1.1 集合的概念（1） 同步练习（含答案）

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1.1　集合的概念
课时1　集合的含义
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“?”)．
(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．(　?　)
(2)好听的歌能组成一个集合．(　?　)
(3)高一(1)班所有姓氏构成的集合．(　√　)
(4)含有1,2,3三个元素的集合有6个．(　?　)
题型1　集合的概念
2．(多选题)下列判断正确的有(　ABC　)
A．所有的等腰三角形构成一个集合
B．倒数等于它自身的实数构成一个集合
C．质数的全体构成一个集合
D．由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合
解析：A正确．B正确，若＝a，则a2＝1，所以a＝±1，能构成集合．C正确，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在．D不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合只能含有4个元素．
3．下列对象能构成集合的是(　D　)
A．高一年级全体较胖的学生
B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1
C．全体很大的自然数
D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
4．考察下列每组对象，能构成集合的是(　B　)
①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．
A．③④ B．②③④
C．②③ D．②④
5．已知集合A由a，b，c三个元素组成，集合B由0,1,2三个元素组成，且A＝B.下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于__201__.
解析：可分下列三种情况：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，易知a≠0，b≠0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
题型2　元素与集合的关系
6．用“book”中的字母构成的集合中的元素个数为(　C　)
A．1 B．2
C．3 D．4
7．设A是方程x2－2ax－6＝0的解集，且－2∈A，则实数a的值为(　C　)
A．－1 B．1
C． D．－
8．用“∈”或“?”填空：
__?__N；－3__∈__Z；__?__Q；
0__?__N*；5__∈__R.
9．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)__∈__P(填“∈”或“?”)．
10．方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集中含有几个元素？
解：x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x1＝1，x2＝a.若a＝1，则方程的解集中只含有一个元素1；若a≠1，则方程的解集中含有两个元素1，a.
题型3　集合中元素特性的应用
11．满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是(　C　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：若a＝0，则4－a＝4，此时A含有两个元素0,4，满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A含有两个元素1,3，满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A含有一个元素2，不满足要求；若a＝3，则4－a＝1，此时集合A与前面的集合A一样，a＝4时，亦如此．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.
12．若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　D　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
13．已知集合A由0,1，x三个元素组成，且x2∈A，求实数x的值．
解：因为x2∈A，所以x2＝0或x2＝1或x2＝x.
若x2＝0，则x＝0，此时A中三个元素为0,1,0，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合A中三个元素为0,1,1，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当x＝－1时，集合A中三个元素分别为0,1，－1，符合题意．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，由以上可知，x＝0和x＝1都不符合题意．
综上所述，x＝－1.
易错点1　忽略集合中元素的确定性
14．下列所给的对象能构成集合的是__①④__(填序号)．
①所有的正三角形；
②高中《数学必修第一册》课本上的所有难题；
③的近似值的全体；
④某校高一年级16岁以下的学生．
解析：①能够构成集合，其中的元素需满足三条边相等；②③不能构成集合，因为“难题”“的近似值”的标准不明确，所以组成集合的元素不确定，故不能构成集合；④能构成集合，其中的元素是“该校高一年级16岁以下的学生”．
[误区警示]　注意理解集合中元素的确定性，即元素满足的特定要求及元素能够明确写出．
易错点2　忽略集合中元素的互异性
15．已知集合A中的三个元素分别是1，x，x2－2x，且3∈A，则x的值为(　A　)
A．－1 B．3
C．－1或3 D．－1或－3
解析：因为集合A中的三个元素分别是1，x，x2－2x，且3∈A，所以x＝3或x2－2x＝3.当x＝3时，x2－2x＝3＝x，不满足集合中元素的互异性，故x≠3；当x2－2x＝3时，解得x＝－1或x＝3(舍去)，当x＝－1时，A中的元素是1，－1,3，符合题意．故x＝－1.
