17.2 一元二次方程的解法
复习回顾
我们学习过一元二次方程的哪些解法?它们各有什么特点?
1、直接开平方法:主要用于缺少一次项的一元二次方程,
形如ax2+c=0;
2、因式分解法:方程左边容易分解,而且右边等于0;
3、配方法:可解任一道一元二次方程;
4、公式法:是一元二次方程的万能钥匙,但不一定简便,
通常适用系数较小的一元二次方程.
快速解方程:
(1) 4(1+x)2=9 (直接开平方法)
(2) x2+4x+2=0 (配方法)
(3) 3x2+2x-1=0 (公式法)
(4) (2x+1)2= -3(2x+1) (因式分解法)
课前热身
快速解方程:
(1) 4(1+x)2=9 (直接开平方法)
(2) x2+4x+2=0 (配方法)
(3) 3x2+2x-1=0 (公式法)
(4) (2x+1)2= -3(2x+1) (因式分解法)
课前热身
(1) x1= , x2= -
(2) x1= -2+ , x2= -2-
(3) x1= , x2= -1
(4) x1= - , x2= -2
(1) x1= , x2= -
(2) x1= -2+ , x2= -2-
(3) x1= , x2= -1
(4) x1= - , x2= -2
例:某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有学生设计了一种方案(如图),根据方案列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图中的草坪面积为540米2.
解:(1)如图,设道路的宽为x米,则
三国时期的数学家赵爽,在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用图形的方法来解一元二次方程,四个相等的矩形(每一个矩形的面积都是35),拼成如图所示的一个大正方形,利用所给的数据,能得到的方程是( )
(A)x(x+2)=35 (B) x(x+2)=35+4
(C) x(x+2)=4x35 (D) x(x+2)=4x35+4
X
X+2
X+2
X+2
X+2
X
X
X
合作探究 勇于发现
x(x+2)=35该怎样解呢?
你从图中能有什么发现?
X
X+2
X+2
X+2
X+2
X
X
X
思
考
思
考
思
考
思
考
思
考
思
考
X
X+2
X+2
X+2
X+2
X
X
X
每个长方形面积:
x(x+2)=35
小正方形面积:
[(x+2)-x]2=4
大正方形的面积:
[(x+2)+x]2=4+35x4
此图形反映了哪一个恒等式:
(a+b)2=(a-b)2+4ab
(这正是利用图形解一元二次方程的依据)
学以致用 例题解析
例1:解方程 (32-2x)(20-2x)=540
解:
原方程可整理为
(x-16)(x-10)=135
∴ [(x-16)+(x-10)]2=
[ (x-16)-(x-10)]2+135x4
即 (2x-26)2=576
(x-13)2=144
x-13=±12
x=13±12
∴ x1=25 ,x2=1
试一试:代入原方程检验
巩固提高 熟能生巧
利用恒等式(a+b)2=(a-b)2+4ab解下列方程:
(1)
(2) (x-1)(2x+4)=20
引申拓展 更进一步
这种解法能解任意一个一元二次方程吗?
试解:ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:
x(ax+b)= -c
ax(ax+b)= -ac
∴ [ax +(ax+b)]2=[ ax -(ax+b)]2+4(-ac)
即 (2ax+b)2= b2-4ac
当b2-4ac≥0时,
2ax+b=
←关键步骤
当b2-4ac≥0时,
2ax+b=
2ax= -b
X=
这是什么?
课时小结
谈一谈,这节课你有什么收获?
1、利用图形解一元二次方程的主要依据
是恒等式:(a+b)2=(a-b)2+4ab
2、利用图形法解一元二次方程可适用于形如
(ax+m)(ax+n)=b (a≠0,b≠0)的一元二次方程
3、“图形法”同样具有一般性,可解任意一道
一元二次方程
4、要自觉培养“发现问题,解决问题”的创新意识。
解下列方程
课后作业
(1) ( x+1)(x-4)= -6 (2) (2x+1)(x+3)= 7
谢 谢