3.3 幂函数 同步练习（含答案）

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3.3　幂函数
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)函数f(x)＝－x2是幂函数．(　×　)
(2)幂函数f(x)＝x是偶函数．(　×　)
(3)幂函数f(x)＝在定义域上是减函数．(　×　)
(4)幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)点．(　×　)
2．下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　B　)
A．1　 B．2　
C．3　 D．4
解析：②⑦指数为变量不是常数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．
题型1　与幂函数的概念有关问题
3．在函数y＝，y＝2x3，y＝－1，y＝x0中，幂函数的个数是(　C　)
A．0　 B．1　
C．2　 D．3
解析：根据幂函数的特征，可以判断y＝＝x－2，y＝x0是幂函数．
4．已知幂函数f(x)＝xα过点(9,3)，则f(x)的解析式是(　B　)
A．f(x)＝x2　 B．f(x)＝x
C．f(x)＝2x　 D．f(x)＝2x
解析：由题意得3＝9α，解得α＝，故选B.
5．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α组成的集合为(　B　)
A．{－1,1}　 B．{1,3}
C．　 D．{－1,3}
解析：y＝x1，y＝x3的定义域为R，且为奇函数．
题型2　幂函数的图象及应用
6．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　B　)
　　　
A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
解析：因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出③为y＝x，④为y＝x－1，选项B正确．
7．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　B　)
A．－1C．－11　 D．n<－1，m>1
解析：如图，作直线y＝x，并在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”，故0题型3　幂函数性质的应用
8．(多选题)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2,4)，则在定义域内(　BC　)
A．为增函数　 B．为偶函数
C．有最小值　 D．有最大值
解析：设幂函数f(x)＝xα，由f(－2)＝4，
得(－2)α＝4＝(－2)2，所以α＝2，
即f(x)＝x2，则在定义域内有最小值0，且为偶函数．
9．(多选题)下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的是(　ABD　)
A．y＝x　 B．y＝x2
C．y＝x－1　 D．y＝x5
解析：只有y＝x－1不过点(0,0)，其余函数都经过(0,1)，(1,1)点．
10．已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2，且f(2)>f(3)，则实数k的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．
解析：由f(2)>f(3)可知－k2＋k＋2<0，即k2－k－2>0，所以(k－2)(k＋1)>0，解得k>2或k<－1.
易错点1　忽略自变量的取值范围致错
11．若(x＋1)－2>(3－2x)－2，求x的取值范围．
解：设f(x)＝x－2，则f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，由(x＋1)－2>(3－2x)－2知(|x＋1|)－2>(|3－2x|)－2，
所以解得
即x的范围是(－∞，－1)∪∪(4，＋∞)．
[误区警示]　对于偶函数不等式问题，要注意f(x)＝f(|x|)的应用，避免对x的讨论．
易错点2　忽视幂函数图象特点致错
12．函数f(x)＝(m2＋3m＋1)xm2＋m－1是幂函数，且其图象过原点，则m＝__－3__.
解析：因为函数f(x)＝(m2＋3m＋1)xm2＋m－1是幂函数，所以m2＋3m＋1＝1，解得m＝0或－3.当m＝0时，f(x)＝x－1，其图象不过原点，应舍去；当m＝－3时，f(x)＝x5，其图象过原点．所以m＝－3.
[误区警示]　根据幂函数的概念求出参数的取值后，要代入检验，根据图象的特点，确定参数的取值．
(限时30分钟)
一、选择题
1．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，)，则f(4)的值为(　C　)
A．　 B．1　
C．2　 D．8
解析：因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，)，所以＝2α，解得α＝，所以f(x)＝x，f(4)＝4＝2.
2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是(　C　)
A．y＝x　 B．y＝x－2　　
C．y＝x4　 D．y＝x－3
解析：设幂函数y＝xα，由于经过(0,0)，(1,1)，则α>0，故排除选项BD，对于选项A，定义域为[0，＋∞)，故不是偶函数；对于选项C，(－x)4＝x4，是偶函数．故选C.
3．已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为(　A　)
A．1,3　 B．－1,1
C．－1,3　 D．－1,1,3
解析：当α＝－1时，y＝x－1＝，为奇函数，但值域为{y|y≠0}，不满足条件．当α＝1时，y＝x，为奇函数，值域为R，满足条件．当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为{y|y≥0}，不满足条件．当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R，满足条件．
4．若幂函数y＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3的定义域为{x∈R|x≠0}，则m的取值是(　D　)
A．－1≤m≤3　 B．m＝－1或m＝3
C．m＝－1　 D．m＝3
解析：由已知得?
?m＝3.
5．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　C　)
解析：当a<0时，函数y＝ax－在R上是减函数，与y轴相交于点，此点在y轴的正半轴上，只有选项B适合；但此时函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，所以选项B不适合．当a>0时，函数y＝ax－在R上是增函数，与y轴相交于点，此点在y轴的负半轴上，只有选项A，C适合，此时函数y＝xa在(0，＋∞)上是增函数，进一步判断只有选项C适合．
二、填空题
6．幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则函数g(x)＝af(x－3)＋1(a∈R，a≠0)的图象经过定点__(3,1)__．
解析：因为幂函数f(x)＝xα过点(4,2)，可解得α＝，所以f(x)＝x，故g(x)＝a(x－3)＋1，
当x＝3时，g(3)＝a×0＋1＝1，故g(x)恒过定点(3,1)．
7．幂函数y＝m2·xm2－2m在(0，＋∞)上为减函数，则实数m＝__1__.
解析：因为函数y＝m2·xm2－2m为幂函数，所以m2＝1，解得m＝±1.又y＝m2·xm2－2m在(0，＋∞)上为减函数，所以m2－2m<0，解得08．已知幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，且满足f(3)解析：因为f(x)为幂函数，所以2m－1＝1，解得m＝1.
又f(3)0，
解得－1因为n∈Z，所以n＝0或1.
当n＝0时，f(x)＝x3，此时f(x)为奇函数，不合题意；
当n＝1时，f(x)＝x2，满足题意，所以n＝1，所以m＋n＝2.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(m2－3m＋3)x是幂函数．
(1)求m的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解： (1)根据题意得
即所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x＝，x∈R.
因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)在R上是奇函数．
10．已知f(x)＝(m2－m－1)x－5m－1是幂函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
(1)求m的值；
(2)解不等式f(x－2)>16.
解：(1)因为函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－1是幂函数，
所以m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，函数f(x)＝x－5×2－1＝x－11，此时函数在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；
当m＝－1时，函数f(x)＝x－5×(－1)－1＝x4，此时函数在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．
综上可得，实数m的值为－1.
(2)由(1)知，函数f(x)＝x4，
又由不等式f(x－2)>16，即(x－2)4>16，即x－2>2或x－2<－2，解得x>4或x<0，
即不等式的解集为(－∞，0)∪(4，＋∞)．
11．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)内是单调递增函数．
(1)求m的值和函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在(－∞，0)上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
解：(1)因为幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，
所以－m2＋2m＋3>0，且－m2＋2m＋3为偶数，
解得m＝1，所以f(x)＝x4.
(2)f(x)在(－∞，0)上是减函数．
证明：设?x1，x2∈(－∞，0)，且x1f(x2)－f(x1)＝x－x＝(x＋x)(x2＋x1)(x2－x1)．
因为x＋x>0，x1＋x2<0，x2－x1>0，
所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)所以f(x)＝x4在(－∞，0)上是减函数．
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