1.2集合间的基本关系 同步练习（含答案）

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1.2　集合间的基本关系
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)任何集合至少有两个子集．(　×　)
(2){0,1,2}?{2,0,1}．(　√　)
(3)若A?B，且A≠B，则A?B.(　√　)
(4)集合{0,1}的子集是{0}，{1}，{0,1}．(　×　)
题型1　集合间关系的判断
2．下列图形中，表示M?N的是(　C　)

A 　 B C 　　 D
3．下列各个关系式中，正确的是(　D　)
A．?＝{0}　 B．∈Q
C．{3,5}≠{5,3}　 D．{1}?{x|x2＝x}
解析：因为??{0}，?Q，{3,5}＝{5,3}，所以A，B，C错误；{x|x2＝x}＝{0,1}，所以{1}?{x|x2＝x}成立，所以D正确．故选D.
4．判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；
(3)M＝x＝，n∈Z，N＝x＝＋n，n∈Z.
解：(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A?B.
(2)因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝?，所以B?A.
(3)对于集合M，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；对于集合N，其组成元素是＋n＝，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知，N?M.
题型2　确定集合的子集、真子集
5．满足{2 019}?A?{2 019,2 020,2 021}的集合A的个数为(　C　)
A．1　 B．2　
C．3　 D．4
解析：由题意可得A可以为{2 019}，{2 019，2 020}，{2 019，2 021}，因此满足条件的集合A的个数为3.
6．满足条件{x|x2－1＝0}?A?{－1,0,1,2,5}的集合A的个数为(　A　)
A．7　 B．6　
C．8　 D．5
解析：因为{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，所以{－1,1}?A?{－1,0,1,2,5}，所以集合A可以是{－1,1}，{－1,1,0}，{－1,1,2}，{－1,1,5}，{－1,1,0,2}，{－1,1,0,5}，{－1,1,2,5}，共7个．
7．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解：因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
所以A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
题型3　由集合之间的关系求参数
8．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于(　C　)
A．0　 B．1　
C．2　 D．－1
解析：由已知得解得符合题意．所以2x＋y＝2.
9．若非空数集A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A?B成立的所有a的集合是(　B　)
A．{a|1≤a≤9}　 B．{a|6≤a≤9}
C．{a|a≤9}　 D．?
解析：因为A为非空数集，所以2a＋1≤3a－5，即a≥6.
又A?B，所以即所以1≤a≤9.
综上可知，6≤a≤9.
10．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，则a＝__－1或2__.
解析：因为B?A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
①由a2－a＋1＝3得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足B?A；当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足B?A.
②由a2－a＋1＝a得a2－2a＋1＝0，解得a＝1，当a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合元素的互异性．综上，若B?A，则a＝－1或a＝2.
易错点1　利用数轴求参数时忽略端点值能否取到致误
11．已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B?A，则a的取值范围为__{a|a<－8或a≥3}__．
解析：利用数轴法表示B?A，如图所示，
则a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.
[误区警示]　在求集合中参数的取值范围时，要特别注意该参数在取值范围的边界处能否取等号，否则会导致解题结果错误．正确的做法就是把端点值代入原式，看是否符合题目要求．
易错点2　忽略对参数的讨论
12．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
解：E＝{x|＝0}＝{0}．
下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．
方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2.
①当a＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F.
②当a≠1时，Δ>0，方程有两个不相等的实数根，x＝0或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，E?F.
综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，E?F.
[误区警示]　本题易认为E＝{x|＝0}＝{0}，F＝{0，a－1}，忽略方程x2－(a－1)x＝0的根与参数的取值有关，得到E?F.确定集合之间的关系时，若含有参数，则参数的不同取值会使集合中的元素不确定，不讨论参数易导致误判．
(限时30分钟)
一、选择题
1．已知集合U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(　A　)
解析：N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，对照Venn图可知A符合题意，即N?M?U.
2．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是(　D　)
A．A?B　 B．A?B　
C．A?B　 D．A?B
解析：因为A中元素是3的整数倍，而B中元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．
3．集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的子集的个数是(　B　)
A．9　 B．8　
C．7　 D．6
解析：因为x∈N，n∈N，所以集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}＝{1,3,5}．所以其子集的个数是23＝8.
