5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 同步练习（含答案）

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5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
课时1　正弦函数、余弦函数的性质(一)
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)如果存在常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(　×　)
(2)如果存在非零常数T，使得定义域内存在一个值x，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(　×　)
(3)因为sin＝sin，则是函数y＝sin x的一个周期．(　×　)
(4)函数y＝是奇函数．(　×　)
题型1　函数的周期
2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　B　)
解析：由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.
3．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，则f(6)＝__3__.
解析：因为函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，所以f(6)＝f(2×2＋2)＝f(2)＝3.
4．已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．则f(x)的周期是__4__.当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝__－0.5__.
解析：f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数．所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
题型2　正弦、余弦的周期
5．下列函数中，周期为的是(　D　)
A．y＝sin 　 B．y＝sin 2x
C．y＝cos　 D．y＝cos(－4x)
6．函数f(x)＝|cos 2x|的最小正周期为(　B　)
A．π　 B．　
C．2π　 D．
7．如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为(　B　)
A．3　　 B．6　
C．12　 D．24
解析：函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，所以T＝2×＝，又＝，解得ω＝6.
8．函数y＝cos的最小正周期是__4__.
解析：因为y＝cos＝sin x，
所以T＝＝2π×＝4.
题型3　周期性、奇偶性的应用
9．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　A　)
A．奇函数　 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数　 D．非奇非偶函数
解析：由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
10．定义在R上的函数f(x)的周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　B　)
A．1　 B．－1　
C．0　 D．2
解析：f＝f＝f＝－f＝－1.
11．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出函数的简图．
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解：(1)y＝sin x＋|sin x|
＝
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
易错点1　对周期的概念不理解致误
12．下列说法中正确的是(　A　)
A．当x＝时，sin≠sin x，所以不是f(x)＝sin x的周期
B．当x＝时，sin＝sin x，所以是f(x)＝sin x的一个周期
C．因为sin(π－x)＝sin x，所以π是y＝sin x的一个周期
D．因为cos＝sin x，所以是y＝cos x的一个周期
解析：T是f(x)的周期，对应f(x)的定义域内任意x都有f(x＋T)＝f(x)成立．因此B，C，D错误．
[误区警示]　只有当对于定义域内任意x都有f(x＋T)＝f(x)时，非零常数T才是函数f(x)的周期．
易错点2　错误使用周期公式导致错误
13．函数y＝sin的最小正周期等于2，则实数k的取值为__±4π__.
解析：函数y＝sin的最小正周期等于2，所以2＝，即|k|＝4π，所以k＝±4π.
[误区警示]　本题容易出现用错公式求值，导致漏解．
(限时30分钟)
一、选择题
1．(多选题)下列函数中，是奇函数的为(　ACD　)
A．y＝x2sin x　 B．y＝sin x，x∈[0,2π]
C．y＝sin x，x∈[－π，π]　 D．y＝xcos x
2．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于(　B　)
A．x轴对称　 B．原点对称
C．y轴对称　 D．直线x＝对称
3．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是(　B　)
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
解析：f(x)＝sin－1＝－cos πx－1，从而函数为偶函数，且T＝＝2.
4．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 020)＝(　B　)
A．　 B．2　
C．　 D．8
解析：因为f(x＋6)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6，故f(2 020)＝f(4)＝＝2.
5．函数f(x)＝xcos x－sin x的部分图象大致为(　C　)
解析：函数f(x)＝xcos x－sin x满足f(－x)＝－f(x)，即该函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；当x＝π时，f(π)＝πcos π－sin π＝－π<0，故排除A；当x＝时，f(x)＝－1<0，排除D.故选C.
6．已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当0A．aC．c解析：a＝f＝f＝f＝－f，
b＝f＝f＝f＝－f，
c＝f＝f＝f.
因为当0二、填空题
7．若f(x)＝sin x，则f＋f＝__0__.
解析：因为f＝f，f(x)为奇函数，所以f＋f＝f＋f＝0.
8．已知f(x)＝2cosx，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝　3＋　.
解析：易知f(x)的最小正周期T＝12，
f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(11)＝0，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝168[f(0)＋…＋f(11)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝2cos 0＋2cos＋2cos＋2cos＝3＋.
9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意的x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0,2π)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 017)＋f(2 019)＝__3__.
解析：因为当x≥0时，f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(2 019)＝f(3)＝log24＝2.又f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，所以f(－2 017)＋f(2 019)＝1＋2＝3.
三、解答题
10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图．
解：(1)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
因为当x∈时，f(x)＝sin x，
所以当x∈时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x．又当x∈时，x＋π∈，
f(x)的周期为π，所以f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x．所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)如图．
11．设函数f(x)＝sin(k∈N*)，若在区间[a，a＋3](a为实数)上存在有不少于4个且不多于8个不同的x0，使f(x0)＝，求k的值．
解：因为f(x)在一个周期内有且只有2个不同的x0，使f(x0)＝，所以f(x)在区间[a，a＋3]上至少有2个周期，至多有4个周期．而这个区间的长度为3个单位，所以即≤T≤，即≤≤，解得≤k≤.因为k∈N*，所以k＝2或k＝3.
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