4.2.1指数函数的概念 同步练习（含答案）

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4.2　指数函数
4.2.1　指数函数的概念
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)函数y＝x2是指数函数．(　×　)
(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　×　)
(3)函数y＝－2x是指数函数．(　×　)
(4)函数y＝x是指数函数．(　√　)
2．下列函数中，指数函数的个数为(　B　)
①y＝x－1；②y＝ax(a>0且a≠1)；
③y＝1x；④y＝2x－1.
A．0　 　 B．1　 　
C．3　 　 D．4
解析：由指数函数的定义可判定，只有②正确．故选B.
题型1　指数函数的概念
3．下列函数中指数函数的个数为(　B　)
(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝xx；(4)y＝22x.
A．1　　　　 B．2　　　　
C．3　　　 　 D．4
解析：(1)y＝10x符合定义，是指数函数；
(2)y＝10x＋1中指数为x＋1，不是x，不是指数函数；(3)y＝xx中底数和指数均为自变量x，不符合指数函数定义，不是指数函数；
(4)y＝22x＝4x符合指数函数的定义，是指数函数．
4．已知指数函数y＝(a＋2)x，则实数a的取值范围是(　C　)
A．(－2，＋∞)　 B．[－2，＋∞)　　
C．(－2，－1)∪(－1，＋∞)　　　 D．(1,2)∪(2，＋∞)
解析：由题意得a＋2>0且a＋2≠1，所以a>－2且a≠－1.
5．函数y＝(a－2)ax是指数函数，则(　C　)
A．a＝1或a＝3　 B．a＝1
C．a＝3　 D．a>0且a≠1
解析：因为函数y＝(a－2)ax是指数函数，所以a－2＝1，即a＝3.
题型2　指数函数的解析式
6．如果函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2,9)，那么实数a等于(　B　)
A．2　 　 B．3　 　
C．4　 　 D．5
解析：指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2,9)，所以9＝a2，解得a＝3.
7．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝(　A　)
A．()x　 B．2x　
C．x　 D．x
解析：由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝，所以f(x)＝()x.
8．(多选题)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1,2)，那么这个函数也必定经过点(　AD　)
A.　 B．
C．(1,2)　 D．
解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．
因为f(－1)＝＝2，所以a＝，即f(x)＝x.
因为f(－2)＝－2＝4，f(－1)＝－1＝2，
f(1)＝，f(3)＝3＝，所以AD选项正确．
9．已知指数函数y＝ax＋(a－2)(a－3)的图象过点(2,4)，求a的值．
解：由指数函数的定义可知，(a－2)(a－3)＝0，解得a＝2或a＝3.
当a＝2时，指数函数y＝2x的图象过点(2,4)，符合题意；当a＝3时，指数函数y＝3x的图象不过点(2,4)，应舍去．综上所述，a＝2.
题型3　指数函数的应用
10．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为(　A　)
A．y＝2x＋1　　 B．y＝2x－1　
C．y＝2x　 D．y＝2x
解析：由题意知，细胞每次分裂后，数目都变为原来的2倍，故x次分裂后，细胞个数为y＝2×2x＝2x＋1.
11．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，问现在价格为8 100元的计算机经过15年后，价格应降为__2_400__元．
解析：根据题意，计算机的价格降了3次，每次价格降低，即降一次后价格变为价格不变前的.所以15年后价格应降为：8 100×3＝2 400(元)．
12．某厂2010年的生产总值为x万元，预计生产总值每年以12%的速度递增，则该厂到2022年的生产总值是__x(1＋12%)12__万元．
解析：由年平均增长率的定义可得，2011年生产总值为x(1＋12%)；
2012年生产总值为x(1＋12%)2；…；
所以2022年生产总值为x(1＋12%)12.
13．已知函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
解：(1)因为函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，所以2a2－3a＋2＝1，解得a＝或a＝1(舍去)，所以f(x)＝x.
