4.2.2指数函数的图象和性质 同步练习（含答案）

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4.2.2　指数函数的图象和性质
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)函数y＝21－x是减函数．(　√　)
(2)若ax－1>a0，则x>1.(　×　)
(3)若0.1a>0.1b，则a>b. (　×　)
(4)函数y＝4x是非奇非偶函数．(　√　)
2．已知函数f(x)＝ax(0①若x>0，则0a；
③若f(x1)>f(x2)，则x1其中正确命题的个数为(　D　)
A．0个　　　 B．1个　　　
C．2个　　　 D．3个
解析：因为00时，0a1＝a，可得②正确．即①②③都正确，故选D.
题型1　指数函数的图象及应用
3．若a>1，－1A．第一、二、三象限 　 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限　 D．第一、二、四象限
解析：因为a>1，且－14．函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象一定经过点(　A　)
A．(1,3)　　　 B．(0,3)　
C．(1,2)　　　 D．(0,1)
解析：对于任意a>0且a≠1，由x－1＝0可得x＝1，当x＝1时，f(1)＝a0＋2＝3，所以函数f(x)＝ax－1＋2的图象一定经过点(1,3)．
5．函数f(x)＝－3|x|＋1的图象大致是(　A　)
解析：因为函数f(x)＝－3|x|＋1，所以f(－x)＝－3|－x|＋1＝－3|x|＋1＝f(x)，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D.当x＝0时，f(0)＝－30＋1＝0，即函数图象过原点，故排除C.
题型2　指数型函数的定义域与值域
6．函数y＝的值域是(　D　)
A．(－∞，1)　 B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．(－1，＋∞)　 D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析：由y＝可得2x＝1＋>0，即y(y＋1)>0，解之得y<－1或y>0.
7．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值域为(1，＋∞)，则实数a的取值范围是(　D　)
A．(－，－1)∪(1，)
B．(－1,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则底数a2－1>1，a2>2，所以|a|>，所以实数a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．
8．若函数f(x)＝的值域为A，则A为　　.
解析：x≥0时，x＋1≥1,0<≤1，所以－1<－1≤2；x<0时，0<2x<1，－<4×2x－<.
综上，函数的值域为－1题型3　指数函数的性质及应用
9．若0A．2x<0.2xC.x<0.2x<2x　　 D．0.2x解析：可用特殊值法．当x＝时，2x＝，x＝＝，0.2x＝0.2＝，所以0.2x10．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　C　)
A．aC．b解析：因为0<0.6<1，所以指数函数y＝0.6x是减函数，又0.6<1.5，所以0<0.61.5<0.60.6<1.又1.50.6>1.50＝1，所以b11．不等式3x－1≤92x的解集是　x≥－　.
解析：由3x－1≤92x得3x－1≤34x，由于y＝3x在R上单调递增，所以x－1≤4x，解得x≥－，所以原不等式的解集为x≥－.
易错点1　用错函数的类型致错
12．若a＝，b＝，c＝，则(　C　)
A．cC．a解析：因为指数函数y＝x为减函数，<，所以>，即b>c.因为幂函数y＝x在区间(0，＋∞)上为增函数，<，所以<，即a[误区警示]　底数不同，指数相同，可考虑构造幂函数；底数相同，指数不同，可考虑构造指数函数．
易错点2　忽略了对参数的讨论致错
13．解关于x的不等式a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3 (a>0，且a≠1)．
解：当02x2－3x＋2<2x2＋2x－3，
解得x>1，所以原不等式的解集为；
当a>1时，原不等式可化为2x2－3x＋2>2x2＋2x－3，解得x<1，所以原不等式的解集为{x|x<1}．
综上，当01}；
当a>1时，不等式的解集为{x|x<1}．
[误区警示]　代数式中的分母影响到问题的结论时，要注意对字母的讨论．
(限时30分钟)
一、选择题
1．(多选题)已知集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|3x<1}，则(　AB　)
A．A∩B＝{x|x<－1}　 B．A∪B＝{x|x<0}
C．A∪B＝{x|x>1}　 D．A∩B＝?
