5.5.1.1两角差的余弦公式 同步练习（含答案）

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5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课时1　两角差的余弦公式
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)cos(80°－30°)＝cos 80°＋cos 30°.(　×　)
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　×　)
(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(　√　)
(4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝1.(　×　)
2．下列各式化简错误的是(　D　)
A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B．cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
C．sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45°
D．cos＝cos α＋sin α
解析：根据两角差的余弦公式，A，B，C均正确，D选项错误．
题型1　给角求值
3．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝(　B　)
A．　 B．　
C．　 D．－
解析：cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝.
4．化简：cos(α－55°)cos(α＋5°)＋sin(α－55°)sin(α＋5°)＝　　.
解析：原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝.
5．计算：cos 555°＝　－　.
解析：cos 555°＝cos(720°－165°)＝cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°)＝－＝－.
题型2　给值求值
6．已知sin α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)＝(　B　)
A．　　 B．
C．　　 D．
解析：因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos α＝－，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝.
7．已知sin α＝，α∈，则sin＝　　.
解析：由sin α＝，α∈，得cos α＝－＝－.
所以sin＝cos＝cos＝cos α＋sin α＝×＝.
8．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝　　.
解析：原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2＋2cos(α－β)＝.
9．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos(A－B)＝　－　.
解析：因为cos B＝－，且0所以cos A＝＝＝，所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝×＋×＝－.
题型3　公式的灵活应用
10．若sin α＝，α∈，则cos等于(　C　)
A．－　　 B．　　
C．－　　 D．
解析：由sin α＝，α∈，得cos α＝，
又cos＝－cos＝－cos cos α－sin αsin＝－(cos α＋sin α)＝－×＝－.
11．已知α为锐角，且cos＝，则cos α等于(　D　)
A．　 B．
C．　 D．
解析：因为α为锐角，所以0<α<，所以<α＋<，又cos＝，所以sin＝.所以cos α＝cos＝×＋×＝.
12．化简＝　　.
解析：原式＝＝
＝.
易错点1　对公式形式理解不清致误
13．化简：sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(γ－β)＝__cos(α＋γ－2β)__．
解析：原式＝sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(β－γ)＝cos[(α－β)－(β－γ)]＝cos(α＋γ－2β)．
[误区警示]　不会转化为余弦差的形式求解致误．
易错点2　忽视角终边的关系致误
14．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若α∈，sin α＝，则cos(α－β)＝　－　.
解析：因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，所以sin β＝sin α＝，cos β＝－cos α＝－，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
[误区警示]　本题容易忽视终边关于y 轴对称角的函数值的关系，导致无法求值．
(限时30分钟)
一、选择题
1．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为(　B　)
A．　 B．　
C．　 D．
2．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　B　)
A．α＝，β＝　 B．α＝，β＝
C．α＝，β＝　　 D．α＝，β＝
3．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于(　A　)
A．　 B．　
C．－　 D．
解析：由题意可得sin α＝，cos α＝，cos＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝.
4．设α∈，若sin α＝，则cos＝(　B　)
A．　 B．　
C．－　 D．－
解析：因为α∈，sin α＝，所以cos α＝，
cos＝＝
＝.
5．若sin x＋cos x＝cos(x－φ)，则φ的一个可能值是(　A　)
A．　 B．－　
C．　 D．
二、填空题
6．若x∈，且sin x＝，则2cos＋2cos x＝　　.
解析：因为x∈，sin x＝，所以cos x＝－.所以2cos＋2cos x＝2＋2cos x
＝2＋2cos x＝sin x＋cos x＝－＝.
7.＝　　.
解析：＝
＝＝.
8．[2020·济南检测]已知cos＝，则cos α＋sin α的值为　　.
解析：因为cos＝coscos α＋sin sin α＝cos α＋sin α＝，所以cos α＋sin α＝.
9．已知sin α＝，α是第二象限角，则tan α＝　－　，cos(α－60°)＝　　.
解析：因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－，故cos(α－60°)＝cos α·cos 60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝.
三、解答题
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.求cos(α－β)的值．
解：依题意，得cos α＝，cos β＝.
因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
11．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，求cos 2β的值．
解：因为sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，
所以cos(α－β)＝－
＝－ ＝－，
cos(α＋β)＝＝ ＝，
所以cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－.
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