3.4　函数的应用(一)

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3.4　函数的应用(一)
题型1　一次函数模型
1．一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式为(　D　)
A．y＝2t　 B．y＝120t
C．y＝2t(t≥0)　 D．y＝120t(t≥0)
解析：因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式为y＝120t(t≥0)．
2．某厂日产拖把总成本y(元)与拖把日产量x(把)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而拖把出厂价格为每把10元，该厂为了不亏本，日产拖把至少为(　D　)
A．200 把　 B．400把
C．600把　 D．800把
解析：由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产拖把至少800把才不亏本．
3．列车从A地出发直达500 km外的B地，途中要经过离A地300 km的C地，假设列车匀速前进，5 h后从A地到达B地，则列车与C地距离y(单位：km)与行驶时间t(单位：h)的函数图象为(　C　)
解析：因为列车匀速前进，所以列车行驶速度
v＝＝100(km/h)，
所以列车＝3(h)后到达C地，此时距离C地0 km，即函数图象经过点(3,0)，由此可排除A，B，D，知C正确．
题型2　幂函数与二次函数模型
4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为(　B　)
A．30元　 B．42元　　
C．54元　 D．越高越好
解析：设每天的销售利润为y元，则y＝(x－30)(162－3x)，30≤x≤54，将上式配方后得y＝－3(x－42)2＋432，当x＝42时，y取得最大值．故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润．
5．为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数解析式可近似的表示为：y＝x2－200x＋40 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？
解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为＝x＋－200，x∈(0,300]．
因为x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝200时，才能使每吨的平均处理成本最低．
(2)设该单位每月获利为S(元)，则
S＝300x－y＝300x－(x2－200x＋40 000)
＝－x2＋500x－40 000≥0，
解得100≤x≤400，
由题意可知0题型3　分段函数模型
6．某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100公里，票价是每公里0.5元，如果超过100公里，超过部分按每公里0.4元定价，则客运票价y(元)与行程公里数x(公里)之间的函数解析式是　y＝　.
解析：由题意得
y＝
即y＝
7．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算．
可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率
不超过500元的部分 5%
超过500元的部分 10%
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为__1_120__元．
解析：设折扣金额为y元，购物总金额为x元，由题意得
y＝
因为y＝30＞25，所以x＞1 100，所以0.1(x－1 100)＋25＝30，
解得x＝1 150,1 150－30＝1 120(元)，
故此人购物实际所付金额为1 120元．
易错点　读不懂图象信息致错
8．水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水速度如图甲、乙所示，某天0点到6点该水池蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：
　 　
甲 乙 丙
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到5点不进水也不出水．则一定正确的论断是(　A　)
A．①　 B．①②　
C．①③　 D．①②③
解析：由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，
①0点到3点时斜率为2，蓄水量增加速度是2，只进水不出水，故①对；②不进水只出水时，蓄水量减少速度应为2，②错；③两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③错．故选A.
[误区警示]　正确理解每一个函数图象，数形结合是解决此题的关键，本题容易错选C.对于③中，当两个进水一个出水时也符合，这是个动态中的零增量．
(限时30分钟)
一、选择题
1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　B　)
A．3 100元　 B．3 000元
C．2 900元　 D．2 800元
解析：设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
函数图象过点(1,8 000)，(2,13 000)，
则解得
所以y＝5 000x＋3 000，x≥0.当x＝0时，y＝3 000.
所以营销人员没有销售量时的收入是3 000元．
2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)，那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是(　D　)
A．在t1时刻，两车的位置相同
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．在t0时刻，甲车在乙车前面
解析：由图象可知，在t0时刻前，甲车的速度高于乙车的速度，由路程s＝vt可知，甲车走的路程多于乙车走的路程，所以在t0时刻，甲车在乙车前面．
3．某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(　A　)
A．[4,8]　 B．[6,10]
C．[4%,8%]　 D．[6%,10%]
解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，因此，实数R的取值范围是[4,8]．
4．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货(　D　)
A．月初售出好　　
B．月末售出好
C．月初或月末售出一样　　
D．由成本费的大小确定
解析：设这批货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为y1＝100＋(x＋100)×2.4%；
若月末售出时，可获利为y2＝120－5＝115(元)．
则y1－y2＝100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)，
所以当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．故选D.
5．某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示，且Q与t满足一次函数关系．
第t天 4 10 16 22
Q(万股) 36 30 24 18
那么在这30天中第几天日交易额最大(　B　)
A．10　 B．15　
C．20　 D．25
解析：当0≤t<20时，设P＝at＋b，根据图象知过点(0,2)，(20,6)，所以解得所以P＝t＋2.
同理可得当20≤t≤30时，P＝－t＋8.
综上可得，P＝
由题意可设Q＝kt＋m，把(4,36)，(10,30)代入可得k＝－1，m＝40，所以Q＝－t＋40.
y＝P·Q＝
当0≤t<20时，t＝15时，ymax＝125万元，
当20≤t≤30时，t＝20时，ymax＝120万元．
综上可得，第15天日交易额最大．
二、填空题
6．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则这个人的稿费为__3_800__元．
解析：若这个人的稿费为4 000元时，应纳税(4 000－800)×14%＝448(元)．又因为420＜448，所以此人的稿费应在800到4 000之间，设为x，所以(x－800)×14%＝420，解得x＝3 800(元)．
7．某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C＝aQ2＋3 000，其中 a为常数，且当年产量为200时，总成本为15 000.记该产品的平均成本为f(Q)， 则当Q＝__100__，f(Q) 取得最小值，这个最小值为__60__.
解析：由题意得15 000＝40 000a＋3 000，解得a＝，所以C＝Q2＋3 000，
则f(Q)＝＝＋≥2＝60，
当且仅当＝，即Q＝100时，f(Q)取得最小值，最小值为60.
三、解答题
8．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝3－6，乙城市收益Q与投入b(单位：万元)满足Q＝b＋2，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
解： (1)当甲城市投资50万元，即x＝50时，乙城市投资120－50＝70(万元)，
所以总收益f(50)＝3－6＋×70＋2＝43.5(万元)．
(2)由题知，设甲城市投资x万元，则乙城市投资(120－x)万元，所以f(x)＝3－6＋(120－x)＋2＝－x＋3＋26，依题意得解得40≤x≤80，
故f(x)＝－x＋3＋26(40≤x≤80)，
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋3t＋26＝－(t－6)2＋44.
所以当t＝6，即x＝72万元时，y的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．
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