5.5.2.2简单的三角恒等变换(二) 同步练习(含答案)

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名称 5.5.2.2简单的三角恒等变换(二) 同步练习(含答案)
格式 DOC
文件大小 291.7KB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-01-18 13:57:06

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文档简介

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课时2 简单的三角恒等变换(二)
题型1 利用三角恒等变换探究函数的性质
1.若函数f(x)=-sin2x+(x∈R),则f(x)是( D )
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为2π的偶函数
D.最小正周期为π的偶函数
解析:f(x)=-+=cos 2x,所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.
2.函数f(x)=sin x+cos x的最大值是( B )
A.  B. 
C.  D.2
解析:因为f(x)=sin x+cos x=sin,
所以当x=2kπ+(k∈Z)时,取得最大值为.
3.函数f(x)=sin+cos的最大值为( D )
A.  B. 
C.1  D.
解析:函数f(x)=sin+cos
=sin+sin
=sin.
因为y=sin的最大值为1,所以函数f(x)的最大值为.
4.若f(x)=2tan x-,则f的值是( B )
A.-4  B.8 
C.4  D.-4
解析:f(x)=2tan x-
=2tan x+=2.
又tan ==,
所以原式=2=8.
5.函数f(x)=sin2x的最小正周期为__π__.
解析:因为f(x)=sin2x=,
所以f(x)的最小正周期T==π.
6.已知函数f(x)=(1+tan x)cos x,则函数f(x)图象的一条对称轴是直线 x=(只要符合x=kπ+,k∈Z都正确,不唯一) .
解析:f(x)=(1+tan x)·cos x=·cos x=cos x+sin x=2sin.由x+=kπ+得,x=kπ+(k∈Z)都为函数f(x)图象的对称轴方程.
7.函数y=的最小正周期为  .
解析:y==
==tan,故最小正周期是T=.
8.函数y=sin 2x+cos2x的最小正周期为__π__.
解析:因为y=sin 2x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin+,所以函数的最小正周期T==π.
9.已知函数f(x)=cos2-sin cos -.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;
(2)若f(α)=,求sin 2α的值.
解:(1)由已知f(x)=cos2-sin cos -=(1+cos x)-sin x-=cos.
所以函数f(x)的最小正周期为2π,值域为.
(2)由(1)知,f(α)=cos=,
所以cos=.
所以cos α-sin α=,平方得1-sin 2α=.
所以sin 2α=.
题型2 应用性问题
10.要使sin α+cos α=有意义,则应有( D )
A.m≤  B.m≥-1
C.m≤-1或m≥  D.-1≤m≤
解析:sin α+cos α=2=2sin=,所以sin=,由于-1≤sin≤1,所以-1≤≤1,所以-1≤m≤.
11.如图所示,在直角坐标系xOy中,点P是单位圆上的动点,过点P作x轴的垂线与射线y=x(x≥0)交于点Q,与x轴交于点M.记∠MOP=α,且α∈.
(1)若sin α=,求cos ∠POQ;
(2)求△OPQ面积的最大值.
解:(1)由题意知∠QOM=,因为sin α=,
且α∈,所以cos α=,
所以cos ∠POQ=cos
=cos cos α+sin sin α=.
(2)由三角函数定义,得P(cos α,sin α),
从而Q(cos α,cos α),
所以S△POQ=|cos α|·|cos α-sin α|
=|cos2α-sin αcos α|