解析：由已知B＝{x|x<0}，又A＝{x|x<－1}，则A∩B＝{x|x<－1}，故A正确，D错误；A∪B＝{x|x<0}，故B正确，C错误．
2．已知a＝－1.1，b＝π0，c＝30.9，则a，b，c的大小关系为(　D　)
A．cC．b解析：由指数函数的性质可得，a＝－1.1＝31.1>30.9＝c>1＝π0＝b，即b3．若x>1－x，则实数x的取值范围是(　B　)
A．(－∞，1)　 B．
C.　 D．
解析：因为y＝x为减函数，且x>1－x，所以x<1－x，解得x<.
4．已知三个数a＝60.7，b＝0.70.8，c＝0.80.7，则三个数的大小关系是(　D　)
A．a>b>c　 B．b>c>a　　
C．c>b>a 　 D．a>c>b
解析：因为指数函数y＝6x在R上为单调增函数，所以a＝60.7＞60＝1.因为指数函数y＝0.7x在R上为单调减函数，所以b＝0.70.8＜0.70.7＜0.70＝1.因为幂函数y＝x0.7在(0，＋∞)上为单调增函数，所以0.70.7＜0.80.7＝c＜1.所以a＞c＞b.
5．函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　D　)
解析：函数y＝x＋a单调递增，故C不正确．由题意知a>0且a≠1.当01时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1，故A不正确，D正确．
6．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为，则函数y＝3a2x－1在[0,1]上的最大值为(　C　)
A．16　　　 B．15　　　
C．12　　　 D．
解析：因为函数y＝ax在定义域上是单调函数，且y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值和为，所以1＋a＝，解得a＝，所以函数y＝3a2x－1＝3×2x－1＝12×x.因为函数y＝x在定义域上为减函数，所以y＝3a2x－1在[0,1]上的最大值为当x＝0时，函数值是12.
二、填空题
7．函数f(x)＝a2x－2＋3(a>0且a≠1)的图象恒过定点__(1,4)__．
解析：根据题意，在函数f(x)＝a2x－2＋3中，令2x－2＝0，解得x＝1，此时f(1)＝a2－2＋3＝4，即函数的图象恒过定点(1,4)．
8．已知3x＋1>91－x，则x的取值范围是__(－∞，－3)__．
解析：由3x＋1>91－x，得3－(3x＋1)>32(1－x)，所以－(3x＋1)>2(1－x)，解得x<－3.
9．若指数函数y＝ax在[－1,1]上的最大值和最小值的差为1，则实数a＝　或　.
解析：当a>1时，y＝ax在[－1,1]上单调递增，所以当x＝－1时，y取到最小值a－1，当x＝1时，y取到最大值a，所以a－a－1＝1，解得a＝；当0三、解答题
10．比较下列各组数值的大小：
(1)1.73.3和1.72.1；
(2)0.344和0.343；
(3)3.14－0.4和0.125－3.
解：(1)因为函数f(x)＝1.7x在R上是增函数，
又3.3>2.1，所以1.73.3>1.72.1.
(2)因为函数g(x)＝0.34x在R上是减函数，
又4>3，所以0.344<0.343.
(3)因为3.14－0.4<3.140＝1＝0.1250<0.125－3，
所以3.14－0.4<0.125－3.
11．已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)为奇函数，求a的值；
(2)在(1)的条件下，求函数f(x)的值域．
解：(1)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)恒成立，
所以＝－，
整理得(a－1)＝0，所以a＝1.
(2)令y＝，则y(2x－1)＝2x＋1，即2x＝，所以>0且≠1，解得y<－1或y>1，
所以函数f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2,4)．若a2x＋1解：因为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2,4)，所以a2＝4，由a>0，且a≠1，可得a＝2.
若a2x＋1则由指数函数的单调性得2x＋1<3x－1，
解得x>2，故x的取值范围为(2，＋∞)．
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