4.5.2 用二分法求方程的近似解 同步练习（含答案）

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4.5.2　用二分法求方程的近似解
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)用二分法可求所有函数零点的近似值．(　×　)
(2)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．(　√　)
(3)二分法无规律可循，无法在计算机上完成．(　×　)
(4)只能用二分法求函数的零点．(　×　)
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的判断中，正确的是(　A　)
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
解析：使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
题型1　二分法的概念
3．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　C　)
A．x1　 B．x2　
C．x3　 D．x4
解析：由二分法的原理可知，x3不能用二分法求出，因为其左右两侧的函数值同负．故选C.
4．下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是(　D　)
解析：对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点．
5．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　C　)
A．(－1,0)　　 B．(0,1)
C．(1,2)　 　 D．(2,3)
解析：f(－1)＝－<0，f(0)＝－2<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝1>0，f(3)＝5>0，则f(1)·f(2)<0，即初始区间可选(1,2)．
题型2　用二分法求函数零点的近似解
6．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为(　A　)
A．(1.25,1.5)　 B．(1,1.25)
C．(1.5,2)　 D．不能确定
解析：由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．
7．求方程lg x＝x－1的近似解．(精确度为0.1)
解：如图所示，由函数y＝lg x和y＝x－1的图象可知，方程lg x＝x－1有唯一实数解，且在区间(0,1)内．
设f(x)＝lg x－x＋1，f(1)＝>0，用计算器计算，列表如下：
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(0,1) 0.5 －0.008 1
(0.5,1) 0.75 0.280 5
(0.5,0.75) 0.625 0.147 5
(0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0
(0.5,0.562 5) 0.531 25 0.033 3
由于0.562 5－0.5＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为0.5.
易错点1　忽略对精确度的验证致错
8．对函数f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3＋x2－2x－2＝0 的一个近似根(精确度为0.1)为(　C　)
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054
A.1.2　　　 B．1.3　　　
C．1.4　　　 D．1.5
解析：由表知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1，1.5)内有一个根．根据二分法f(1.25)<0，所以根在(1.25,1.5)内， 而|1.5－1.25|＝0.25>0.1不满足精确度，继续取区间中点二分， 由表知f(1.375)<0，则根在区间(1.375,1.5)，仍不满足精确度，继续取中点二分，根据表可知根在(1.375,1.437 5)内，|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.1满足精确度，又f(1.406 25)<0，所以方程x3＋x2－2x－2＝0的近似根为1.4.
[误区警示]　用二分法求函数的零点时，零点所在区间的长度一定要满足精确度．
易错点2　忽略二分法的应用条件致错
9．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为(　D　)
A．4,4　　　 B．3,4　　　
C．5,4　　　 D．4,3
解析：由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)<0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．故选D.
[误区警示]　利用二分法求零点时，首先要判断零点附近函数的符号是否相反，若相反则可用二分法求解，否则不可以．
(限时30分钟)
一、选择题
1．(多选题)如图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，可以用二分法求交点横坐标的是(　BCD　)
解析：按二分法定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B，C，D满足二分法的使用条件，而选项A不满足．在A中，图象经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．
2．下列函数中不能用二分法求零点的是(　C　)
A．f(x)＝2x＋3　 B．f(x)＝ln x－2x＋8
C．f(x)＝x2－4x＋4　 D．f(x)＝ex－x－2
解析：因为f(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0恒成立，所以不存在区间[a，b]，使得f(a)f(b)<0，因此不能用二分法求该函数的零点．故选C.
3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　B　)
A．|a－b|<0.1　 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001　　 　 D．|a－b|＝0.001
解析：据二分法的步骤知当区间长度|a－b|小于精确度ε时，便可结束计算．故选B.
4．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　B　)
A．(0,1)　　 B．(0,2)　
C．(2,3)　　 D．(2,4)
解析：因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(4)＝24＋12－7>0，f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)f(2)<0，所以下一个存在零点的区间为(0,2)．
5．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　D　)
A．[1,4]　 B．[－2,1]
C．　 D．
解析：因为第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，所以第三次所取的区间可能为，，，.故选D.
6．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0,1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　C　)
A．5　　　 B．6　　　
C．7　　　 D．8
解析：开区间(0,1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以<0.01.又n∈N*，所以n≥7，且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝__－1.625__.
解析：由题意得x0＝1.5，故f(x0)＝f(1.5)＝1.53－2×1.5－2＝－1.625.
8．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为__0.687_5__.(精确度为0.1)
解析：因为f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，所以方程的解在(0.687 5,0.75)上，而|0.75－0.687 5|<0.1，所以方程的一个近似解为0.687 5.
9．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取__1.562_5__.
解析：由f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 2)≈－0.029<0，则方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.
三、解答题
10．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)
解：令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，
即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)．
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，
由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.
11．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9
由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．
解：因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25，1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．
12. (1)证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解；
(2)求出f(x)＝2x＋3x－6在区间[0，＋∞)的零点(精确度为0.1)．
参考数据：f(1.5)≈1.33，f(1.25)≈0.128，
f(1.125)≈－0.44，f(1.187 5)≈－0.16.
解：(1)证明：设函数f(x)＝2x＋3x－6.
因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又因为f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，即方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
(2)由(1)可知方程6－3x＝2x在区间[1,2]有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]．
取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，所以x0∈(1,1.5)．
取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，
f(1)f(1.25)<0，所以x0∈(1,1.25)．
取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，
f(1.125)f(1.25)<0，所以x0∈(1.125,1.25)．
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，
f(1.187 5)f(1.25)<0，所以x0∈(1.187 5,1.25)．
因为|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，所以可取x0＝1.25，则方程的实数解为x0＝1.25.
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