4.3.1 对数的概念 同步练习（含答案）

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4.3　对数
4.3.1　对数的概念
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)logaN是loga与N的乘积．(　×　)
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　×　)
(3)对数运算的实质是求幂指数．(　√　)
(4)若3x＝2，则x＝log23.(　×　)
2．有下列说法：
①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④3log3(－5)＝－5成立．其中正确命题的个数为(　B　)
A．1　　　 　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
解析：②错误，如(－1)2＝1，不能写成对数式；④错误，log3(－5)没有意义；①③正确，故选B.
题型1　对数的概念
3．若7x＝8，则x＝(　C　)
A.　 B．log87　
C．log78　 D．log7x
解析：根据指数式与对数式的互化，由7x＝8，可得x＝log78.
4．已知log2a＝3，则a＝(　C　)
A．6　 　 B．7　　
C．8　 　 D．9
解析：根据指数式与对数式的互化，由方程log2a＝3，可得a＝23＝8.
5．若logx＝z，则(　B　)
A．y7＝xz　 B．y＝x7z　
C．y＝7·xz　 D．x＝z7y
解析：由logx＝z，得xz＝，两边同时7次方得(xz)7＝()7，即y＝x7z.
题型2　对数的计算
6．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于(　D　)
A.　 B．　
C．　 D．
解析：由已知得，x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，
所以abc＝x，所以logx(abc)＝.
7．已知a>0，b>0，若log4a＝log6b＝，则＝　　.
解析：根据对数式与指数式的互化，由log4a＝log6b＝，可得a＝4＝2，b＝6＝，所以＝＝.
8．求下列各式中x的值：
(1)x＝log4；(2)x＝log9；
(3)logx8＝－3；(4)logx＝4.
解：(1)由已知得x＝4，
即2－＝22，所以－＝2，解得x＝－4.
(2)由已知得9x＝，即32x＝3.
所以2x＝，解得x＝.
(3)由已知得x－3＝8，
即3＝23，所以＝2，解得x＝.
(4)由已知得x＝4＝.
题型3　对数性质的应用
9．计算23＋log23＋32－log39＝__25__.
解析：23＋log23＋32－log39＝23×2log23＋＝8×3＋1＝25.
10. 若log3(x－2)＝log4(2y－1)＝1，则＝__2__.
解析：由log3(x－2)＝1可得x－2＝3，
所以x＝5.由log4(2y－1)＝1可得2y－1＝4，
所以y＝.所以＝＝2.
易错点1　记错指数式与对数式间各字母关系致错
11．求下列各式中x的值．
(1)logx27＝；(2)log2x＝－.
解：(1)由logx27＝，得x＝27，所以x＝27＝(33)＝9.
(2)由log2x＝－，得x＝2－＝.
[误区警示]　指数式与对数式互化公式为ab＝N?b＝logaN，做题时一定注意各字母的位置．
易错点2　用错对数的性质致错
12．若log2(log(log2x))＝log3(log(log3y))＝log5(log(log5z))＝0，试确定x，y，z的大小关系．
解：由log3(log(log3y))＝0，得log(log3y)＝1，
log3y＝，y＝3＝(310)；
又由log2(log(log2x))＝0，得log(log2x)＝1，
log2x＝，x＝2＝(215)；
由log5(log(log5z))＝0，得log(log5z)＝1，
log5z＝，z＝5＝(56).因为310>215>56，
所以y>x>z.
[误区警示]　对数的运算性质是对数运算的依据，要熟记公式，以防运算时出错．
(限时30分钟)
一、选择题
1．下列各式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若log25x＝，则x＝±5.
其中正确的个数有(　B　)
A．1个　　 　 B．2个　　　
C．3个　　 　 D．4个
解析：底的对数为1,1的对数为0，故①②正确；0和负数没有对数，故④错误；③中10＝lg x，应该有x＝1010，所以只有①②正确．
2．已知log2x＝3，则x－等于(　D　)
A.　　 　 B．　 　
C．　　　 D．
解析：因为log2x＝3，所以x＝23＝8.
所以x－＝8－＝＝.
3．2－3＝化为对数式为(　C　)
A．log2＝－3　 B．log(－3)＝2
C．log2＝－3　 D．log2(－3)＝
解析：根据指对互化得log2＝－3.
4．(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是(　ABD　)
A．e0＝1与loge1＝0
B．8－＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
解析：由指数、对数互化的关系：ax＝N?x＝logaN(a>0，且a≠1，N>0)可知A，B，D都正确；C中，log39＝2?32＝9.
5．对数式M＝log(a－3)(10－2a)中，实数a的取值范围是(　D　)
A．(－∞，5)　 B．(3,5)
C．(3，＋∞)　　 　 D．(3,4)∪(4,5)
解析：由题意得解得36．若m>0，m＝，则logm等于(　B　)
A．2　 B．3　 　
C．4　　　 D．6
解析：因为m＝，m>0，所以m＝＝3，logm＝log3＝3.
二、填空题
7．已知logx16＝4，则x＝__2__.
解析：因为logx16＝4，所以x4＝16，x>0且x≠1，解得x＝2.
8．若log2＝1，则x＝　　.
解析：因为log2＝1，所以＝2.
即2x－5＝6，解得x＝.
9．已知f(x)＝则满足f(x)＝的x的值为__3__.
解析：由题意得①或②
解①得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去；解②得x＝3，
符合x＞1，所以x＝3.
三、解答题
10．求下列各式中x的值：
(1)4x＝5×3x；
(2)52－log53＝x；
(3)logbc＝x(a＞0，b＞0，c＞0，a≠1，b≠1)．
解：(1)因为4x＝5×3x，所以x＝5，所以x＝log5.
(2)x＝52－log53＝＝.
(3)x＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.
11．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
解：因为logx＝m，所以m＝x，所以x2＝2m.
因为logy＝m＋2，所以m＋2＝y，即y＝2m＋4，
所以＝＝2m－(2m＋4)＝16.
12．设x＝log23，求的值．
解：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝，
所以＝＝(2x)2＋1＋(2－x)2＝32＋1＋2＝.
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