1.1 集合的概念（2） 同步练习（含答案）

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课时2　集合的表示
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“?”)．
(1)不等式x>1的解集可以用列举法表示．(　?　)
(2){x∈Z|x＝2k，k∈，k∈N}是相等的集合．(　?　)
(3)集合{(1,2)}和{1,2}表示同一个集合．(　?　)
(4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合．(　√　)
题型1　列举法表示集合
2．把集合{x|x2－4x＋3＝0}用列举法表示为(　A　)
A．{1,3}
B．{x|x＝1，x＝3}
C．{x2－4x＋3＝0}
D．{x＝1，x＝3}
解析：解方程x2－4x＋3＝0得x＝1或x＝3，用列举法表示解集即为{1,3}．
3．用列举法表示集合A＝{y|y＝x2－1，－2≤x≤2，且x∈Z}是__{－1,0,3}__．
解析：因为x＝－2，－1,0,1,2，所以对应的y＝3,0，－1，0,3.所以集合A用列举法可表示为{－1,0,3}．
4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n－m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数为__4__.
解析：当n＝2，m＝3时，n－m＝－1；当n＝2，m＝4时，n－m＝－2；当n＝3，m＝4时，n－m＝－1；当n＝3，m＝2时，n－m＝1；当n＝4，m＝2时，n－m＝2；当n＝4，m＝3时，n－m＝1.所以集合B中的元素共4个：－2，－1,1,2.
题型2　描述法表示集合
5．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　D　)
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－36．集合{x|x为一条边长为2，一个内角为30°的等腰三角形}中元素的个数为(　D　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：当2为底边长时，30°角可以是顶角或底角两种情形；当2为腰长时，30°角也可以是顶角或底角两种情形．故集合中有4个元素．
7．下列集合中，不同于另外三个集合的是(　C　)
A．{x|x＝2
020}
B．{y|(y－2
020)2＝0}
C．{x＝2
020}
D．{2
020}
解析：选项A，B，D中都只有一个元素“2
020”，故它们都是相同的集合，而选项C中虽然只有一个元素，但元素是等式x＝2
020，而不是实数2
020，故此集合与其他三个集合不同．
8．－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为(　A　)
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为x＝2，即{x|x2－4x－a＝0}＝{2}，则其所有元素和为2.故选A.
题型3　集合表示方法的综合应用
9．下列语句正确的是(　D　)
①0与{0}表示同一集合；
②方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解构成的集合可表示为{1,1,2}；
③集合{x|4A．①③
B．②③
C．②
D．都不对
解析：①中0不是集合，②中方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解构成的集合可表示为{1,2}，③中集合的元素不能一一列举出来，不能用列举法表示．故选D.
10．小于3.14的自然数集可表示为__{0,1,2,3}__，小于3.14的有理数集可表示为　{x∈Q|x<3.14}　.
11．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.
解：将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理得x2－(a＋1)x＋b＝0.
因为A＝{－3,1}．所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3,1.
由根与系数的关系得解得
所以y＝x2＋3x－3.
将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理得x2＋6x－3＝0，解得x＝－3±2，
所以B＝{－3－2，－3＋2}．
12．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)100以内被3除余1的正整数；
(3)到两坐标轴距离相等的点的集合；
(4)所有的正方形．
解：(1)可知方程组的解为x＝1，y＝1.
故可写成{(1,1)}，或{(x，y)|x＋y＝2，且3x＋2y＝5}．
(2)可以写成{x|x＝3n＋1，n∈N，且1≤x≤100}．
(3)可以写成{(x，y)|x±y＝0}．
(4)可以写成{x|x是正方形}．
易错点　忽略元素形式致误
13．给出下列说法：
①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1,0,1}；
②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；
③集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}用列举法可表示为{0,6,1,5,2,2}．
其中说法正确的个数为(　D　)
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：由x3＝x，即x(x－1)(x＋1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1?N，所以集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0,1}．故①不正确．在集合中，符号“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集的正确表示应为{x|x为实数}或R.故②不正确．x，y满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则有所以A＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．故③不正确．故选D.
