人教版八年级数学上册 13.1.1轴对称课件（28张ppt）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册 13.1.1轴对称课件（28张ppt） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-15 05:32:30 | ||
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文档简介
13.1 轴对称
教学目标
1．了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．
2．探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用．
3.了解线段垂直平分线的概念．
教学重点难点
轴对称的概念和性质．
对称实例
对称实例
对称实例
对称实例
对称实例
对称实例
如下图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？
轴对称
像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（axisymmetric figure），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry）．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．你能举出一些轴对称图形的例子吗？
思考
下面的每对图形有什么共同特点？
把上图中的每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合．
像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点(symmetric points).
思考
成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．
思考
如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？
上图中，点A，A′是对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC或△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合．于是有
AP＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°．
对于其他的对应点，如点B与B′，点C与C′也有类似的情况．因此，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（perpendicular bisector）．这样，我们就得到图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．例如下图中，l 垂直平分AA′，l 垂直平分BB′．
练习
如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．
（1）（2）（3）（5）是轴对称图形。对称轴略．
线段的垂直平分线的性质
探究
如下图，直线 l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点 A与点B的距离，你有什么发现？
可以发现，点P1，P2，P3，…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等．如果把线段AB沿直线l 对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等．
由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质．
如下图，直线l ⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l 上．求证PA＝PB．
证明：∵ l ⊥AB，
∴ ∠PCA＝∠PCB．
又 AC＝CB，PC＝PC，
∴ △PCA≌△PCB（SAS）．
∴ PA＝PB．
反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
通过证明可以得到：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线 l 上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在 l 上，所以直线l 可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合．
例 1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：直线 AB和AB外一点C（下图）
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．
直线CF就是所求作的垂线．
练习
如图，AD ⊥ BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．AB，AC，CE的长度有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？
AB＝AC＝CE，
AB＋BD＝DE.
思考
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
例 2 如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴．为此作出到点A，B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线．
作法：如图（2）
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧（想一想为什么），两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD．
CD就是所求作的直线．
同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
例如，对于下图中的五角星，我们可以找出它的一对对应点A和A′，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线 l ，则 l 就是这个五角星的一条对称轴．
再见！
教学目标
1．了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．
2．探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用．
3.了解线段垂直平分线的概念．
教学重点难点
轴对称的概念和性质．
对称实例
对称实例
对称实例
对称实例
对称实例
对称实例
如下图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？
轴对称
像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（axisymmetric figure），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry）．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．你能举出一些轴对称图形的例子吗？
思考
下面的每对图形有什么共同特点？
把上图中的每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合．
像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点(symmetric points).
思考
成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．
思考
如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？
上图中，点A，A′是对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC或△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合．于是有
AP＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°．
对于其他的对应点，如点B与B′，点C与C′也有类似的情况．因此，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（perpendicular bisector）．这样，我们就得到图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．例如下图中，l 垂直平分AA′，l 垂直平分BB′．
练习
如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．
（1）（2）（3）（5）是轴对称图形。对称轴略．
线段的垂直平分线的性质
探究
如下图，直线 l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点 A与点B的距离，你有什么发现？
可以发现，点P1，P2，P3，…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等．如果把线段AB沿直线l 对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等．
由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质．
如下图，直线l ⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l 上．求证PA＝PB．
证明：∵ l ⊥AB，
∴ ∠PCA＝∠PCB．
又 AC＝CB，PC＝PC，
∴ △PCA≌△PCB（SAS）．
∴ PA＝PB．
反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
通过证明可以得到：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线 l 上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在 l 上，所以直线l 可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合．
例 1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：直线 AB和AB外一点C（下图）
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．
直线CF就是所求作的垂线．
练习
如图，AD ⊥ BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．AB，AC，CE的长度有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？
AB＝AC＝CE，
AB＋BD＝DE.
思考
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
例 2 如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴．为此作出到点A，B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线．
作法：如图（2）
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧（想一想为什么），两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD．
CD就是所求作的直线．
同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
例如，对于下图中的五角星，我们可以找出它的一对对应点A和A′，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线 l ，则 l 就是这个五角星的一条对称轴．
再见！