4.5.3 函数模型的应用 同步练习（含答案）

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4.5.3　函数模型的应用
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)实际问题中两变量之间一定有确定的函数关系．(　×　)
(2)实际问题中，函数的定义域只需使函数有意义．(　×　)
(3)用拟合函数预测的结果和实际的结果可能有偏差．(　√　)
(4)对于一个实际问题，数据收集的越多，建立的函数模型的模拟效果越好．(　√　)
题型1　指数函数模型的应用
2．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　D　)
A．22小时　 B．23小时　
C．33小时　 D．24小时
解析：由题意可得x＝0时，y＝192，x＝22时，y＝48，代入y＝ekx＋b可得eb＝192，e22k＋b＝48，即有e11k＝，则当x＝33时，y＝e33k＋b＝3×192＝24.故选D.
3．某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.1≈0.041，lg 2≈0.301)(　C　)
A． 2022年　　　 B． 2023年　
C． 2024年　　　 D． 2025年
解析：设从2016年后，第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得，100×(1＋10%)n>200，即1.1n>2，两边取对数可得，n>≈≈7.3，则n≥8，即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是2024年．
4．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　A　)
A．略有亏损　　　　
B．略有盈利
C．没有盈利也没有亏损　　　　
D．无法判断盈亏情况
解析：由题意可得，(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．
题型2　对数函数模型的应用
5．据统计，第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)近似满足y＝alog3(x＋2)，观测发现第1年有越冬白鹤3 000只，估计第7年有越冬白鹤(　C　)
A．4 000只　　 　 B．5 000只
C．6 000只　 D．7 000只
解析：当x＝1时，由3 000＝alog3(1＋2)，得a＝3 000，所以当x＝7时，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000(只)．
6．已知函数t＝－144lg的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是(　A　)
A．144 h　 B．90 h　　
C．60 h　 D．40 h
解析：由N＝90可知，t＝－144lg＝144(h)．
7．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当纸张的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w，厚度为x的矩形纸张，在理想情况下，对折次数n有下列关系：n≤log2(注：lg 2≈0.3)，根据以上信息，一张长为21 cm，厚度为0.05 mm的纸最多能对折__8__次．
解析：由题意n≤log2＝log2＝log24 200＝＝.
因为log210＝＝，0题型3　建立拟合型函数解决实际问题
8．“菊花”型烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)存在函数关系，并得到相关数据如表：
时间t 1
3
高度h 19 23.5 19
(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系：y1＝kt＋b，y2＝at2＋bt＋c，y3＝abt，确定此函数解析式并简单说明理由；
(2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求此时烟花距地面的高度．
解：(1)由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y2满足，故选取该函数．设h(t)＝at2＋bt＋c，
由表中数据得解得
所以h(t)＝－6t2＋24t＋1(t≥0)．
(2)由(1)得h(t)＝－6(t－2)2＋25，故烟花冲出后2 s是爆裂的最佳时刻，此时距地面高度为25米．
易错点　忽略限制条件
9．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b解：设四边形EFGH的面积为S.
因为S△AEH＝S△CFG＝x2，S△BEF＝S△DGH＝(a－x)·(b－x)，
所以S＝ab－2，
即S＝－2x2＋(a＋b)·x＝－22＋.
由图形知此函数的定义域为{x|0因为0则当x＝时，S取得最大值，且Smax＝.
若>b，即a>3b，则S在区间(0，b]上是增函数，因此当x＝b时，S取得最大值，且Smax＝ab－b2.
综上所述，当b3b，x＝b时，四边形EFGH的面积最大，且最大面积为ab－b2.
[误区警示]　本题易出现没有考虑二次函数的定义域，直接套用求二次函数最值的公式的错误．本题需对与函数的定义域的关系进行分类讨论．
(限时30分钟)
一、选择题
1．如果一种放射性元素每年的衰减率是8%，那么a kg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于(　C　)
A．lg 　 B．lg 　　
C．　 D．
解析：由题意得a(1－8%)t＝，两边取对数，得lg 0.92t＝lg 0.5，即tlg 0.92＝lg 0.5，所以t＝.
2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数解析式为y＝0.3×2x－2＋10(0A．18.8万元　 B．19.8万元
C．20.8万元　　　 D．29.2万元
解析：因为总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数解析式为y＝0.3×2x－2＋10(0所以总成本为y＝0.3×28－2＋10＝29.2(万元)．
因为每台产品的售价为6万元，
所以当产量为8台时，生产者可获得的利润为6×8－29.2＝48－29.2＝18.8(万元)．
3．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p0×2－，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝(　C　)
A．150毫克/升　 B．300毫克/升
C．150ln 2毫克/升　　 　 D．300ln 2毫克/升
解析：因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p0＝600ln 2.因为p(t)＝p0×2－，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．
4．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(记作[H＋]，单位mol/L)和氢氧根离子的物质的量的浓度(记作[OH－]，单位mol/L)的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　C　)
A．　 B．　　
C．　 D．
解析：因为[H＋]·[OH－]＝10－14，
所以＝[H＋]2×1014.
因为7.35<－lg[H＋]<7.45，所以10－7.45<[H＋]<10－7.35，所以10－0.9<＝1014·[H＋]2<10－0.7.
所以－0.9又lg ≈－0.3，lg ≈－0.48，lg ＝－lg 6＝－(lg 2＋lg 3)≈－0.78，lg ＝－1，所以只有lg 在范围之中，故选C.
二、填空题
5．某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a>0且a≠1)，x∈N*.当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为__40.5__元．
解析：由题意可得方程组：结合a>0且a≠1，解得即y＝128×x，则该商品上架第4天的价格为128×4＝＝40.5(元)．
6．设在海拔x(单位：m)处的大气压强为y(单位：kPa)，y与x的函数关系可近似地表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数解析式，在海拔2 000 m处的大气压强为__81__ kPa.
解析：将(1 000,90)代入y＝100eax，可得a＝，y与x的函数关系可近似表示为y＝100ex，当x＝2 000时，y＝100e2ln 0.9＝81.
三、解答题
7．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按log5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解：(1)由题意知，
当0≤x<8时，y＝0.15x；
当x>8时，y＝8×0.15＋log5(2x－15)
＝1.2＋log5(2x－15)，
所以y＝
(2)由题意知1.2＋log5(2x－15)＝3.2，解得x＝20.
所以小江的销售利润是20万元．
8．家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q＝Q0e－，其中Q0是臭氧的初始量．
(1)随着时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？
(提示：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099)
解：(1)因为Q0>0，－<0，e>1 ,
所以Q＝Q0e－为减函数．
所以随着时间的增加，臭氧的含量是减少．
(2)设x年以后将会有一半的臭氧消失，则Q＝Q0e－＝Q0,
即e－＝，两边取自然对数，得 －＝ln ，解得x＝400ln 2≈277.2.
所以278年后将会有一半的臭氧消失．
9．有时可用函数f(x)＝描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增加量g(x)＝f(x＋1)－f(x)总是下降；
(2)根据经验，学科甲，乙，丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]，当学习某学科知识5次时，掌握程度是70%，请确定相应的学科.
解：(1)证明：当x≥7时， g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝－＝.
设x1>x2≥7，则
g(x1)－g(x2)＝－
＝.
因为x1>x2≥7，
所以g(x1)－g(x2)<0，所以g(x1)所以当x≥7时，掌握程度的增加量g(x)＝f(x＋1)－f(x)总是下降．
(2)由题意可得0.1＋15ln＝0.7，得ln ＝0.04，所以＝e0.04≈，得a≈130∈(127,133]，因此，该学科为丙学科．
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