4.3.2对数的运算 同步练习（含答案）

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4.3.2　对数的运算
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)对任意M，N都有loga(M·N)＝logaM＋logaN.(　×　)
(2)log52＋log53＝1.(　×　)
(3)loga(M＋N)＝logaM＋logaN.(　×　)
(4)log2(－2)4＝4.(　√　)
题型1　利用对数的运算性质化简、求值
2．计算log123＋log124＝(　A　)
A．1　 B．2　　　
C．3　　 　 D．4
解析：log123＋log124＝log12(3×4)＝log1212＝1.
3．计算：log3＝(　A　)
A．－　 B．　
C．－1　 D．1
解析：由对数运算知log3＝log3－log33＝－1＝－.
4．设0A．logaax＝x　 B．logax2＝2logax
C．loga1＝0　 D．logaa＝1
解析：当x<0时，logax2＝2loga(－x)，故B错误．
5．化简log2(2＋)＋log2(2－)＝__0__.
解析：log2(2＋)＋log2(2－)
＝log2[(2＋)×(2－)]＝log21＝0.
题型2　换底公式的应用
6．log225·log32·log59等于(　D　)
A．3　　 B．4　　　
C．5　　　　　 D．6
解析：log225·log32·log59＝··
＝··＝2××2＝6.
7．设a＝log23，则log612可表示为(　B　)
A.　 B．　
C．　 D．
解析：因为a＝log23，
所以log612＝＝＝.
8．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝__1__.
解析：因为logax＝＝2，所以logxa＝.
同理logxc＝，logxb＝.
所以logabcx＝＝＝1.
题型3　对数运算性质的综合应用
9．已知2a＝5b＝M，且＋＝2，则M的值是(　B　)
A．20　 　 B．2　 　
C．±2　 　 D．400
解析：因为2a＝5b＝M，所以a＝log2M＝，
b＝log5M＝，所以＝，＝，所以＋＝＋＝＝＝2，
所以2lg M＝lg 20，所以lg M2＝lg 20，
所以M2＝20.因为M>0，所以M＝2.
10．已知x2＋y2＝1，x>0，y>0，且loga(1＋x)＝m，loga＝n，则logay等于(　B　)
A.(m＋n)　 B．(m－n)
C．m＋n　 D．mn
解析：因为loga＝n，所以loga(1－x)＝－n，
所以loga(1＋x)＋loga(1－x)＝m－n，
所以loga(1－x2)＝m－n.
因为x2＋y2＝1，所以1－x2＝y2，
所以logay2＝m－n，所以logay＝.
11．解方程：log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1).
解：原方程可化为log4(3－x)－log4(3＋x)＝log4(1－x)－log4(2x＋1)，
即log4＝log4.
整理得＝，解得x＝7或x＝0.
当x＝7时，3－x<0，不满足真数大于0的条件，故舍去．
x＝0符合题意，所以原方程的解为x＝0.
易错点1　忽视值的正负致错
12．计算－＋－lg ＋log535－log57＝__5__.
解析：原式＝3(－3)×(－)＋＋2lg 2＋log5＝3＋|2lg 2－1|＋2lg 2＋1＝3＋1－2lg 2＋2lg 2＋1＝5.
[误区警示]　从偶次根式中开方得到值为正，做题时要注意这一点，如本题＝|2lg 2－1|＝1－2lg 2.
易错点2　忽视题设条件致错
13．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝__4__，b＝__2__.
解析：设t＝logab，则logba＝，b＝at，所以t＋＝，解得t＝2或t＝.因为ab＝ba，所以ab＝aat，即b＝at.因为a>b>1，所以b＝a，代入ab＝ba得，a＝a?a＝4，所以b＝2.
[误区警示]　若忽视条件，易得出b＝2a的错误结论．
(限时30分钟)
一、选择题
1．下列计算正确的是(　B　)
A．(a3)2＝a9 　 B．log26－log23＝1
C．a－·a＝0　 D．log3(－4)2＝2log3(－4)
解析：由题意，根据实数指数幂的运算，可得2＝a6，a－·a＝a0＝1，所以A，C不正确；由对数的运算性质，可得log26－log23＝log2＝log22＝1，所以B是正确的；对于D，根据对数的化简，可得log3(－4)2＝2log34，而log3(－4)是无意义的．
2．log212－log23＝(　B　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
解析：根据对数的运算性质，可得log212－log23＝log2＝log222＝2.
3．计算(lg 2)2＋(lg 5)2＋lg 4·lg 5等于(　B　)
A．0　　　 B．1　　
C．2　　　 D．3
解析：(lg 2)2＋(lg 5)2＋lg 4·lg 5
＝(lg 2)2＋(lg 5)2＋2lg 2·lg 5
＝(lg 2＋lg 5)2＝(lg 10)2＝1.
4．若xlog23＝1，则3x＋9x的值为(　C　)
A．3　　 　 B．2　　
C．6　　 　 D．5
解析：因为xlog23＝1，所以x＝＝log32，
所以3x＋9x＝3log32＋9log32＝2＋4＝6.
5．若10a＝，10b＝2，则2a＋b＝(　C　)
A．－1　　　 B．0　　
C．1　　 　 D．2
解析：由10a＝，10b＝2，根据指数式与对数式的互化，可得a＝lg ，b＝lg 2，所以2a＋b＝2lg＋lg 2＝lg()2＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
6．若4m＝3n＝k，且＋＝1，则k＝(　C　)
A．18 　 B．26
C．36 　 D．42
解析：由4m＝3n＝k，得m＝log4k，n＝log3k，
所以由＋＝1，可得＋＝1?logk4＋2logk3＝1?logk(32×4)＝1?k＝36.
二、填空题
7．计算2log525＋3log264－8log71＝__22__.
解析：2log525＋3log264－8log71＝2log552＋3log226－8×0＝2×2＋3×6－0＝4＋18＝22.
8．计算：log43·log92－log＝　　.
解析：log43·log92－log
＝·－
＝log23·log32＋log22＝＋＝.
9．若3x＝1 000,0.3y＝1 000，则－＝　　.
解析：因为3x＝1 000,0.3y＝1 000，
所以x＝log31 000，y＝log0.31 000，
则－＝log1 0003－log1 0000.3＝log1 00010＝＝.
三、解答题
10．计算下列各式的值：
(1)log3＋lg 25＋lg 4－7log72－27－；
(2)21＋log23－log64＋lg 0.01＋ln.
解：(1)原式＝log33＋lg(25×4)－2－(33)－
＝＋lg 100－2－3－2＝＋2－2－＝－＝.
(2)原式＝2×2log23－log2－126＋lg 10－2＋ln e＝2×3＋6－2＋＝.
11．已知log43＝p，log35＝q，用p，q表示lg 5.
解：因为log43×log35＝log45＝log25＝pq，
所以log52＝，
又lg 5＝＝＝，
所以lg 5＝.
12．已知lg x＋lg y＝2lg(2x－3y)，求log的值．
解：由题意得lg(xy)＝lg(2x－3y)2，
即xy＝(2x－3y)2，
整理得，42－13＋9＝0，
解得＝1或＝.
因为x>0，y>0,2x－3y>0，
所以＝，所以log＝log2＝2.
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