5.4.3正切函数的性质与图象 同步练习（含答案）

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5.4.3　正切函数的性质与图象
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期公式为T＝.(　×　)
(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．(　×　)
(3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．(　×　)
(4)正切函数在R上是单调递增函数．(　×　)
题型1　正切函数的周期、定义域、值域、奇偶性
2．函数y＝|tan 2x|是(　D　)
A．周期为π的奇函数　　　 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数　　　 D．周期为的偶函数
解析：f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)，为偶函数，T＝.
3．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝__±1__.
解析：由题意得g(x)的最小正周期为π，则＝π，得ω＝±1.
4．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是__0__.
解析：由已知得T＝，所以＝，所以ω＝4，
所以f(x)＝tan 4x，所以f＝0.
5．函数y＝3tan(π＋x)，－解析：函数y＝3tan(π＋x)＝3tan x，因为正切函数在上是增函数，所以－3题型2　正切函数的单调性
6．比较tan 138°与tan 143°的大小__tan_138°＜tan_143°__.
解析：因为90°＜138°＜143°＜270°，且y＝tan x在x∈(90°，270°)上是增函数，所以tan 138°＜tan 143°.
7．函数y＝－2tan的单调递减区间是　，k∈Z　.
解析：求此函数的递减区间，也就是求y＝2tan的递增区间，由kπ－<3x＋题型3　正切函数图象和性质的综合应用
8．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　D　)
A．x＝　 B．x＝－　
C．x＝　 D．x＝
解析：当x＝时，2x＋＝，而的正切值不存在，所以直线x＝与函数的图象不相交．
9．函数y＝tan在一个周期内的图象是(　A　)
解析：令y＝tan＝0，则有x－＝kπ，x＝2kπ＋，k∈Z.再令k＝0，得x＝，可知函数图象与x轴一交点的横坐标为.故可排除C，D.令x－＝－，得x＝－，或令x－＝，得x＝.故排除B.
10．函数y＝6tan的对称中心为　，k∈Z　.
解析：y＝6tan＝－6tan，由6x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故对称中心为，k∈Z.
11．若函数f(x)＝tan，则f(－1)，f(0)，f(1)按从小到大的顺序是__f(1)解析：f(－1)＝tan，f(0)＝tan，f(1)＝tan＝tan＝tan.
又－<1－<－1＋<<，且tan x在上递增．所以f(1)12．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．
解：由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋2kπ，k∈Z，所以函数y＝tan的定义域为x≠＋2kπ，k∈Z.
T＝＝2π，所以函数y＝tan的周期为2π.
由－＋kπ－＋2kπ所以函数y＝tan的单调递增区间为
(k∈Z)．
易错点1　忽视函数自身有意义致误
13．函数y＝的定义域是　x≠－＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z　.
解析：要使函数y＝有意义，则有
所以所以
所以函数y＝的定义域为x≠－＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z.
[误区警示]　本题容易忽视正切函数自身有意义，导致定义域错误．
易错点2　忽视系数对单调区间的影响致误
14．求函数y＝tan的单调区间．
解：y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－所以函数y＝tan的单调减区间是(k∈Z)，无增区间．
[误区警示]　本题容易出现判断为单调增的错误，求出增区间．
(限时30分钟)
一、选择题
1．函数y＝的定义域是(　C　)
A．x≤＋kπ，k∈Z
B.
C．
D.2kπ－＜x≤kπ＋，k∈Z
解析：要使函数有意义，只要logtan x≥0，即0＜tan x≤1.由正切函数的图象知，kπ＜x≤kπ＋，k∈Z.
2．直线y＝3与函数y＝tan ωx(ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是(　C　)
A．π　 B．
C．　 D．
解析：直线y＝3与函数y＝tan ωx的图象的相邻交点间的距离为y＝tan ωx的周期，故距离为.
3．(多选题)函数y＝是(　AC　)
A．奇函数　　
B．偶函数
C．定义域为x≠，k∈Z　　
D．定义域为x≠＋kπ，k∈Z
解析：定义域为x≠，k∈Z，且y＝＝，f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函数为奇函数．
4．设a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则(　B　)
A．a＜b＜c　　　 　 B．b＜a＜c　　
C．b＜c＜a　　　 　 D．a＜c＜b
解析：因为a＝sin ＝sin ＝sin ，b＝cos ＝sin ，c＝tan ＞tan ＝1，且函数y＝sin x在上单调递增，＞＞＞0，值域为(0,1)，所以c＞a＞b.
5．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝(　B　)
A．2＋　 B．　　
C．　 D．2－
解析：由图象可知：T＝2＝，所以ω＝2，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝.又f(0)＝1，所以Atan＝1，得A＝1，所以f(x)＝tan，所以f＝tan＝tan＝.
6．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　D　)
解析：当＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；
当x＝π时，y＝0；当π＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x＜0.
二、填空题
7．函数y＝的值域是__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__．
解析：因为y＝tan x在x∈时为增函数，所以－1≤tan x≤1，又tan x≠0，所以－1≤tan x<0或08．已知函数f(x)＝tan x＋，若f(α)＝5，则f(－α)＝__－5__.
解析：f(x)的定义域为∪(k∈Z)．可知f(x)的定义域关于原点对称．又f(－x)＝tan(－x)＋＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．所以f(－α)＝－f(α)＝－5.
9．观察正切曲线，满足条件|tan x|>的x的取值范围是　∪(k∈Z)　.
解析：画出函数y＝|tan x|的图象(图略)可知，|tan x|>时，x的取值范围为＋kπ三、解答题
10．已知x∈，求函数y＝＋2tan x＋1的最值及相应的x的值．
解：y＝＋2tan x＋1＝＋2tan x＋1
＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1.
因为x∈，所以tan x∈[－，1]．
当tan x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1；
当tan x＝1，即x＝时，y取得最大值5.
11．已知函数f(x)＝|1－tan x|＋|1＋tan x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；
(2)求函数f(x)的最小值．
解：(1)f(x)是偶函数，证明如下：
因为f(x)的定义域为x≠＋kπ，k∈Z关于原点对称，f(－x)＝|1－tan(－x)|＋|1＋tan(－x)|＝|1＋tan x|＋|1－tan x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)f(x)＝
所以当－1≤tan x≤1时，f(x)取得最小值2.
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