5.5.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式 同步练习（含答案）

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课时4　二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)二倍角的正切公式的适用范围不是任意角．(　√　)
(2)对于任意的角α，都有sin 2α＝2sin α成立．(　×　)
(3)存在角α，cos 2α＝2cos α成立．(　√　)
(4)cos 3αsin 3α＝sin 6α对任意的角α都成立．(　√　)
题型1　给角求值
2．(多选题)下列计算正确的是(　ACD　)
A．＝1
B．1－2sin275°＝
C．cos4－sin4＝
D．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°＝
解析：对于选项A，＝tan 45°＝1；对于选项B,1－2sin275°＝cos 150°＝－；对于选项C，cos4－sin4＝·＝cos＝；对于选项D，原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝＝1＋sin 30°＝1＋＝.
3．sin 22°30′·cos 22°30′的值为(　B　)
A．　 B．　
C．－　 D．
解析：原式＝sin 45°＝.
4.－sin215°＝(　D　)
A．　 B．　
C．　 D．
解析：原式＝－＝＝.
题型2　给值求值
5．若sin ＝，则cos α等于(　C　)
A．－　 B．－　
C．　 D．
解析：因为sin ＝，所以cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝.
6．设α是第四象限角，已知sin α＝－，则sin 2α，cos 2α和tan 2α的值分别为(　A　)
A．－，，－　 B．，，
C．－，－，　 　 D．，－，－
解析：因为α是第四象限角，且sin α＝－，所以cos α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，tan 2α＝＝－.
7．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是　　.
解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α，又α∈，所以sin α≠0，所以cos α＝－，所以α＝，则tan 2α＝tan ＝.
8．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝　　，cos 2θ＝　　.
解析：因为sin ＋cos ＝，所以2＝，即1＋2sin cos ＝，所以sin θ＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.
题型3　公式的灵活应用
9．已知sin 2α＝，则cos2＝　　.
解析：因为sin 2α＝，所以cos2＝×＝(1－sin 2α)＝.
10．化简：·＝__tan_2α__.
解析：原式＝·＝tan 2α.
11．化简：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)．
解：原式＝·cos 10°·
＝·cos 10°·
＝·cos 10°·
＝－·＝－1.
易错点　忽视角度之间的关系转化致误
12．若cos(75°－α)＝，则cos(30°＋2α)＝　　.
解析：由cos(75°－α)＝，得
cos(150°－2α)＝2cos2(75°－α)－1＝－，
则cos(30°＋2α)＝cos[180°－(150°－2α)]
＝－cos(150°－2α)＝.
[误区警示]　本题容易忽视30°＋2α＝180°－(150°－2α)＝180°－2(75°－α)的转化致误．
(限时30分钟)
一、选择题
1．若＝，则tan 2α等于(　B　)
A．－　 B．　
C．－　 D．
解析：因为＝，所以＝，
故tan α＝－3，所以根据二倍角公式，得tan 2α＝.
2．已知sin 2α＝，则cos2＝(　A　)
A．　　 B．　
C．　　 D．
解析：因为sin 2α＝，所以cos2＝＝＝＝.
3．函数f(x)＝2sin2－1是(　C　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数
解析：因为f(x)＝2sin2－1＝－cos＝－cos＝sin x，所以函数f(x)＝2sin2－1是最小正周期为2π的奇函数．
4．已知a＝(sin 17°＋cos 17°)，b＝2cos213°－1，c＝，则(　A　)
A．cC．a解析：a＝(sin 17°＋cos 17°)＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°＝sin 62°，b＝2cos213°－1＝cos 26°＝sin 64°，c＝＝sin 60°，所以c5．化简－2＝(　A　)
A．2sin 4　 B．－2sin 4
C．2cos 4　 D．－2cos 4
解析：原式＝－2＝2|cos 4|－2|sin 4＋cos 4|.
因为π<4<，所以cos 4<0，sin 4＋cos 4<0.
所以原式＝－2cos 4＋2(sin 4＋cos 4)＝2sin 4.
6．设sin α＝，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)＝(　D　)
A．－　 B．－　
C．　 D．
解析：因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－，所以tan α＝－.
又tan(π－β)＝，所以tan β＝－，所以tan 2β＝＝－.
所以tan(α－2β)＝
＝＝.
二、填空题
7．tan 150°＋＝　－　.
解析：原式＝＝＝＝＝
＝－＝－.
8．已知tan＝2，则的值为　　.
解析：因为tan＝2，
所以＝2，所以tan x＝.
所以＝
＝＝＝.
9．已知sin＝，则cos＝　－　.
解析：cos＝cos
＝2cos2－1
＝2sin2－1＝－.
三、解答题
10．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值．
解：原式＝
＝.
因为α为第二象限角，且sin α＝，
所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－，
所以原式＝＝－.
11．已知sin －2cos ＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin －2cos ＝0，知cos ≠0，
所以tan ＝2，
所以tan x＝＝＝－.
(2)由(1)知，tan x＝－，
所以原式＝
＝
＝
＝×
＝×＝.
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