5.5.1.3 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 同步练习（含答案）

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课时3　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　√　)
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　×　)
(3)tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．(　√　)
题型1　给角求值
2．计算：tan 75°＝　2＋　.
解析：tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝＝2＋.
3．tan ＝　－2＋　.
解析：tan ＝－tan ＝－tan
＝－＝－＝－2＋.
题型2　给值求值
4．已知tan α＝3，则tan＝(　D　)
A．－2　 B．2　
C．　 D．－
解析：tan＝tan＝＝＝－.
5．tan α＝2，tan β＝3，则tan(α－β)＝(　D　)
A．－7　　　　　 B．　
C．－　 D．－
解析：tan(α－β)＝＝＝－.
6．若tan α＝3，则tan＝__－2__.
解析：因为tan α＝3，所以tan＝＝＝－2.
7．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角．求：
(1)sin(α－β)的值；
(2)tan(α＋β)的值．
解：(1)因为α，β都是锐角，所以sin α＝＝，sin β＝＝，所以sin(α－β)＝sin α·cos β－cos αsin β＝×－×＝.
(2)tan α＝＝2，tan β＝＝，
所以tan(α＋β)＝＝－2.
题型3　公式的灵活应用
8．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　A　)
A．－3　 B．－1　
C．1　 D．3
解析：因为tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
9．tan(α－β)＝，tan β＝，则tan α＝(　A　)
A．1　 B．　
C．　 D．
解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝1.
10．若tan＝，则tan α＝　－　.
解析：tan α＝tan
＝＝＝－.
11．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan α＝__2__，tan(β－2α)＝　　.
解析：因为＝＝3，则tan α＝2.因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝
＝＝.
易错点1　未能正确应用公式变形致误
12.等于(　A　)
A．　 B．　
C．tan 6°　　 D．
解析：因为＝tan(27°＋33°)＝tan 60°，所以原式＝＝.
[误区警示]　本题容易忽视已知的式子是正切和公式展开式的倒数，导致无法求值．
易错点2　忽视弦化切、常值代换致误
13．已知＝，求tan的值．
解：因为＝，所以＝.
因为＝＝－tan＝，
所以tan＝－.
[误区警示]　不能正确弦化切，将1换为tan 致误．
(限时30分钟)
一、选择题
1．tan 285°的值等于(　C　)
A．2＋　 B．2－　
C．－2－　 D．－2＋
解析：tan 285°＝tan(360°－75°)＝－tan 75°＝－tan(45°＋30°)＝－＝－＝－2－.
2．已知tan α－tan β＝5，tan(α－β)＝2，则tan αtan β等于(　C　)
A．2　 B．1　
C．　 D．4
解析：因为tan(α－β)＝＝2，
所以1＋tan αtan β＝，即tan αtan β＝.
3．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　D　)
A．－　 B．　
C．　 D．
解析：由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.
4．tan 10°·tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)的值等于(　B　)
A．　 B．1　
C．　 D．
解析：因为＝tan 30°＝，
所以tan 10°＋tan 20°＝(1－tan 10°·tan 20°)．
所以原式＝tan 10°·tan 20°＋1－tan 10°·tan 20°＝1.
5．已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为(　C　)
A．　 B．　
C．　 D．
解析：tan(α＋β)＝＝＝1.又因为α，β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
二、填空题
6．已知tan＝，则tan α＝　　.
解析：因为tan＝tan＝，
所以＝，解得tan α＝.
7．已知tan＝，tan＝－，则tan ＝　　.
解析：tan ＝tan＝＝＝.
8．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan2α＋tan2β的值为__3__.
解析：因为tan(α＋β)＝4，所以＝4.
又tan α＋tan β＝2，所以tan αtan β＝，
所以tan2α＋tan2β＝(tan α＋tan β)2－2tan αtan β＝22－2×＝3.
三、解答题
9．已知cos α＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tan β及tan(2α－β)．
解：因为cos α＝>0，α∈(0，π)，所以sin α>0.
所以sin α＝＝＝，
所以tan α＝＝＝.
所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝2.
10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别是和.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：(1)由单位圆中三角函数的定义，可得cos α＝，cos β＝.
由于α，β为锐角，所以sin α＝＝，
sin β＝＝.从而tan α＝7，tan β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又0<α<，0<β<，所以0<α＋2β<，
从而α＋2β＝.
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