5.1.1任意角 同步练习（含答案）

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5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)角的始边、终边确定的角的大小是确定的．(　×　)
(2)第一象限的角一定是锐角．(　×　)
(3)终边相同的角是相等的角．(　×　)
题型1　任意角和象限角的概念
2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　D　)
A．1个　 B．2个　
C．3个　 D．4个
解析：①－90°<－75°<0°，②180°<225°<270°，
③360°＋90°<475°<360°＋180°，④－360°＋0°<－315°<－360°＋90°，所以这四个命题都是正确的．
3．关于60°与－60°的说法正确的是(　C　)
A．旋转的角度都是60°，且旋转方向相同
B．旋转的角度都是60°，60°角是沿顺时针方向旋转，－60°角是沿逆时针方向旋转
C．旋转的角度都是60°，60°角是沿逆时针方向旋转，－60°角是沿顺时针方向旋转
D．以上都不对
4．在－330°，－885°，1 351°，2 012°这四个角中，其中第四象限角的个数为(　B　)
A．0　 B．1　
C．2　 D．3
解析：－330°为第一象限角；－885°＝－165°－720°，是第三象限角；1 351°＝271°＋3×360°，是第四象限角；2 012°＝212°＋5×360°，是第三象限角．
所以第四象限角的个数为1.
5．若α＝45°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在(　A　)
A．第一或第三象限　 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限　 D．第三或第四象限
解析：α＝45°＋k·180° (k∈Z)表示终边落在一、三象限的角平分线上的角，是第一或第三象限角．
题型2　终边相同的角
6．与－457°角终边相同的角的集合是(　C　)
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
解析：因为－457°＝－2×360°＋263°，所以与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}．
7．已知－990°＜α＜－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝__－960°__.
解析：因为α与120°角终边相同，
故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.
又－990°＜α＜－630°，
所以－990°＜k·360°＋120°＜－630°，
即－1 110°＜k·360°＜－750°.
所以－3所以k＝－3，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°.
8．2 021°是第__三__象限角．
解析：因为2 021°＝5×360°＋221°，221°在第三象限，故2 021°是第三象限角．
题型3　象限角及其应用
9．角α与β的终边关于y轴对称，则有(　D　)
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°(k∈Z)
C．α＋β＝2k·180°(k∈Z)
D．α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)
解析：因为α，β关于y轴对称，所以α＝360°·k＋180°－β，所以α＋β＝360°·k＋180°(k∈Z)．
10．如果α是第三象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角(　B　)
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限　 D．第四象限
解析：α是第三象限的角，则α∈(180°＋k·360°，270°＋k·360°)，k∈Z，所以∈(60°＋k·120°，90°＋k·120°)，k∈Z，
所以可以是第一、第三、或第四象限角．
11．如图，终边在阴影部分内的角的集合为　{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}　.
解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
12．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈　{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}　.
解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°＜α＜150°和210°＜α＜330°.
所以α∈{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．
易错点1　忽视终边相同的角之间的关系
13．若α与β终边相同，则α－β的终边落在(　A　)
A．x轴的非负半轴上　　　 B．x轴的非正半轴上
C．y轴的非负半轴上　　　 D．y轴的非正半轴上
解析：因为α＝β＋k·360°，k∈Z，所以α－β＝k·360°，k∈Z，所以其终边在x轴的非负半轴上．
[误区警示]　终边相同的角的差为k·360°，k∈Z.
易错点2　忽视区域边界是否取到
14．终边落在如图所示阴影部分的角的集合为　{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}　.
解析：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．
[误区警示]　本题易忽略区域边界线是实线还是虚线，边界线是虚线时不等式的“≥”或“≤”应变为“>”或“<”．
(限时30分钟)
一、选择题
1．如果角α的终边上有一个点P(0，－1)，那么α(　D　)
A．是第三象限角　 B．是第四象限角
C．是第三或第四象限角　 D．不是任何象限角
解析：因为点P落在y轴的非正半轴上，即α的终边落在y轴的非正半轴上，因此α不是任何象限角．
2．在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是(　D　)
A．120°　 B．60°　　
C．180°　 D．240°
解析：因为与－120°终边相同的角的集合为{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．取k＝1，可得在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是240°.
3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(　B　)
A．－165°＋(－2)×360°　 B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360° 　 D．165°＋(－3)×360°
解析：－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°.
4．(多选题)若α＝－30°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在(　BD　)
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限　 D．第四象限
解析：α＝－30°＋k·180° (k∈Z)表示终边落在第二、四象限上的角，是第二或第四象限．
5．如果α是第三象限角，则－是(　C　)
A．第一象限角　 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角　 D．第二或第四象限角
解析：因为α是第三象限角，
所以k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°(k∈Z)，
所以k·180°＋90°＜＜k·180°＋135°(k∈Z)，
所以当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°＜＜n·360°＋135°；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°＜＜n·360°＋315°.
所以为第二或第四象限角，所以－是第一或第三象限角．
6．已知集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于(　C　)
A．{－36°，54°}　 B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}　 D．{－126°，54°}
解析：根据集合B确定集合A中的k的值．当k＝－1,0,1,2时，求得相应α的值为－126°，－36°，54°，144°.
故A∩B等于{－126°，－36°，54°，144°}．
二、填空题
7．已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小的正角是__240°__.
解析：与α角终边相同的角为β＝k·360°－3 000°(k∈Z)．由题意，令k·360°－3 000°>0°，则k>，
故取k＝9，得与α终边相同的最小正角为240°.
8．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝__270°__.
解析：由于角5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.
9．角α，β的终边关于y＝x对称，若α＝30°，则β＝　60°＋k·360°，k∈Z　.
解析：因为30°与60°的终边关于y＝x对称，所以β的终边与60°角的终边相同．
所以β＝60°＋k·360°，k∈Z.
10．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是__－5__度，分针所转成的角度是__－60__度．
解析：由题意结合任意角的定义可知，钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是－×＝－5°，
分针所转成的角度是－×360°＝－60°.
三、解答题
11．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
解：(1)如题图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
(2)由于－360°<β<720°，
即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.
解得－所以n＝－2，－1,0,1,2,3.
所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素为60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.
12．已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
13．已知集合A＝{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°≤β≤k·360°＋45°，k∈Z}，求A∩B.
解：如图所示，集合A中角的终边是30°至90°角的终边或210°至270°角的终边，集合B中角的终边是－45°至45°角的终边，
所以A∩B的角的终边是30°至45°角的终边，
所以A∩B＝{α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．
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