4．(多选题)设集合A＝{x∈Z|x<－1}，则(　AD　)
A．??A　 B．∈A
C．0∈A　 D．{－2}?A
解析：?A,0?A，故B，C错．
5．已知集合A＝，集合B＝{m2，m＋n,0}，若A＝B，则(　C　)
A．m＝1，n＝0　 B．m＝－1，n＝1
C．m＝－1，n＝0　 D．m＝1，n＝－1
解析：因为A＝B，所以A中有元素0，如果m＝0，则无意义，所以A中只有＝0，所以n＝0，则A＝{m,0,1}＝B＝{m2，m,0}．又m≠1，所以m2＝1，所以m＝－1.故选C.
6．已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是(　C　)
A．P＝Q　 B．P?Q
C．P?Q　 D．P∩Q＝?
解析：P＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y＝}＝{y|y≥0}，所以P?Q.
7．(多选题)设集合M＝x＝＋，k∈Z，集合N＝x＝＋，k∈Z，则下列关于M，N的关系不成立的是(　ACD　)
A．M＝N
B．M?N
C．N?M
D．M不是N的子集，N也不是M的子集
解析：集合M中的元素x＝(k∈Z)，集合N中的元素x＝(k∈Z)，当k∈Z时，2k＋1代表奇数，k＋2代表所有整数，故有M?N.
8．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是(　D　)
A．1　 B．－1　　
C．1或－1　 D．0,1或－1
解析：因为P＝{x|x2＝1}＝{1，－1}，Q＝{x|ax＝1}，Q?P，所以当a＝0时，有Q是空集，显然成立；当a＝1时，有Q＝{1}，与题意相符；当a＝－1时，有Q＝{－1}，与题意相符．故满足条件的a的值为1，－1,0.故选D.
9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1　 B．2　
C．3　 D．4
解析：因为A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A?C，所以1,2∈C.又C?B，所以满足条件的集合C可以是{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，共4个．故选D.
10．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x?B}，若A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则A*B的子集个数为(　D　)
A．1　 B．2　
C．3　 D．4
解析：由题意得A*B中的元素有{1,7}，所以A*B的子集个数为22＝4(个)，故选D.
11．集合M＝x＝m＋，m∈Z，N＝x＝－，n∈Z，P＝x＝＋，p∈Z，则M，N，P之间的关系是(　B　)
A．M＝N?P　 B．M?N＝P
C．M?N?P　 D．N?P＝M
解析：M＝x＝，m∈Z.N＝x＝＝，n∈Z，P＝x＝，p∈Z.
由于3(n－1)＋1和3p＋1都表示被3除余1的数，而6m＋1表示被6除余1的数，所以M?N＝P.
二、填空题
12．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则b＝__－3__，c＝__2__.
解析：依题意知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两根，所以解得
13．已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，那么M__?__P．(填“?”“?”或“＝”)
解析：对于任意的x∈P，有x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1.因为a∈N*，所以(a－2)2∈N，则M?P.
14．已知，A＝{x|x<－1或x>5}，B＝{x|a≤x5}__．
解析：因为A＝{x|x<－1或x>5}，B＝{x|a≤x5，解得a≤－5或a>5.
三、解答题
15．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1(1)若A＝B，求y的值；
(2)若A?C，求a的取值范围．
解：(1)若a＝2，则A＝{1,2}，所以y＝1.
若a－1＝2，则a＝3，A＝{2,3}，所以y＝3，
综上，y的值为1或3.
(2)因为C＝{x|2所以解得3所以a的取值范围是{a|316．已知集合P＝{x∈R|x2＋b＝0}，Q＝{x∈R|(x＋1)·(x2＋3x－4)＝0}．
(1)若b＝4，存在集合M使得P?M?Q，求这样的集合M；
(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围．
解：(1)当b＝4时，方程x2＋4＝0无实根，
所以P＝?，又Q＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－4，－1,1}，所以P?Q.
由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}．
(2)当P＝?时，P是Q的一个子集，此时b>0.
当P≠?时，因为Q＝{－4，－1,1}，若P?Q，则b<0，P＝{，－}，则＝1，b＝－1.
综上，满足条件的b的取值范围是{b|b>0或b＝－1}．
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