5.3.2诱导公式(二) 同步练习（含答案）

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课时2　诱导公式(二)
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点是P′(－y0，－x0)．(　×　)
(2)诱导公式五、六可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．(　√　)
(3)在△ABC中，sin＝cos .(　√　)
(4)sin＝±cos α.(　×　)
题型1　给值求值问题
2．已知sin＝，那么cos α＝(　C　)
A．－　 B．－　
C．　 D．
解析：因为sin＝sin＝cos α，所以cos α＝.
3．已知sin(3π＋α)＝，则cos的值为(　A　)
A．　 B．－　
C． 　 D．－
解析：由sin(3π＋α)＝得sin α＝－，所以cos＝cos＝－sin α＝.
4．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)的值是(　B　)
A．　　 B．－　
C．－　　 D．
解析：因为sin θ＝，所以cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－.
5．已知cos＝，则sin＝　－　.
解析：sin＝sin＝－sin＝－cos＝－.
题型2　化简、证明问题
6．化简sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝__－1__.
解析：原式＝－sin α·sin α＋cos α·(－cos α)＝－sin2α－cos2α＝－1.
7．求证：＝1.
证明：
左边＝
＝＝1＝右边．
所以原式成立．
8．化简：(1)·sincos；
(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．
解：(1)原式＝·sin·(－sin α)＝·(－sin α)
＝·(－cos α)(－sin α)＝－cos2α.
(2)原式＝sin(－α－π)cos－sin·cos [－(2π－α)]
＝sin[－(α＋π)]cos＋sincos(2π－α)
＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α＝sin2α＋cos2α＝1.
题型3　诱导公式的综合应用
9．设tan α＝3，则＝(　B　)
A．3　 B．2　
C．1　 D．－1
解析：＝
＝＝＝2.
10．α为锐角，2tan(π－α)－3cos＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝(　C　)
A．　 B．　
C．　 D．
解析：由已知可得，－2tan α＋3sin β＋5＝0①，
tan α－6sin β＝1②，联立①②，解得tan α＝3.因为α为锐角，所以sin α＝.
11．已知f(α)＝，
则f＝　－　.
解析：由于tan＝＝＝，所以f(α)＝＝－cos α，
则f＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
易错点1　忽视角度之间的互余关系致误
12．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝(　C　)
A．89　　　 　 B．90　
C．　 D．45
解析：因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，所以sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44×1＋sin245°＝44＋＝.
[误区警示]　本题容易忽视角度之间的互余关系，从而导致无法计算．
易错点2　忽视诱导公式五、六符号规律致误
13．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ＝　－　.
解析：因为cos＝－sin φ＝，所以sin φ＝－.
因为|φ|＜，所以φ＝－，所以tan φ＝tan＝－tan＝－.
[误区警示]　本题容易出现诱导公式符号规律不清导致的错误．
(限时30分钟)
一、选择题
1．(多选题)下列等式成立的是(　BD　)
A．sin＝cos x　　
B．cos＝sin x
C．sin＝cos α　　
D．cos＝sin α
解析：sin＝－sin＝－cos x，A错误；cos＝cos＝sin x，B正确；sin＝－sin＝－cos α，C错误；cos＝－cos＝sin α，D正确．
2．已知α∈，cos＝，则tan(2 020π－α)的值为(　B　)
A．　 B．－
C．或－　 D．或－
解析：因为cos＝cos＝－cos＝－sin α，所以由cos＝，得sin α＝－，又0＜α＜，所以π＜α＜，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝.
故tan(2 020π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－.
3．已知tan(π－α)＝－，则的值是(　B　)
A．　 B．　
C．　 D．1
解析：由tan(π－α)＝－，得tan α＝.
所以＝＝＝.
4．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为(　A　)
A．－　 B．　
C．－　 D．
解析：f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
5．已知cos(60°＋α)＝，且－180°＜α＜－90°，则cos(30°－α)的值为(　A　)
A．－　 B．　
C．－　　　　 D．
解析：由－180°＜α＜－90°，得－120°＜60°＋α＜－30°.又cos(60°＋α)＝＞0，所以－90°＜60°＋α＜－30°，即－150°＜α＜－90°，所以120°＜30°－α＜180°，所以cos(30°－α)＜0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－＝－＝－.
二、填空题
6．sin(π＋θ)＝，sin＝，则θ角的终边在第__四__象限．
解析：因为sin(π＋θ)＝，所以sin θ＝－<0.
因为sin＝，所以cos θ＝>0，
所以θ角的终边在第四象限．
7．若cos θ＝，θ为锐角，则sin θ＝　　，＝__1__.
解析：因为cos θ＝，θ为锐角，则sin θ＝＝，所以＝＝＝1.
8．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是__①③__.(填上所有符合的序号)
①sin β＝；②cos(π＋β)＝；③tan β＝；
④tan β＝.
解析：由sin(π＋α)＝－，得－sin α＝－，所以sin α＝.故cos α＝±.由题意，若α与β“广义互余”，则α＋β＝90°，所以sin β＝cos α＝±，cos β＝sin α＝，tan β＝±.故①③满足，④不满足；对于②，由cos(π＋β)＝，得cos β＝－，不满足．故答案为①③.
三、解答题
9．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
解：因为方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，又α是第三象限角，所以sin α＝－，则cos α＝－，
所以·tan2(π－α)
＝·tan2α＝－tan2α＝－＝－.
10．已知f(cos x)＝cos 17x.
(1)求证：f(sin x)＝sin 17x；
(2)对于怎样的整数n，能由f(sin x)＝sin nx推出f(cos x)＝cos nx?
解：(1)证明：f(sin x)＝f
＝cos＝cos
＝cos＝sin 17x.
(2)f(cos x)＝f
＝sin＝sin
＝k∈Z.
故所求的整数为n＝4k＋1，k∈Z.
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