5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 同步练习（含答案）

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课时2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)存在α，β∈R，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)
(2)对于任意α，β∈R，sin(α－β)＝sin α－sin β都不成立．(　×　)
(3)sin 50°cos 20°＋cos 50°sin 20°＝sin 70°.(　√　)
2．下面各式中，不正确的是(　D　)
A．sin＝sin cos ＋cos
B．cos ＝cos cos －sin
C．cos＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
题型1　给角求值问题
3．sin 105°的值为(　D　)
A．　 B．　　
C．　 D．
解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝.
4．sin 20°cos 10°－cos 200°sin(－190°)＝　　.
解析：sin 20°cos 10°－cos 200°sin(－190°)
＝sin 20°cos 10°－cos(180°＋20°)sin(－180°－10°)
＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
5.＝　　.
解析：
＝
＝
＝sin 30°＝.
题型2　给值求值问题
6．已知cos α＝－，且α∈，则sin＝(　D　)
A．－　 B．　
C．　 D．
解析：因为已知cos α＝－，且α∈，所以sin α＝＝，则sin＝sin αcos＋cos α·sin＝×－×＝.
7．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝　－　.
解析：由已知得cos[(α＋β)－α]＝cos β＝－.
因为450°<β<540°，所以sin β＝，
所以sin(60°－β)＝×－×＝－.
8．已知sin α＝－，α是第四象限角，则sin＝　　.
解析：由α是第四象限角，得cos α＝，
则sin＝sin cos α－cos sin α
＝×－×＝.
9．已知α∈，tan α＝2，则cos＝　－　.
解析：由tan α＝2得sin α＝2cos α，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.因为α∈，所以cos α＝，sin α＝.
因为cos＝cos αcos －sin αsin ，
所以cos＝×－×＝－.
题型3　公式的灵活应用
10．已知α∈，cos＝，则sin α的值等于(　C　)
A．　 B．
C．　 D．－
解析：因为α∈，所以＋α∈，
由cos＝，
得sin＝＝，
则sin α＝sin
＝sincos －cossin
＝×－×＝.
11.sin －cos 的值是(　A　)
A．　 B．　
C．－　 D．sin
解析：sin －cos ＝2＝2sin＝2sin ＝.
12．已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，α，β均为钝角，求sin(α－β)的值．
解：因为90°<α<180°，90°<β<180°，
所以180°<α＋β<360°，180°<2α<360°.
因为cos(α＋β)＝－<0，cos 2α＝－<0，
所以sin(α＋β)＝－
＝－＝－，
sin 2α＝－＝－＝－.
所以sin(α－β)＝sin[2α－(α＋β)]＝sin 2αcos(α＋β)－cos 2αsin(α＋β)
＝×－×
＝.
易错点1　忽视由三角函数的值域对参数范围的限定
13．若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是(　A　)
A．[3,5]　 B．[－5,5]
C．(3,5)　 D．[－3,3]
解析：因为sin x＋cos x＝sin xcos ＋cos x·sin＝sin＝4－m，所以|4－m|≤1，解得3≤m≤5.
[误区警示]　本题参数m的值的大小只受函数的值域影响，易因找不到解题思路致误．
易错点2　忽视诱导公式变形致误
14．(多选题)cos α－sin α化简的结果可以是(　BD　)
A．cos　 B．2cos
C．sin　 D．2sin
解析：cos α－sin α＝2
＝2
＝2cos＝2sin.
[误区警示]　本题容易忽视利用诱导公式变形，不能得到正确的答案．
(限时30分钟)
一、选择题
1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　A　)
A．　　　　 B．　　　
C．　 D．
解析：－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°＝－sin 47°·(－cos 17°)－cos 47°sin 17°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.
2．已知cos＝sin，则tan α的值为(　B　)
A．－1　 B．1　　　 　
C．　 D．－
解析：由已知得cos α－sin α＝sin α－cos α，整理得sin α＝cos α，则sin α＝cos α，故tan α＝1.
3．已知f(x)＝sin－cos，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)的值为(　A　)
A．2　 B．　
C．1　 D．0
解析：f(x)＝sin－cos
＝2sin＝2sinx，所以周期为6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2.
4．设a＝sin 14°＋cos 14°，b＝sin 16°＋cos 16°，c＝，则a，b，c的大小关系是(　B　)
A．aC．b解析：a＝＝sin 59°，b＝×＝sin 61°，c＝＝×＝sin 60°.因为sin 59°5．定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于(　D　)
A．　 B．　
C．　 D．
解析：依题意有：sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，所以0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，
而cos α＝，所以sin α＝，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，故β＝.
二、填空题
6．已知sin＝，α∈，则sin α＝　－　，cos的值为__1__.
解析：由已知得cos α＝，sin α＝－，
所以cos＝cos α－sin α＝1.
7．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝　　.
解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，则sin β＝－.又β是第三象限角，因此有cos β＝－，所以sin＝－sin＝－sin βcos－cos βsin ＝.
8．已知sin(π－x)＋cos(－x)＝，则cos＝　　.
解析：由sin(π－x)＋cos(－x)＝得，sin x＋cos x＝.
故cos＝cos xcos ＋sin xsin ＝cos x＋sin x＝(cos x＋sin x)＝×＝.
9．已知cos＝－，则cos x＋cos的值为__－1__.
解析：cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.
三、解答题
10．已知α∈，β∈，且sin(α＋β)＝，cos β＝－，求sin α.
解：因为β∈，cos β＝－，所以sin β＝.
因为0<α<，<β<π，所以<α＋β<，
又sin(α＋β)＝，所以<α＋β<π，
所以cos(α＋β)＝－
＝－＝－，
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝×－×＝.
11．已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝.
(1)求sin(α＋β)的值；
(2)求cos(α－β)的值．
解：(1)因为<α<，所以<＋α<π，
所以sin＝ ＝.
因为0<β<，<＋β<π，
所以cos＝－＝－，
所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－
＝－＝.
(2)由(1)可知，sin＝，cos＝－，
所以sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
又sin＝sin
＝－cos(α－β)，从而cos(α－β)＝.
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