[误区警示]　解决集合问题时，首先要明确元素是什么，它的一般形式是什么，有何限制条件等．①中易忽略代表元素x∈N，认为①正确，导致判断错误；②中易因对常用数集的符号理解不到位导致错误；③中易因对“方程的解为有序实数对”这一点认识不到位导致错误．
(限时30分钟)
一、选择题
1．下列集合中，不同于另外三个集合的是(　B　)
A．{x|x＝1}
B．{x|x2＝1}
C．{1}
D．{y|(y－1)2＝0}
解析：{x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，故选B.
2．集合A＝{－3，－2，－1,0,1,2}，集合B＝{y|y＝|x＋1|，x∈A}，则B＝(　C　)
A．{1,2,3}
B．{0,1,2}
C．{0,1,2,3}
D．{－1,0,1,2,3}
解析：由y＝|x＋1|，x∈A得，当x＝－3,1时，y＝2；当x＝－2,0时，y＝1；当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3，故集合B＝{0,1,2,3}，故选C.
3．已知P＝{x|2A．6B．6≤k<7
C．5D．5≤k<6
解析：因为P＝{x|24．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．关于元素与集合关系的判断都正确的是(　C　)
A．2∈A，且2∈B
B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
解析：集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以选项A错．选项C经验证正确．
5．(多选题)方程组的解集可表示为(　ABD　)
A.
B．
C．(1,2)
D．{(2,1)}
解析：方程组只有一个解，解为所以方程组的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，所以A，B，D都符合题意．
6．(多选题)已知x，y为非零实数，则集合M＝中的元素可以为(　BD　)
A．0
B．－1
C．1
D．3
解析：当x>0，y>0时，m＝3；当x<0，y<0时，m＝－1；当x>0，y<0时，m＝－1；当x<0，y>0时，m＝－1.故M中的元素可以为－1,3.
7．定义集合运算：A
B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A
B的所有元素之和为(　D　)
A．0
B．2
C．3
D．6
解析：因为z＝xy，x∈A，y∈B，所以z的取值有1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A
B＝{0,2,4}，所以集合A
B的所有元素之和为0＋2＋4＝6.
二、填空题
8．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若a∈A，a∈B，则a为__(2,5)__．
解析：由题知，a∈A，a∈B，所以a是方程组的解，解得即a为(2,5)．
9．若集合A＝{－2,2,3,4}，集合B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝__{4,9,16}__．
解析：当t＝－2,2,3,4时，x＝4,4,9,16，故集合B＝{4,9,16}．
10．两边长分别为3,5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为__{3,4,5,6,7}__，用描述法表示为　{x|2解析：设三角形第三条边长度为x，根据三角形三边长度的关系得，x>5－3，即x>2；x<5＋3，即x<8，所以x的取值范围为2三、解答题
11．用适当的方法表示下列对象构成的集合：
(1)绝对值不大于2的所有整数；
(2)方程组的解；
(3)函数y＝图象上的所有点．
解：(1)由于|x|≤2，且x∈Z，所以x的值为－2，－1,0,1,2.所以绝对值不大于2的所有整数构成的集合，用列举法可表示为{－2，－1，0,1,2}，用描述法可表示为{x||x|≤2，x∈Z}．
(2)解方程组得
所以用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}．
(3)函数y＝图象上的点可以用坐标(x，y)表示，其满足的条件是y＝，所以用描述法可表示为.
12．已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋1}，当A＝{2}时，求集合B.
解：由A＝{2}，得方程x2＋px＋q＝x有两个相等的实数根，且x＝2.
从而有解得
从而B＝{x|(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1}．
解方程(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1，得x＝3±.
故B＝{3－，3＋}．
13．定义集合A，B的一种运算：A
B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}．若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A
B中的所有元素之和为多少？
解：因为A
B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，
x1＋x2的和如下表所示：
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
所以A
B＝{2,3,4,5}．故所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14.
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