5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 同步练习（含答案）

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5.4　三角函数的图象与性质
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)“五点法”作正、余弦函数图象时的“五点”是指图象上的任意五点．(　×　)
(2)函数y＝cos x与y＝cos(－x)的图象完全相同．(　√　)
(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．(　√　)
(4)正弦函数在和上的图象相同．(　√　)
题型1　正弦、余弦函数的图象
2．(多选题)以下对正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是(　AC　)
A．在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象形状不相同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析：画出y＝sin x的图象，根据图象可知B，D两项都正确．
3．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　B　)
A．重合
B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称
D．形状不同，位置不同
解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．
4．函数y＝－cos x(x>0)的图象中与y轴距离最近的最高点的坐标为(　B　)
A．　 B．(π，1)
C．(0,1)　　 D．(2π，1)
解析：作出函数y＝－cos x(x>0)的图象(图略)，由图易知与y轴距离最近的最高点的坐标为(π，1)．
5．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象(　D　)
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位，得g(x)的图象
D．向右平移个单位，得g(x)的图象
解析：因为f(x)＝sin，g(x)＝cos＝cos＝sin x，所以f(x)的图象向右平移个单位可得到g(x)的图象．
题型2　正弦、余弦函数图象的应用
6．已知函数y＝a＋cos x在区间[0,2π]上有且只有一个零点，则a＝__1__.
解析：作函数y＝cos x在区间[0,2π]上的图象，如图所示，结合图象可知，
若y＝a＋cos x在区间[0,2π]上有且只有一个零点，则a－1＝0，故a＝1.
7．要得到y＝cos x，x∈[－2π，0]的图象，只需将y＝cos x，x∈[0,2π]的图象向__左__平移__2π__个单位长度．
8．已知函数f(x)＝3＋2cos x的图象经过点，则b＝__4__.
题型3　“五点法”作图及应用
9．用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0,2π]的图象时，应取的五个关键点分别是　(0,0)，，(π，2)，，(2π，0)　.
解析：x依次取0，，π，，2π，得五个关键点为(0,0)，，(π，2)，，(2π，0)．
10．函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝的交点个数是__2__.
解析：在同一坐标系内画出y＝1＋sin x和y＝的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.
11．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象．
解：列表如下：
x －π － 0
π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2sin x 1 3 1 －1 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．
易错点1　忽视利用诱导公式化简导致错误
12．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是(　B　)
解析：y＝sin(－x)＝－sin x，x∈[0,2π]的图象与y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于x轴对称．
[误区警示]　本题容易忽视利用诱导公式化简，导致图象位置错误．
易错点2　忽视特殊点导致错误
13．若函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有三个不同的交点，则k的值为__1或0__.
解析：原函数可化为分段函数f(x)＝

如图所示，由图象可得k＝1或0.
[误区警示]　本题容易忽视k＝0的情况导致漏解．
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一、选择题
1．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为(　D　)
解析：由题意得
y＝结合选项可知D正确．
2．如图是下列哪个函数的图象(　C　)
A．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]
B．y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]
C．y＝1－sin x，x∈[0,2π]
D．y＝1－2sin x，x∈[0,2π]
解析：当x＝时，y＝0，排除A，B，D.故选C.
3．点M在函数y＝sin x的图象上，则m等于(　C　)
A．0　 B．1　
C．－1　 D．2
解析：由题意得－m＝sin ，所以－m＝1，所以m＝－1.
4．在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是(　B　)
A．[0，π]　 B．　
C．　 D．[π，2π]
解析：在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0,2π)与y＝cos x，x∈(0,2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x∈时，sin x>cos x.
5．函数y＝ln cos x的图象是(　A　)
解析：首先y＝ln cos x＝ln cos(－x)，所以函数为偶函数，排除B，D.又因为－＜x＜时，cos x∈(0,1]，所以y＝ln cos x≤0，排除C.故选A.
6．若sin θ＝1－log2x，则实数x的取值范围是(　A　)
A．[1,4]　 B．
C．[2,4]　 D．
解析：由sin θ∈[－1,1]得－1≤1－log2x≤1，解得0≤log2x≤2，即1≤x≤4.
二、填空题
7．定义在区间[0,5π]上的函数y＝2sin x的图象与y＝cos x的图象的交点个数为__5__.
解析：画出函数y＝2sin x与y＝cos x在[0,2π]上的图象，如图所示．
由图可知，在[0,2π]内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在(π，2π]上有1个交点．所以函数y＝2sin x与y＝cos x在区间[0,5π]上的图象共有5个交点．
8．函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是__4π__.
解析：如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)作出该函数的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值．
图1
解：(1)作出函数f(x)＝的图象，
如图1所示．
(2)因为f(x)＝，所以在图1基础上再作直线y＝，如图2所示．则当－π≤x<0时，由图象知x＝－，当0≤x≤π时，
图2
x＝或x＝.综上，可知x的值为－或或.
10．若方程sin x＝在x∈上有两个实数解，求a的取值范围．
解：设h(x)＝sin x，x∈，g(x)＝.
作出h(x)＝sin x，x∈的图象如图所示．
由图可知，当≤＜1，即－1＜a≤1－时，h(x)＝sin x，x∈的图象与g(x)＝的图象有两个交点，即方程sin x＝在x∈上有两个实数解．所以a的取值范围是(－1,1－]．
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