5.7 三角函数的应用 同步练习（含答案）

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5.7　三角函数的应用
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)根据实际测得的数据绘制成散点图，再利用散点图求出的函数解析式是唯一的．(　×　)
(2)具有周期现象的问题都可以构建三角函数模型．(　×　)
(3)利用建立的函数模型计算得出的数值都是真实数据．(　×　)
2．函数y＝2sin的周期、振幅依次是(　B　)
A．4π，－2　 B．4π，2
C．π，2　 D．π，－2
3．函数y＝－2sin的初相是(　D　)
A．　 B．　
C．－　 D．－
题型1　三角函数在物理中的应用
4．已知电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度为(　B　)
A．5 A　 B．2.5 A　
C．2 A　 D．－5 A
5．(多选题)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　AD　)
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
解析：由题干图可知，＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8；最小值为－5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为零．
6．一弹簧振子的位移y与时间t的函数解析式为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为，初相为，则这个函数的解析式为　y＝3sin　.
解析：由题意得A＝3，T＝，φ＝，则ω＝＝7，故所求函数的解析式为y＝3sin.
7．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动的次数为__25__次，初始电流为__－5__A.
8．一种波的波形为函数y＝－sin x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是__7__.
解析：函数y＝－sin x的周期T＝4，且x＝3时取得最大值y＝1，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.
题型2　三角函数在生活中的应用
9．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12 h时潮水的高度是__1__m.
10．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asin＋60(P单位：美元，t单位：天，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时达到最低油价，则ω的最小值为　　.
解析：因为Asin＋60＝80，sin≤1，所以A＝20.当t＝150天时达到最低油价，即sin＝－1，此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z.因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.
题型3　建立三角函数模型解决问题
11．如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日该动物种群数量．
解：(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则解得
又周期T＝2×6＝12，所以ω＝＝，
所以y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
所以900＝100sin＋800，
所以sin(π＋φ)＝1，所以sin φ＝－1，所以可取φ＝－，所以y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日该动物种群数量约是750.
易错点　未能理解摆动周期致误
12．如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数解析式为s＝5sin，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为(　C　)
A．2 s　 B．1 s　
C． s　 D． s
解析：由题意，知周期T＝＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为 s.
[误区警示]　本题容易出现将从最右边到最左边作为一个周期的错误．
(限时30分钟)
一、选择题
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是(　D　)
A．A＝3，T＝　 B．A＝3，T＝
C．A＝，T＝　 D．A＝，T＝
2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(单位：s)时离开平衡位置的位移s1(单位：cm)和s2(单位：cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝5cos.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　C　)
A．s1＞s2　 B．s1＜s2
C．s1＝s2　 D．不能确定
3．电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为 s时的电流强度为(　A　)
A．0 A　 B．－5 A
C．10 A　 D．－10 A
解析：由图象知A＝10，T＝2×＝，所以ω＝＝100π.因为图象过，所以10＝10sin，即sin＝1，又0＜φ＜，所以＋φ＝，故φ＝.所以I＝10sin，当t＝ s时，I＝10sin＝10sin 6π＝0(A)．
4．函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是(　C　)
A．f(x)＝x＋sin x　　
B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x
D．f(x)＝x
解析：观察图象知函数为奇函数，排除D项；又函数在x＝0处有意义，排除B项；取x＝，f＝0，A项不合适．故选C.
二、填空题
5．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数解析式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝　　cm.
解析：由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.
6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(A＞0，x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温值为__20.5__℃.
解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.
7．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数解析式为　y＝－6sin x　.
解析：设y与x的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝.当x＝9时，ymax＝6.故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z.取k＝1得φ＝π，即y＝－6sin x.
三、解答题
8．某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asin ωt＋B(A>0，ω>0)的图象．
(1)试根据数据和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
解：(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又因为ymin＝7，ymax＝13，所以A＝(ymax－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10.
所以函数的解析式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，即y＝3sin t＋10≥11.5，t∈[0,24]，所以sin t≥，所以t∈，所以t∈[12k＋1,12k＋5]，故k＝0,1，所以t∈[1,5]或t∈[13,17]．
所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00 能安全进港．
若欲于当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16个小时．
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