4.5.1 函数的零点与方程的解 同步练习（含答案）

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4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)函数f(x)＝x－1的零点为(1,0)．(　×　)
(2)设函数f(x)＝，由于f(－1)·f(1)<0，所以函数f(x)＝在(－1,1)内有零点．(　×　)
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　×　)
(4)函数f(x)＝2x的零点为0.(　√　)
题型1　求函数的零点
2．函数y＝1＋的零点是(　B　)
A．(－1,0)　　　 B．－1　　　
C．1　　　 D．0
解析：令y＝1＋＝＝0，解得x＝－1，即函数零点为－1.
3．函数f(x)＝x－x2的零点为(　D　)
A．0　　　 B．1　　　
C．0和2　　　 D．0和1
解析：令f(x)＝x－x2＝0，解得x＝0或x＝1，所以函数f(x)＝x－x2的零点为0和1.
4．函数f(x)＝log2(x－1)的零点是(　D　)
A．(1,0)　 B．(2,0)　
C．1　 D．2
解析：令log2(x－1)＝0，解得x＝2.
题型2　判断函数零点的个数
5. 已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　B　)
A．2个　 B．3个　
C．4个　 D．5个
解析：依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
6．函数y＝2x－3x＋4的零点个数为(　C　)
A．0　　　 B．1　　　
C．2　　　 D．3
解析：由2x－3x＋4＝0，得3x＝2x＋4，设y＝3x，y＝2x＋4，作出它们的图象如图所示，
由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2.
7．已知函数f(x)＝
则函数f(x)的零点个数为__3__.
解析：当x<0时，解x(x＋4)＝0，得x＝0或x＝－4.因为x<0，故x＝－4.
当x≥0时，解x(x－4)＝0，得x＝0或x＝4.
故函数f(x)的零点个数为3.
8．函数f(x)＝2|x|＋x－2的零点个数为__2__.
解析：由f(x)＝2|x|＋x－2＝0，得2|x|＝2－x，显然y＝2|x|与y＝2－x的交点个数即为原函数零点个数，作出函数y＝2|x|与y＝2－x的图象如图所示，由图象可得，函数y＝2|x|与y＝2－x有两个交点，因此函数f(x)＝2|x|＋x－2的零点个数为2.
题型3　判断函数零点所在的区间
9．函数f(x)＝log2x＋x－4的零点所在的区间是(　C　)
A．　 B．(1,2)
C．(2,3)　 D．(3,4)
解析：因为f(2)＝3－4<0，f(3)＝log23－1>0，根据零点的存在定理知，函数f(x)在(2,3)上至少有一个零点．故选C.
10．设函数f(x)＝x－ln x(x＞0)，则函数f(x)(　D　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：因为f＝＋1>0，f(1)＝－0>0，所以函数f(x)在区间内无零点．因为f(1)＝－0>0，f(e)＝－1<0，所以函数f(x)在区间(1，e)内有零点．
11．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3
f(x) 6.1 2.9 －3.5
那么函数f(x)一定存在零点的区间是　(　C　)
A．(－∞，1)　 B．(1,2)
C．(2,3)　 D．(3，＋∞)
解析：定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，由表知满足f(2)f(3)<0，根据零点存在定理可知f(x)在(2,3)内一定存在零点．
易错点1　画错函数的图象致错
12．已知0A．1个　 B．2个
C．3个　 D．1个或2个或3个
解析：作出f(x)＝a|x|，g(x)＝|logax|的图象如图所示，由图象可知，f(x)，g(x)有两个交点，所以方程a|x|＝|logax|根的个数为2.
[误区警示]　由函数的性质画图时要准确，这样才能在应用图象解题时不出错．
易错点2　忽视零点存在定理的条件致错
13．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则下列判断中正确的是(　D　)
A．方程f(x)＝0一定有根
B．方程f(x)＝0一定无根
C．方程f(x)＝0一定有两根
D．方程f(x)＝0可能无根
解析：因为函数f(x)的图象不一定是连续的一条曲线，所以方程f(x)＝0可能无根．
[误区警示]　函数零点存在定理是判断函数是否有零点的充分条件，解题时要注意条件的完备性，本题就易忽略图象是连续的这一条件．
(限时30分钟)
一、选择题
1．函数y＝－x的零点是(　D　)
A．1　　 B．－1
C．(1,0)，(－1,0)　　 D．1，－1
解析：由y＝0，即－x＝0，解得x＝1或x＝－1.所以函数的零点为1，－1.
2．函数f(x)＝的零点个数是(　C　)
A．0个　　　 B．1个　　　
C．2个　　　 D．3个
解析：当x<0时，令x＋2＝0，解得x＝－2；当x>0时，令x2－1＝0，解得x＝1.所以函数有两个零点．
3．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为－3，则它的另一个零点是(　B　)
A．－1　 B．1　
C．－2　 D．2
解析：由根与系数的关系得方程f(x)＝0的两根x1，x2满足x1＋x2＝－＝－2，所以方程的另一个根为1.故选B.
4．函数f(x)＝log2x－的零点所在区间为(　B　)
A．(1,2)　 B．(2,3)　　
C．(3,4)　 D．(4,5)
解析：因为f(1)＝log21－＝－3<0，f(2)＝log22－＝－<0，f(3)＝log23－＝log23－1>0，所以f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)在区间(2,3)内存在零点．
5．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点(　C　)
A．至多有一个　 B．有一个或两个
C．有且仅有一个　 D．一个也没有
解析：若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．
6．设f(x)＝若f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　B　)
A．(0,1)　 B．(0,1]
C．[0,1)　 D．[0,1]
解析：作出函数f(x)＝的图象如图所示．又f(x)－a＝0有三个不同的实数根，
所以函数f(x)＝与直线y＝a有三个交点，由图象可得，0二、填空题
7．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是　－，－　.
解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，所以即
所以方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－，－，即函数g(x)的零点是－，－.
8．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是　(－∞，－1)∪　.
解析：由零点存在定理得f(－1)·f(1)<0，即(－3a＋1－2a)·(3a＋1－2a)<0，整理得(－5a＋1)(a＋1)<0，解得a<－1或a>.
9．函数f(x)＝9x－3x＋1－10的零点为__log35__.
解析：由f(x)＝9x－3x＋1－10＝0，得(3x)2－3·3x－10＝0，即(3x＋2)(3x－5)＝0.因为3x>0，所以3x－5＝0，即3x＝5，即x＝log35，即函数f(x)的零点为log35.
三、解答题
10．已知一次函数f(x)的图象过点(1,5)，且2f(3)＝f(2)＋11.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数h(x)＝x2－f(x)的零点．
解：(1)设f(x)＝ax＋b，
由题意得解得
所以f(x)＝2x＋3.
(2)h(x)＝x2－f(x)＝x2－2x－3，
令x2－2x－3＝0，解得x＝－1，或x＝3，
所以函数h(x)＝x2－f(x)的零点为－1或3.
11．已知f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.
(1)当m满足什么条件时，函数f(x)有两个零点？
(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x1<0解： (1)由题意，得
解得m<1且m≠－1.
(2)根据二次函数的图象，可知函数f(x)的两个零点满足x1<0　
因此或
解得－112．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
解：方法一(图象法)：
函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在定义域(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
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