5.6.1-5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一) 同步练习（含答案）

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5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
5.6.1　匀速圆周运动的数学模型
5.6.2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
课时1　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)函数y＝sin的图象向左平移个单位得到函数y＝sin x的图象. (　×　)
(2)函数y＝sin的图象上点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin的图象．(　×　)
(3)由函数y＝sin的图象到函数y＝2sin的图象，需要将纵坐标伸长到原来的2倍．(　√　)
题型1　图象的变换
2．若函数 y＝sin 2x 的图象向左平移个单位得到 y＝f(x)的图象，则(　A　)
A．f(x)＝cos 2x　 B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cos 2x　 D．f(x)＝－sin 2x
解析：依题意得 f(x)＝sin＝sin＝cos 2x.
3．将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　A　)
A．y＝sin＋2　 B．y＝sin－2
C．y＝sin－2　 D．y＝sin＋2
解析：函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin，再向上平移2个单位长度得到y＝sin＋2.
4．为了得到函数 y＝sin的图象，需将函数y＝sin的图象(　C　)
A．纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变
B．横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变
C．横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．纵坐标变为原来的，横坐标不变
解析：只需将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，便得到函数y＝sin的图象．
5．将函数y＝cos x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝cos的图象，则φ＝　　.
解析：由题意，得φ＝2kπ－(k∈Z)．因为0≤φ<2π，所以φ＝.
6．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标__伸长__(填“伸长”或“缩短”)为原来的__3__倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
解析：A＝3＞0，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．
题型2　作三角函数的图象
7．利用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，所取的五点的横坐标为(　C　)
A．0，，π，，2π　 B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π　 D．0，，，，
解析：令x＝0，，π，，2π得，x＝0，π，2π，3π，4π.
8．利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图象时，其五点的坐标分别为，，，，，则A＝　　，周期T＝__π__.
解析：由题知A＝，T＝2＝π.
题型3　变换的应用
9．设g(x)的图象是将函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到的，则g等于(　D　)
A．　 B．－　
C．　 D．－1
解析：因为f(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝cos的图象，所以g(x)＝cos，因此g＝cos＝－1.
易错点1　对平移单位不理解致误
10．为了得到函数y＝cos的图象，可以将函数y＝sin 的图象(　A　)
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：y＝cos＝sin＝sin＝sin.因此应将y＝sin 的图象向左平移个单位长度得到．
[误区警示]　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象往左(右)平移a个单位长度时，是对x的变化，应得到y＝Asin[ω(x±a)＋φ]的函数图象．
易错点2　对伸缩方向不理解致误
11．将函数y＝sin 3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)可得到函数__y＝sin_9x__的图象．
解析：将函数y＝sin 3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)可得，函数y＝sin(3×3x)＝sin 9x的图象．
[误区警示]　横坐标缩短即周期变小，ω应变大.
(限时30分钟)
一、选择题
1．为了得到函数 y＝sin的图象，只需把函数 y＝sin的图象(　B　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：y＝sin＝sin，y＝sin＝sin，所以将 y＝sin的图象向右平移个单位长度可得到 y＝sin的图象．
2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是(　D　)
A．非奇非偶函数　　　 B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数　　　 D．偶函数
解析：y＝sin图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象，y＝－cos 2x是偶函数.
3．为了得到函数 y＝2sin(x∈R)的图象，只需把函数 y＝2sin x(x∈R)的图象上所有的点(　C　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
解析：将 y＝2sin x 的图象向左平移个单位长度，可以得到 y＝2sin的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)可以得到 y＝2sin的图象．
4．把函数 y＝cos的图象适当变换就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变换可以是(　D　)
A．向右平移个单位长度　 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度　 D．向左平移个单位长度
解析：因为 y＝cos＝cos＝sin＝sin ，所以将 y＝sin的图象向左平移个单位长度能得到 y＝sin(－3x)的图象．
5．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　D　)
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
解析：函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后，得到函数f(x)＝sin＝cos x的图象，f(x)＝cos x为偶函数，周期为2π；又因为f＝cos＝0，所以f(x)＝cos x的图象不关于直线x＝对称；又由f＝cos＝0，知f(x)＝cos x的图象关于点对称．故选D.
二、填空题
6．已知函数y＝g(x)的图象由f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ＝　　.
解析：函数f(x)＝sin 2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x＝，则x＝.x＝关于x＝对称的直线为x＝，由图象可知，通过向右平移之后，横坐标为x＝的点平移到x＝，则φ＝－＝.
7．将函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为　　和　－　.
解析：依据图象变换可得函数g(x)＝sin.因为x∈，所以4x＋∈，所以当4x＋＝时，g(x)取最大值；
当4x＋＝时，g(x)取最小值－.
三、解答题
8．若x∈R，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(3)求f(x)>的取值范围．
解：(1)周期T＝＝π，所以ω＝2.
因为f＝cos＝cos＝
－sin φ＝，－<φ<0，所以φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝cos，列表如下：
2x－ － 0
π π π
x 0 π π π π π
f(x)
1 0 －1 0
图象如图：
(3)由f(x)>得－＋2kπ<2x－<＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ即f(x)>的取值范围为，k∈Z.
9．将函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x)的图象；将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图象．
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；
(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．
解：函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x)＝lg(x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)＝cos＝cos 2x的图象，即图象C2.
(1)画出C1和C2的图象如图所示：
(2)由图象可知，两个图象共有5个交点．
即方程f(x)＝g(x)解的个数为5.
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