关系为(　B　)
A．f()>f(－)>f(－1)
B．f()C．f(－)D．f(－1)解析：因为函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是R上的偶函数，所以f(－x)＝(m－1)x2－2mx＋3＝f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3，所以m＝0，即f(x)＝－x2＋3.所以当x<0时，函数f(x)为增函数，所以f(－1)>f(－)>f(－)＝f()．即f()5．已知函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则当x＜0时，f(x)的解析式是(　A　)
A．f(x)＝－x(x＋2)　　
B．f(x)＝x(x－2)
C．f(x)＝－x(x－2)　　
D．f(x)＝x(x＋2)
解析：因为函数y＝f(x)在x≥0时，f(x)＝x2－2x，所以当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.因为函数是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝－x2－2x.
6．偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝－1，f(－1)＝0，则满足－1≤f(x－2)≤0的x的取值范围是(　D　)
A．[－2,2]　 B．[－1,1]
C．[0,4]　 D．[1,3]
解析：由于函数y＝f(x)是偶函数，且f(0)＝－1，f(－1)＝0，则f(1)＝0，且f(x)＝f(|x|)，由－1≤f(x－2)≤0，得f(0)≤f(x－2)≤f(－1)，则f(0)≤f(|x－2|)≤f(1)，由于函数y＝f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则0≤|x－2|≤1，即|x－2|≤1，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，因此，满足－1≤f(x－2)≤0的x的取值范围是[1,3]．
二、填空题
7．已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－4x＋1，写出分段函数f(x)的解析式
　f(x)＝　.
解析：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0.若x<0，则－x>0，所以，f(－x)＝4x＋1＝－f(x)，即f(x)＝－4x－1，
故f(x)＝
8．若函数f(x)在(0,2)上是增函数，函数f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f，的大小关系是　f解析：因为函数y＝f(x)在(0,2)上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，所以函数y＝f(x)在(2,4)上单调递减，且在(0,4)上函数y＝f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，即f(1)＝f(3)，因为f9．已知f(x)为定义在R上的奇函数，g(x)＝f(x)－x，且对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，当x1解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以g(x)＝f(x)－x也为定义在R上的奇函数．因为对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，当x1三、解答题
10．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x＋x2.
(1)当x>0时，求f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝2m＋1有三个不相等的实根，求m的取值范围．
解：(1)当x>0时，－x<0，
所以f(－x)＝－2x＋x2，又f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝2x－x2.
所以当x>0时，f(x)＝2x－x2.
(2)f(x)＝
作出f(x)的函数图象如图所示：
因为关于x的方程f(x)＝2m＋1有三个不相等的实根，
所以－1<2m＋1<1，解得－1所以m的取值范围为(－1,0)．
11．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
解：因为f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
所以由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得
f(1－x)<－f(1－2x)，所以f(1－x)又因为f(x)在(－1,1)上是减函数，
所以解得0所以原不等式的解集为.
12．设函数f(x)是R上的增函数，对任意x，y∈R，都有yf(x)－xf(y)＝xy(x2－y2)．
(1)求f(0)；
(2)求证：f(x)是奇函数；
(3)若f(x2＋1)＋f(3x－5)<0，求实数x的取值范围．
解：(1)对任意x，y∈R，都有yf(x)－xf(y)＝xy(x2－y2)，令x＝1，y＝0，可得0－f(0)＝0，即f(0)＝0.
(2)证明：对任意x，y∈R，都有yf(x)－xf(y)＝xy(x2－y2)，
令y＝－x，可得－xf(x)－xf(－x)＝－x2(x2－x2)，
可得－x[f(x)＋f(－x)]＝0，由x∈R，可得f(－x)＝－f(x)，
即f(x)为奇函数．
(3)奇函数f(x)是R上的增函数．
由f(x2＋1)＋f(3x－5)<0，即f(1＋x2)得1＋x2<5－3x，解得－4所以实数x的取值范围为(－4,1)．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_