5.1.2弧度制 同步练习（含答案）

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5.1.2　弧度制
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角．(　×　)
(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关．(　×　)
(3)1弧度的角是周角的.(　×　)
2．下列说法中，错误的是(　D　)
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．
题型1　角度与弧度的互化
3．1 920°转化为弧度数为(　D　)
A．　 B．　
C．　 D．
解析：1 920°＝1 920× rad＝ rad.
4．把－157°30′化成弧度为　－　，－化成度为__－75°__.
解析：－157°30′＝－157.5°＝－× rad＝－ rad.－＝－×°＝－75°.
5．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有　，　.(用弧度表示)
解析：因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．当k＝0时，θ＝72°＝；当k＝1时，θ＝432°＝.所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有，.
题型2　利用弧度制表示角(范围)
6．下列表示中不正确的是(　D　)
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上角的集合是
C．终边在坐标轴上角的集合是
D．终边在直线y＝－x上角的集合是α＝－＋2kπ，k∈Z
解析：因为终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为α＝＋kπ，k∈Z，所以终边在坐标轴上的角的集合为∪＝α＝，k∈Z，故A，B，C正确；对于D，终边在直线y＝－x上的角的集合是，故D错误，故选D.
7．用弧度制表示终边落在第二象限的角组成的集合为(　D　)
A．kπ<α<＋kπ，k∈Z
B. ＋kπ<α<π＋kπ，k∈Z
C．2kπ<α<＋2kπ，k∈Z
D. ＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z
解析：因为终边落在y轴正半轴的角的集合为α＝＋2kπ，k∈Z，终边落在x轴负半轴的角的集合为{α|α＝π＋2kπ，k∈Z}，所以终边落在第二象限的角组成的集合可表示为＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.
8．终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　D　)
A．　 B．
C．α＝＋2kπ，k∈Z　 D．α＝＋kπ，k∈Z
解析：因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，所以角α的终边落在直线y＝x上，所以角α的集合是α＝＋kπ，k∈Z.
9．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是(　D　)
A．第四象限　 B．第三象限
C．第二象限　 D．第一象限
解析：因为－2π＜－5＜－，所以θ是第一象限角．
10．在(－4π，4π)内与－角的终边相同的角是　－，－，，　.
解析：首先写出与－π角的终边相同的角的集合α＝2kπ－π，k∈Z，然后再写出(－4π，4π)内的角α，即当k＝3,4,5,6时，α分别对应为－，－，，.
题型3　扇形弧长、面积公式的应用
11．[2020·烟台高一检测]若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是(　D　)
A．　 B．　
C．1　 D．2
解析：设扇形的半径为r.因为扇形的弧长为，圆心角为，所以由扇形的弧长公式可得＝×r，解得r＝2.
12．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　C　)
A．　 B．　
C．　 D．2
解析：设圆内接正三角形的边长为a，则圆的半径r＝a，所以a＝r，所以圆弧长度l＝r＝αr，所以α＝.
13．若扇形的半径变为原来的2倍，弧长也变为原来的2倍，则(　B　)
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的2倍
D．扇形的圆心角变为原来的2倍
解析：由扇形的弧长公式l＝αr，得α＝，所以当扇形半径和弧长都变为原来的2倍时，圆心角不变；由扇形面积公式S＝lr，得当半径和弧长都变为原来的2倍时，面积变为原来的4倍．
易错点　面积公式代入错误
14．已知一扇形的圆心角α＝60°，所在圆的半径R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．
解：设弧长为l，弓形面积为S弓．
因为α＝60°＝，R＝10 cm，所以l＝αR＝(cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－×10×10×sin 60°
＝50(cm2)．
[误区警示]　应将角度化为弧度，才能利用弧长公式l＝αR和面积公式S＝αR2＝lR求弧长和面积．
(限时30分钟)
一、选择题
1．(多选题)下列各式不正确的是(　AC　)
A．－210°＝－　 B．405°＝
C．335°＝　 D．705°＝
解析：对于A，－210°＝－210°×＝－，错误；
对于B,405°＝405°×＝，正确；
对于C,335°＝335°×＝，错误；
对于D,705°＝705°×＝，正确．
2．集合kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z中角的终边所在的范围(阴影部分)是(　C　)
解析：当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.故选C.
3．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧A的长为(　A　)
A．　 B．π　
C．　 D．
解析：如图，连接AO，OB.
因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧A的长为·r＝.
4．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是(　C　)
A．　 B．　
C．　 D．π
解析：8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是×4＝.
5．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是(　C　)
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限　 D．第四象限
解析：－3π的终边在x轴的非正半轴上，－的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．
6．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦＋矢)×矢，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　C　)
(参考数据：π≈3.14，≈1.73)
A．220平方米　 B．246平方米
C．223平方米　 D．250平方米
解析：如图，由题意可得∠AOB＝，OA＝20，
在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×20＝10，所以矢＝20－10＝10.
由AD＝AO·sin ＝20×＝10，
得弦AB＝2AD＝2×10＝20，
所以弧田面积＝(弦＋矢)×矢＝(20＋10)×10≈223(平方米)．
二、填空题
7．设集合M＝α＝－，k∈Z，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝　　.
解析：由－π＜－＜π，得－＜k＜.因为k∈Z，所以k＝－1,0,1,2，
故M∩N＝.
8．半径为1，圆心角为的扇形的弧长为　　，面积为　　.
解析：因为α＝，r＝1，所以弧长l＝α·r＝，
面积S＝lr＝××1＝.
9．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝　[－4，－π]∪[0，π]　.
解析：如图所示，
所以A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．
三、解答题
10．已知α＝1 690°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．
解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋.
(2)因为θ与α终边相同，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．
又θ∈(－4π，4π)，所以－4π<2kπ＋<4π.
解得－所以θ的值是－，－，，.
11．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
　
图1 图2
解：(1)如题图1，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z.
(2)如题图2，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1＝2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z，
M2＝＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.
所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝2kπ＜α＜＋2kπ或＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.
12．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)弧AB的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
解：(1)因为120°＝120×＝，
所以l＝α·r＝×6＝4π，所以弧AB的长为4π.
(2)S扇形AOB＝lr＝×4π×6＝12π.
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
因为∠AOB＝120°，所以∠OBD＝30°＝，
所以在Rt△OBD中，OD＝OB＝3，BD＝6cos ，
所以S△OAB＝AB·OD＝×2×6cos ×3＝9.
所以弓形的面积为S扇形AOB－S△OAB＝12π－9.
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