[误区警示]　当集合中元素含有参数时，求出参数的值后一定要代回检验，确保满足集合中元素的互异性．
(限时30分钟)
一、选择题
1．下列各项中，不可以组成集合的是(　C　)
A．所有的正数 B．等于2的数
C．接近于0的数 D．不等于0的偶数
2．设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　B　)
A．a∈M B．a?M
C．a＝M D．a≠M
3．下面有四个语句：
①集合N*中最小的数是0；
②－a?N，则a∈N；
③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；
④x2＋1＝2x的解集中含有两个元素．
其中说法正确的个数是(　A　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：对于①，N*是不含0的自然数，所以①错误；
对于②，取a＝，则－?N，?N，所以②错误；
对于③，当a＝b＝0时，a＋b取得最小值是0，而不是2，所以③错误；对于④，解集中只含有元素1，故④错误．
4．“booknote”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是(　B　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：根据集合元素的互异性可知，“booknote”中的不同字母共有“b，o，k，n，t，e”6个，故该集合的元素个数为6.
5．(多选题)已知集合A中元素x满足－≤x≤，且x∈N，则必有(　BD　)
A．－1∈A B．0∈A
C．3∈A D．1∈A
解析：因为x∈N，且－≤x≤，所以x＝0,1,2.所以0∈A，1∈A.
6．由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　C　)
A．1 B．－2
C．6 D．2
解析：由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1.结合选项知C正确．故选C.
7．已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是(　D　)
A．a可取全体实数
B．a可取除去0以外的所有实数
C．a可取除去3以外的所有实数
D．a可取除去0和3以外的所有实数
解析：因为2a∈A，a2－a∈A，所以2a≠a2－a.所以a(a－3)≠0.所以a≠0且a≠3.
8．已知A中元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(　C　)
A．－1?A B．－11∈A
C．3k2－1∈A D．－34?A
解析：k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，解得k＝－?Z，所以－11?A，所以B错误；令－34＝3k－1，解得k＝－11，所以－34∈A，所以D错误；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确．
9．(多选题)下列表述正确的是(　AD　)
A．0∈N B．∈Z
C.∈Z D．π?Q
解析：因为N，Z，Q分别表示自然数集、整数集、有理数集.0是自然数，不是整数，不是整数，π不是有理数，所以0∈N和π?Q正确．
10．设集合A含有－2,1两个元素，B含有－1,2两个元素，定义集合A☉B，满足x1∈A，x2∈B，且x1x2∈A☉B，则A☉B中所有元素之积为(　C　)
A．－8 B．－16
C．8 D．16
解析：因为集合A含有－2,1两个元素，B含有－1，2两个元素，由题意得，集合A☉B中所有元素是2，－4，－1，它们的积为2×(－4)×(－1)＝8.
二、填空题
11．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b__?__A，ab__∈__A(填“∈”或“?”) .
解析：因为a∈A，b∈B，所以a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b?A，ab∈A.
12．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为__0,1,2__.
解析：因为∈N，所以3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，所以x＝0或1或2，即集合A中的元素为0,1,2.
13．若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)__∈__A，(1,1)__∈__A，(－1,1)__?__A.
解析：第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x表示，显然(0,0)，(1,1)都在直线y＝x上，(－1,1)不在直线上．所以(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1)?A.
三、解答题
14．已知集合A由a，a＋b，a＋2b三个元素组成，B由a，ac，ac2三个元素组成，若A＝B，求实数c的值．
解：分两种情况进行讨论．
①若a＋b＝ac，a＋2b＝ac2，消去b，得a＋ac2－2ac＝0.
当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，故a≠0.所以c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三个元素相同，不符合题意．
②若a＋b＝ac2，a＋2b＝ac，消去b，得2ac2－ac－a＝0.
由①知a≠0，所以2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.解得c＝－或c＝1(舍去)，当c＝－时，经验证，符合题意．
综上所述，c＝－.
15．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则∈A，且1?A.
(1)若3∈A，求A；
(2)证明：若a∈A，则1－∈A.
解：(1)因为3∈A，所以＝－∈A，
所以＝∈A，所以＝3∈A，
所以A＝.
(2)证明：因为a∈A，所以∈A，
所以＝＝1－∈A.
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