5.5.2.1简单的三角恒等变换(一) 同步练习（含答案）

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5.5.2　简单的三角恒等变换
课时1　简单的三角恒等变换(一)
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)cos ＝.(　×　)
(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　√　)
(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　×　)
(4)若α是第一象限角，则tan ＝.(　√　)
题型1　求值问题
2．已知180°＜α＜360°，则cos 的值等于(　C　)
A．－　 B．
C．－　 D．
解析：因为180°＜α＜360°，所以90°＜＜180°，
又cos2＝，所以cos ＝－.
3．已知α∈，cos α＝，则tan ＝(　D　)
A．3　　　　　 B．－3　　　　　
C．　 D．－
解析：因为α∈，且cos α＝，所以∈，tan ＝－＝－＝－.
4．已知sin α＝－且π＜α＜，则sin ＝　　.
解析：因为sin α＝－，π＜α＜，所以cos α＝－.又＜＜，所以sin ＝＝＝.
5．若sin ＋2cos ＝0，则tan ＝__－2__，tan θ＝　　.
解析：由sin ＋2cos ＝0，得tan ＝－2，则tan θ＝＝.
6．已知θ∈，sin 2θ＝，求sin θ.
解：因为θ∈，所以2θ∈，
所以cos 2θ≤0，所以cos 2θ＝－
＝－ ＝－.又cos 2θ＝1－2sin2θ，
所以sin2θ＝＝＝.
因为θ∈，所以sin θ＞0，所以sin θ＝.
题型2　化简求值问题
7．已知sin 2α＝，则cos2＝(　D　)
A．－　 B．－　
C．　 D．
解析：cos2＝＝＝.
8．若α∈，则－等于(　D　)
A．cos α－sin α　 B．cos α＋sin α
C．－cos α＋sin α　 D．－cos α－sin α
解析：因为α∈，所以sin α≥0，cos α≤0，
则－＝－＝|cos α|－|sin α|＝－cos α－sin α.
9．已知sin －cos ＝，则cos 2θ＝　　.
解析：因为sin －cos ＝，
所以1－sin θ＝，即sin θ＝，
所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－＝.
10．已知sin＝，则cos2＝　　.
解析：因为cos＝sin
＝sin＝，
所以cos2＝＝＝.
11．已知π<α<，化简：
＋.
解：原式＝＋
.
因为π＜α＜，所以＜＜，
所以cos ＜0，sin ＞0，
所以原式＝＋
＝－＋＝－cos .
题型3　证明问题
12．求证：－2cos(α＋β)＝.
证明：因为sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以sin α得－2cos(α＋β)＝.
易错点1　忽视讨论因式是否为0致误
13．已知2sin α＝1＋cos α，则tan ＝(　B　)
A．　 B．或不存在
C．2　 D．2或不存在
解析：2sin α＝1＋cos α，即4sin cos ＝2cos2，当cos ＝0时，tan 不存在；当cos ≠0时，tan ＝.
[误区警示]　本题容易出现漏掉讨论cos 是否为0的错误，等式两边同除以一个因式时都要讨论因式是否为0.
易错点2　忽视角的互余关系致误
14．化简＝(　A　)
A．1　 B．－1　
C．cos α　 D．－sin α
解析：原式＝
＝＝＝＝1.
[误区警示]　本题容易忽视－α与＋α为互余关系，不能正确地将sin2转化为cos2，从而不能化简出最简式．
(限时30分钟)
一、选择题
1．已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　A　)
A．　 B．－　
C．　 D．
解析：由题知∈，所以sin >0，sin ＝＝.
2．已知＝，则的值为(　B　)
A．　 B．－　
C．　 D．－
解析：因为·＝＝＝－1，且＝，所以＝－.
3．已知tan α＝2，则的值是(　D　)
A．　 B．－　
C．　 D．
解析：因为tan α＝2，所以＝＝＝＝＝＝.
4．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝(　A　)
A．－　 B．　
C．－　 D．
解析：sin2＋cos 2A＝＋2cos2A－1＝＋2cos2A－1＝－.
5．已知＝，则的值等于(　A　)
A．　 B．－　
C．　 D．－
解析：因为·＝＝＝1，
而＝，所以＝，故＝.
6．已知tan 2α＝－2，＜α＜，则的值为(　A　)
A．－3＋2　 B．3－2
C．－　 D．
解析：因为tan 2α＝－2，＜α＜，
所以tan 2α＝＝－2，解得tan α＝，
所以＝＝＝＝－3＋2.
二、填空题
7．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－，cos θ＜0，则tan 的值等于__－3__.
解析：由sin θ＝－，cos θ＜0得cos θ＝－，
所以tan ＝＝＝＝＝－3.
8．若tan α＝，则＝__7__.
解析：因为tan α＝＝，所以＝7.
9．若＝－，则sin 2α＝　－　.
解析：＝＝＝(sin α＋cos α)＝－，所以sin α＋cos α＝－，所以两边平方可得1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－.
三、解答题
10．已知α∈，β∈，cos β＝－，sin(α＋β)＝.
(1)求tan 的值；
(2)求sin α的值．
解：(1)因为β∈，cos β＝－，则sin β＝，
tan ＝＝＝.
(2)因为α∈，β∈，故α＋β∈，
从而cos(α＋β)＝－
＝－＝－，
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝×－×＝.
11. 求证：＝.
证明：原式等价于1＋sin 4θ－cos 4θ＝(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，
即1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)．(*)
而(*)式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ)
＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)
＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ
＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝(*)式左边，
所以(*)式成立，因此原式得证．
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