5.5.2.2简单的三角恒等变换(二) 同步练习（含答案）

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课时2　简单的三角恒等变换(二)
题型1　利用三角恒等变换探究函数的性质
1．若函数f(x)＝－sin2x＋(x∈R)，则f(x)是(　D　)
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：f(x)＝－＋＝cos 2x，所以f(x)是最小正周期为π的偶函数．
2．函数f(x)＝sin x＋cos x的最大值是(　B　)
A．　 B．　
C．　 D．2
解析：因为f(x)＝sin x＋cos x＝sin，
所以当x＝2kπ＋(k∈Z)时，取得最大值为.
3．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　D　)
A．　 B．　
C．1　 D．
解析：函数f(x)＝sin＋cos
＝sin＋sin
＝sin.
因为y＝sin的最大值为1，所以函数f(x)的最大值为.
4．若f(x)＝2tan x－，则f的值是(　B　)
A．－4　 B．8　
C．4　 D．－4
解析：f(x)＝2tan x－
＝2tan x＋＝2.
又tan ＝＝，
所以原式＝2＝8.
5．函数f(x)＝sin2x的最小正周期为__π__.
解析：因为f(x)＝sin2x＝，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
6．已知函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，则函数f(x)图象的一条对称轴是直线　x＝(只要符合x＝kπ＋，k∈Z都正确，不唯一)　.
解析：f(x)＝(1＋tan x)·cos x＝·cos x＝cos x＋sin x＝2sin.由x＋＝kπ＋得，x＝kπ＋(k∈Z)都为函数f(x)图象的对称轴方程．
7．函数y＝的最小正周期为　　.
解析：y＝＝
＝＝tan，故最小正周期是T＝.
8．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为__π__.
解析：因为y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，所以函数的最小正周期T＝＝π.
9．已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
解：(1)由已知f(x)＝cos2－sin cos －＝(1＋cos x)－sin x－＝cos.
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(α)＝cos＝，
所以cos＝.
所以cos α－sin α＝，平方得1－sin 2α＝.
所以sin 2α＝.
题型2　应用性问题
10．要使sin α＋cos α＝有意义，则应有(　D　)
A．m≤　 B．m≥－1
C．m≤－1或m≥　 D．－1≤m≤
解析：sin α＋cos α＝2＝2sin＝，所以sin＝，由于－1≤sin≤1，所以－1≤≤1，所以－1≤m≤.
11．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈.
(1)若sin α＝，求cos ∠POQ；
(2)求△OPQ面积的最大值．
解：(1)由题意知∠QOM＝，因为sin α＝，
且α∈，所以cos α＝，
所以cos ∠POQ＝cos
＝cos cos α＋sin sin α＝.
(2)由三角函数定义，得P(cos α，sin α)，
从而Q(cos α，cos α)，
所以S△POQ＝|cos α|·|cos α－sin α|
＝|cos2α－sin αcos α|
＝
＝≤＝＋.
因为α∈，
所以当α＝－时，等号成立，
所以△OPQ面积的最大值为＋.
易错点　对函数性质不清致误
12．函数y＝cos＋sin具有性质(　D　)
A．最大值为，图象关于对称
B．最大值为1，图象关于对称
C．最大值为，图象关于直线x＝－对称
D．最大值为1，图象关于直线x＝－对称
解析：y＝cos＋sin＝－sin x＋cos x＋sin x＝cos x－sin x＝cos，
所以函数的最大值为1，排除A，C，令x＋＝0，求得x＝－，可得函数图象关于直线x＝－对称．故选D.
[误区警示]　应对函数化简后再分析其函数性质，常因化简错误或对称轴及对称中心概念不清致误．
(限时30分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝的最小正周期为(　C　)
A．　 B．　
C．π　 D．2π
解析：由已知得f(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
2．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为(　B　)
A．2π，　 B．π，
C．2π，　 D．π，
解析：因为f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得f(x)的单调减区间为＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间为.
3．(多选题)设函数f(x)＝sin＋cos，则(　AD　)
A．y＝f(x)的最小值为－，其周期为π
B．y＝f(x)的最小值为－2，其周期为
C．y＝f(x)在内单调递增，其图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)在内单调递减，其图象关于直线x＝对称
解析：f(x)＝sin＝sin＝cos 2x，所以y＝f(x)在内单调递减，周期为π，又f＝cos π＝－，是最小值．
所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
4．已知关于x的方程x2＋xcos Acos B－2sin2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是(　C　)
A．直角三角形　　 B．钝角三角形
C．等腰三角形　　 D．等边三角形
解析：由一元二次方程根与系数的关系得－cos Acos B＝，即cos Acos B＝sin2＝sin2＝cos2＝[1＋cos(A＋B)]，得cos(A－B)＝1，所以A＝B.
5．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值是(　B　)
A．1　 B．2　　
C．＋1　 D．＋2
解析：f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＝sin x＋cos x＝2sin.因为0≤x<，所以≤x＋<，所以当x＋＝时，f(x)取到最大值2.
二、填空题
6．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长等于　　.
解析：设其边长为a，AB与l2的夹角为θ，易知1＝asin θ，2＝asin，所以2sin θ＝sin，即cos θ－sin θ＝0，可得tan θ＝，所以sin θ＝，所以a＝＝.
7．已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围是　　.
解析：设x＝cos αsin β，则sin α·cos β·cos α·sin β＝x，即sin 2α·sin 2β＝2x.由|sin 2α·sin 2β|≤1，得|2x|≤1，所以－≤x≤.
8．关于函数f(x)＝sin xcos x－cos2x，给出下列命题：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f(x)在区间上为增函数；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位得到；
⑤对任意x∈R，恒有f＋f(－x)＝－1.
其中正确命题的序号是__②③⑤__.
解析：f(x)＝sin 2x－＝sin－，显然①错；x∈时，2x－∈，函数f(x)为增函数，故②正确；令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，显然直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故③正确；f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin，故④错；f＋f(－x)＝sin－＋sin－＝sin－sin－1＝－1，故⑤正确．
三、解答题
9．如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．
解：过点B作BH⊥OA，垂足为H(图略)．设∠OAD＝θ，则∠BAH＝－θ，OA＝2cos θ，BH＝sin＝cos θ，AH＝cos＝sin θ，所以B(2cos θ＋sin θ，cos θ)，
OB2＝(2cos θ＋sin θ)2＋cos2θ＝7＋6cos 2θ＋2sin 2θ＝7＋4sin.
由0<θ<，知<2θ＋<，
所以当θ＝时，OB2取得最大值7＋4.
10．设函数f(x)＝2cos2ωx＋sin＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值；
(2)设f(x)在区间上的最小值为，求a的值．
解：f(x)＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx－cos 2ωx＋a
＝sin＋a＋1.
(1)由2ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)得ωx＝kπ＋(k∈Z)．
又ω>0，所以当k＝0时，f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝＝，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋a＋1，
由≤x≤，得≤2x＋≤，
所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值为＋a＋1.
由＋a＋1＝，得a＝－.
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