(2)F(x)是奇函数，证明如下：
由题意得，F(x)＝2－x－2x，x∈R.因为F(－x)＝2x－2－x＝－F(x)，所以F(x)是奇函数．
易错点　忽略指数函数的特征致错
14．函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，则有(　C　)
A．a＝1或a＝4　　　 B．a＝1
C．a＝4　　　　　　 D．a>0，且a≠1
解析：因为函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，所以解得a＝4.
[误区警示]　指数函数一定满足系数为1，底数大于0且不等于1.
(限时30分钟)
一、选择题
1．下列函数一定是指数函数的是(　D　)
A．y＝2x＋1　 B．y＝x3
C．y＝3·2x　 D．y＝3－x
解析：y＝2x＋1中指数是x＋1，所以不是指数函数，故A错误；y＝x3是幂函数，故B错误；y＝3·2x中底数前系数是3，所以不是指数函数，故C错误；y＝3－x＝x属于指数函数，故D正确．
2．函数f(x)＝x，则f(2)等于(　D　)
A．2　 　 B．8　 　
C．16　 　 D．
解析：由题意得f(2)＝2＝.
3．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　C　)
A．a>0且a≠1 　 B．a≥0且a≠1
C．a>且a≠1 　 D．a≥
解析：因为函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，所以2a－1>0且2a－1≠1，解得a>且a≠1.
4．函数f(x)＝(2a－3)·ax是指数函数，则f(1)＝(　D　)
A．8　 B．　
C．4　 D．2
解析：函数f(x)＝(2a－3)·ax是指数函数，所以2a－3＝1，解得a＝2，所以f(x)＝2x，所以f(1)＝2.
5．函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，则实数m＝(　D　)
A．2 　 B．1　
C．3 　 D．2或－1
解析：由指数函数的定义，得m2－m－1＝1，解得m＝2或－1.
6．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数解析式为(　D　)
A．y＝x(x∈N*)　 B．y＝x(x∈N*)
C．y＝2x(x∈N*)　 D．y＝(x∈N*)
解析：由题意得，剩下的部分依次为，，，….
所以x天后剩下的部分y与x的函数解析式为y＝(x∈N*)．
二、填空题
7．指数函数y＝ax的图象经过点(3,27)，则a的值是__3__.
解析：指数函数y＝ax的图象经过点(3,27)，即a3＝27，所以a＝3.
8．已知函数f(x)＝ax＋b，且f(0)＝－1，f(1)＝1，则f(x)＝__f(x)＝3x－2__.此函数__不是__(填“是”或“不是”)指数函数．
解析：由题意得解得a＝3，b＝－2，即函数f(x)＝3x－2，根据指数函数的定义得此函数不是指数函数．
9．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)x＋a－2是指数函数，则实数a的值为__2__.
解析：因为函数f(x)＝(a2－3a＋3)x＋a－2是指数函数，所以a2－3a＋3＝1且a－2＝0，解得a＝2.
三、解答题
10．已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．
(1)求f(0)的值；
(2)如果f(2)＝9，求实数a的值．
解：(1)因为f(x)＝ax，所以f(0)＝a0＝1.
(2)因为f(x)＝ax ，所以f(2)＝a2＝9，
又a>0，且a≠1，所以a＝3.
11．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2015年某地区农民人均收入为13 150元(其中工资性收入为7 800元，其他收入为5 350元)．预计该地区自2016年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，求2020年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42)
解：农民人均收入来源于两部分，一部分是工资性收入，另一部分为其他收入．
工资性收入：2016年为7 800×(1＋6%)，
2017年为7 800×(1＋6%)×(1＋6%)＝7 800×(1＋6%)2，
……
2020年为7 800×(1＋6%)5＝7 800×1.065≈10 452(元),
其他收入：5 350＋5×160＝6 150(元)，
因此，2020年该地区农民人均收入为10 452＋6 150＝16 602(元)．
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