=≤=+.
因为α∈,
所以当α=-时,等号成立,
所以△OPQ面积的最大值为+.
易错点 对函数性质不清致误
12.函数y=cos+sin具有性质( D )
A.最大值为,图象关于对称
B.最大值为1,图象关于对称
C.最大值为,图象关于直线x=-对称
D.最大值为1,图象关于直线x=-对称
解析:y=cos+sin=-sin x+cos x+sin x=cos x-sin x=cos,
所以函数的最大值为1,排除A,C,令x+=0,求得x=-,可得函数图象关于直线x=-对称.故选D.
[误区警示] 应对函数化简后再分析其函数性质,常因化简错误或对称轴及对称中心概念不清致误.
(限时30分钟)
一、选择题
1.函数f(x)=的最小正周期为( C )
A.  B. 
C.π  D.2π
解析:由已知得f(x)====sin x·cos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.
2.已知f(x)=2sin2x+2sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为( B )
A.2π,  B.π,
C.2π,  D.π,
解析:因为f(x)=1-cos 2x+sin 2x=1+sin,
所以f(x)的最小正周期T==π,由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得f(x)的单调减区间为+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
当k=0时,得f(x)的一个单调减区间为.
3.(多选题)设函数f(x)=sin+cos,则( AD )
A.y=f(x)的最小值为-,其周期为π
B.y=f(x)的最小值为-2,其周期为
C.y=f(x)在内单调递增,其图象关于直线x=对称
D.y=f(x)在内单调递减,其图象关于直线x=对称
解析:f(x)=sin=sin=cos 2x,所以y=f(x)在内单调递减,周期为π,又f=cos π=-,是最小值.
所以函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.
4.已知关于x的方程x2+xcos Acos B-2sin2=0的两根之和等于两根之积的一半,则△ABC一定是( C )
A.直角三角形   B.钝角三角形
C.等腰三角形   D.等边三角形
解析:由一元二次方程根与系数的关系得-cos Acos B=,即cos Acos B=sin2=sin2=cos2=[1+cos(A+B)],得cos(A-B)=1,所以A=B.
5.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<,则f(x)的最大值是( B )
A.1  B.2  
C.+1  D.+2
解析:f(x)=(1+tan x)cos x=cos x=sin x+cos x=2sin.因为0≤x<,所以≤x+<,所以当x+=时,f(x)取到最大值2.
二、填空题
6.如图,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2之间的距离是1,l2与l3之间的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,则△ABC的边长等于  .
解析:设其边长为a,AB与l2的夹角为θ,易知1=asin θ,2=asin,所以2sin θ=sin,即cos θ-sin θ=0,可得tan θ=,所以sin θ=,所以a==.
7.已知sin αcos β=,则cos αsin β的取值范围是  .
解析:设x=cos αsin β,则sin α·cos β·cos α·sin β=x,即sin 2α·sin 2β=2x.由|sin 2α·sin 2β|≤1,得|2x|≤1,所以-≤x≤.
8.关于函数f(x)=sin xcos x-cos2x,给出下列命题:
①f(x)的最小正周期为2π;
②f(x)在区间上为增函数;
③直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴;
④函数f(x)的图象可由函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位得到;
⑤对任意x∈R,恒有f+f(-x)=-1.
其中正确命题的序号是__②③⑤__.
解析:f(x)=sin 2x-=sin-,显然①错;x∈时,2x-∈,函数f(x)为增函数,故②正确;令2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,显然直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴,故③正确;f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位得到y=sin=sin,故④错;f+f(-x)=sin-+sin-=sin-sin-1=-1,故⑤正确.
三、解答题
9.如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.
解:过点B作BH⊥OA,垂足为H(图略).设∠OAD=θ,则∠BAH=-θ,OA=2cos θ,BH=sin=cos θ,AH=cos=sin θ,所以B(2cos θ+sin θ,cos θ),
OB2=(2cos θ+sin θ)2+cos2θ=7+6cos 2θ+2sin 2θ=7+4sin.
由0<θ<,知<2θ+<,
所以当θ=时,OB2取得最大值7+4.
10.设函数f(x)=2cos2ωx+sin+a(其中ω>0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值;
(2)设f(x)在区间上的最小值为,求a的值.
解:f(x)=1+cos 2ωx+sin 2ωx-cos 2ωx+a
=sin+a+1.
(1)由2ωx+=2kπ+(k∈Z)得ωx=kπ+(k∈Z).
又ω>0,所以当k=0时,f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x==,故ω=1.
(2)由(1)知f(x)=sin+a+1,
由≤x≤,得≤2x+≤,
所以当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值为+a+1.
由+a+1=,得a=-.
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