5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二) 同步练习（含答案）

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课时2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
题型1　已知图象求解析式
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝(　D　)
A．－　 B．　
C．－　 D．
解析：由题图可知A＝2，T＝4×＝π，故ω＝2，又f＝2，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，故φ＝2kπ＋，又|φ|<，所以φ＝.
2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝　　.
解析：由图象可得函数f(x)的最小正周期为，
所以T＝＝，ω＝.
3．已知函数f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若A，B，则f(0)＝　－　.
解析：由函数图象可知函数f(x)的周期T＝－＝π，ω＝＝2.又f＝2cos(π－φ)＝－2cos φ＝，则cos φ＝－.因为φ∈[0，π]，所以φ＝，所以f(x)＝2cos，则f(0)＝－.
题型2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
4．(多选题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象的最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为，给出下列四个结论正确的是(　ABC　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f＝1
D．f为偶函数
解析：由f(x)的图象，得函数f(x)的最小正周期为T＝2＝π，则ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)．又由f＝A，即f＝Asin＝Asin＝A，
所以sin＝1，解得φ＝，即f(x)＝Asin.
又由f(0)＝，得Asin ＝，所以A＝2，即f(x)＝2sin，则函数f(x)的最大值为2，所以A，B是正确的；又由f＝2sin＝2cos＝1，所以C是正确的；又由f＝2sin＝2sin 2x为奇函数，所以D是错误的．
5．函数y＝2sin与y轴最近的对称轴方程是　x＝－　.
解析：对于函数y＝2sin，令2x－＝kπ＋(k∈Z)得，x＝＋，因此，当k＝－1时，得到x＝－，显然直线x＝－是与y轴最近的对称轴．
6．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝__2__.
解析：依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.
题型3　匀速圆周运动
7．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ(θ＞0)角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为(　D　)
A．h＝5.6＋4.8sin θ
B．h＝5.6＋4.8cos θ
C．h＝5.6＋4.8cos
D．h＝5.6＋4.8sin
解析：过点O作平行于地面的直线l，再过点B作l的垂线，垂足为P(图略)，则∠BOP＝θ－，根据三角函数的定义得，BP＝OBsin＝4.8sin，
则h＝4.8＋0.8＋BP＝5.6＋4.8sin.
易错点　图象观察不细致致误
8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值为(　B　)
A．－　 B．　
C．－　 D．
解析：由题意，得＝＋＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2.由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝.
[误区警示]　本题在确定φ值时既可以代入，也可以代入，但是要根据φ的范围准确求值．
(限时30分钟)
一、选择题
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图，则此函数的解析式为(　D　)
A．y＝－4sin
B．y＝－4sin
C．y＝4sin
D．y＝4sin
解析：观察图象知函数的最大值是4，则A＝4，函数的周期T＝2×[6－(－2)]＝16，则16＝，解得ω＝，则y＝4sin.又点(－2,0)在函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象上，则0＝4sin，
所以sin＝0.
又|φ|<，所以φ＝.所以y＝4sin.
2．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则(　A　)
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
解析：因为f(x)的最小正周期为6π，所以ω＝.因为当x＝时，f(x)有最大值，所以×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ.因为－π<φ≤π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin，由此函数图象易得，f(x)在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均不单调，在区间[4π，6π]上是单调增函数．
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　D　)
A．fC．f解析：由T＝π得ω＝2，则f(x)＝Asin.
又当x＝时，f(x)取得最小值，所以2×＋φ＝＋2kπ，所以φ＝，f(x)＝Asin.
则f＝Asin＝－A，
f(0)＝A·sin ＝A，f＝Asin ＝A.
所以f4．[2020·哈尔滨高一检测]已知将函数f(x)＝cos(ωx＋φ)向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且f(0)＝，则当ω取最小值时，函数f(x)的解析式为(　C　)
A．f(x)＝cos　 B．f(x)＝sin
C．f(x)＝cos　 D．f(x)＝cos
解析：将函数向右平移个单位长度后，所得图象对应的解析式为y＝cos＝cos.因为该图象关于y轴对称，所以－＋φ＝kπ，k∈Z，所以ω＝－12k＋.因为f(0)＝，所以cos φ＝，因为0<φ<，所以φ＝，所以ω＝－12k＋3.因为ω>0，所以ω的最小值为3，所以f(x)＝cos.
5．(多选题)关于f(x)＝4sin(x∈R)，下列命题正确的是(　BC　)
A．由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍
B．y＝f(x)的解析式可改写成y＝4cos
C．y＝f(x)图象关于点对称
D．y＝f(x)图象关于直线x＝－对称
解析：对于A，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝π－(k∈Z)，所以x1－x2是的整数倍，所以A错误；对于B，由f(x)＝4sin可得f(x)＝4cos＝4cos，所以B正确；对于C，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝－(k∈Z)，所以是函数y＝f(x)的一个对称中心，所以C正确，故D错误．
二、填空题
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A＝　　；最小正周期T＝　　.
解析：由图象可知最大值为3，最小值为0，故A＝，半个周期为－＝，故周期为.
7．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝__±3__.
解析：由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f是函数f(x)的最大值或最小值，则f＝－3或3.
8.如图摩天轮半径为10米，最低点A离地面0.5米，已知摩天轮按逆时针方向每3分钟转一圈(速率均匀)，人从最低点A上去且开始计时，则t分钟后离地面　10sin＋10.5或10.5－10cost　米．
解析：设t分钟后相对于地面的高度为y米，
由于摩天轮按逆时针方向每3分钟转一圈(即2π)，
所以每分钟转 弧度，t分钟转t弧度．
所以y＝10sin＋10.5或10.5－10cost.
三、解答题
9．一个大风车的半径为8 m，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12 min旋转一周，它的最低点离地面2 m，设风车开始旋转时其翼片的一个端点P在风车的最低点，求：
(1)点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数解析式；
(2)在第一圈的什么时间段点P离地面的高度超过14 m?
解：(1)设h(t)＝Asin(ωt＋φ)＋b，
由题意得，A＝8，T＝12，b＝10，
则ω＝＝，当t＝0时，h＝2，即sin φ＝－1，
因此，φ＝－.因此，h(t)＝8sin＋10，t≥0.
(2)由题意，h(t)>14，即8sin＋10>14，
则cos t<－.又因为0≤t≤12，所以4即第一圈的第4～8 min点P离地面的高度超过14 m.
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